Cognome: Nome: Data:

Dichiarazione. Dichiaro che lo svolgimento di questo homework è frutto del mio lavoro.

Le risposte si scrivono a mano negli spazi sotto le domande. Le formule principali vanno scritte su una riga dedicata e collegate al testo. Scansionare lo svolgimento e caricarlo su Moodle secondo le indicazioni del corso.

M-HW-01 — Geometria, deformazione e cinematica di un mezzo curvilineo

Riferimenti: Marigo, cap. 1, §§1.2–1.4, Proposizioni 1.1–1.4. Si adotta la seguente notazione: $\alpha$ è l’angolo tangente, $\boldsymbol\xi$ lo spostamento e $\omega=\alpha-\alpha_R$ la rotazione relativa. Nella versione italiana delle dispense le stesse grandezze sono indicate rispettivamente con $\vartheta$ , $\mathbf a$ e $\alpha_2$ . Il dominio parametrico è indicato con $\mathbb C$ .

Blocco 1 — Curve e ricostruzione

Domanda 1.1 — Vettore derivata

Riferimento: Marigo, Definizione 1.1 (Parametrizzazione normale, §1.2.2). Siano $$L,R>0$$ . Considerare, nei rispettivi domini, le tre parametrizzazioni seguenti.

La prima parametrizzazione e’ $\mathbf x:(0,L)\to\mathcal V^2$ definita come:

\[\mathbf x(s)=s\mathbf e_1,\qquad s\in(0,L).\]

Seconda:

\[\mathbf y(\zeta)=2\zeta\mathbf e_1,\qquad \zeta\in(0,L/2).\]

Terza:

\[\mathbf z(s)=R\cos(s/R)\mathbf e_1+R\sin(s/R)\mathbf e_2, \qquad s\in(0,\pi R).\]

1.2 2. Calcolare $\|\mathbf x'\|-1$ , $\|\mathbf y'\|-1$ e $\|\mathbf z'\|-1$ .

Domanda 1.2 — Ricostruzione di una curva a partire da ascissa curvilinea e curvatura algebrica

Riferimento: Marigo, Proposizione 1.1 (§1.2.1); dimostrazione P-1.1. Siano due curve $$C^2$$ regolari sullo stesso intervallo connesso $\mathbb C$ , percorse con il medesimo parametro crescente.

2.1 1. Dimostrare la formula $\alpha'=s'C$

2.2 e ricostruire $\alpha$ mediante la prima integrazione, indicando la costante di integrazione.

2.3 2. Dimostrare la formula $\mathbf x'=s'(\cos\alpha\,\mathbf e_1+\sin\alpha\,\mathbf e_2)$

2.4 e ricostruire $\mathbf x$ mediante la seconda integrazione, indicando la costante vettoriale.

2.5 3. Dimostrare che, se $\|\mathbf x'\|=\|\widehat{\mathbf x}'\|=s'>0$ e $C=\widehat C$ , allora $\mathbf x=\mathbf c+R(\theta)\widehat{\mathbf x}$ , con $\theta$ e $\mathbf c$ costanti.

2.6 Dimostrare inoltre che una riflessione cambia il segno della curvatura orientata.

Domanda 1.3 — Ricostruzione con curvatura costante

Riferimento: Marigo, Proposizione 1.1 ed esempio del cerchio (§1.2.1). Siano $\mathbb C=(-a,a)$ con $$a>0$$ , $s(\zeta)=\zeta$ , $C(\zeta)=C_0$ costante, $\mathbf x(0)=\mathbf0$ e $\mathbf t(0)=\mathbf e_1$ . alpha

3.1 1. Calcola $\alpha(\zeta)$ e $\mathbf t(\zeta)$ .

3.2 2. Calcola $\mathbf x(\zeta)$ nei casi $C_0\ne0$ e $$C_0=0$$ mediante gli integrali espliciti delle due componenti.

3.3 3. Calcola il centro e il raggio della circonferenza per $C_0\ne0$ e il rapporto $\alpha'/s'$ .

Blocco 2 — Due configurazioni e deformazioni finite

Domanda 2.1 — Spostamento e deformazioni di due configurazioni

Riferimento: Marigo §§1.3.1–1.3.3. Su $\mathbb C=(0,L)$ siano $\mathbf x_R(S)=S\mathbf e_1$ e $\mathbf x(S)=\tfrac32S\mathbf e_1+\tfrac12S\mathbf e_2$ .

4.1 1. Si calcoli $\boldsymbol\xi(S)=\mathbf x(S)-\mathbf x_R(S)$ .

4.2 2. Si calcoli $$s(S)$$ assumendo $$s(0)=0$$ (cioè $$s$$ e $$S$$ hanno la stessa origine),

4.3 e si calcoli $\omega(S)=\alpha(S)-\alpha_R(S)$ .

4.4 3. Si calcoli $\varepsilon(S)=s'(S)-1$ e $\kappa(S)=\omega'(S)$ .

Domanda 2.2 — Proposizione 1.2: deformazione nulla

Riferimento: Marigo, Proposizione 1.2 (§1.3.3). Siano $\mathbf x_R,\mathbf x$ definite sull’intervallo connesso $\mathbb C$ , con $\|\mathbf x_R'\|=1$ e $\|\mathbf x'\|>0$ .

5.1 1. Dimostra che $\mathbf x=\mathbf c+\mathbf Q\mathbf x_R$ , con $\mathbf Q\in SO(2)$ costante, implica $\varepsilon=\kappa=0$ .

5.2 2. Dimostra che $\varepsilon=\kappa=0$ implica $$s'=1$$ e $$C=C_R$$ , scegliendo origini coerenti delle ascisse curvilinee.

5.3 3. Dimostra tramite P-1.1 che $\varepsilon=\kappa=0$ implica $\mathbf x=\mathbf c+\mathbf Q\mathbf x_R$ con $\mathbf Q\in SO(2)$ .

Domanda 2.3 — Equazione (1.23)

Riferimento: Marigo §1.3.5, equazioni (1.20)–(1.23). Lo spostamento è $\boldsymbol\xi=u\mathbf t_R+w\mathbf n_R$ ; si pongono $$A=u'-C_Rw$$ e $$B=w'+C_Ru$$ .

6.1 1. Si dimostri che $\boldsymbol\xi'=A\mathbf t_R+B\mathbf n_R$ usando le formule di Frenet.

6.2 2. Si dimostri che $\mathbf x'=(1+A)\mathbf t_R+B\mathbf n_R$ , $\cos\omega=(1+A)/D$ e $\sin\omega=B/D$ , dove $D=\sqrt{(1+A)^2+B^2}>0$ .

6.3 3. Si dimostri $D^2\omega'=(1+A)B'-BA'$ derivando le due relazioni trigonometriche;

6.4 si dimostri quindi la (1.23) sostituendo $$A,B$$ .

Domanda 2.4 — Espressioni di deformazione e curvatura in funzione degli spostamenti e delle rotazioni

Riferimento: Marigo §1.3.5, equazioni (1.20)–(1.23). La configurazione di riferimento è un arco circolare antiorario di raggio $2\,\mathrm m$ , dunque $C_R=1/(2\,\mathrm m)$ . Su $\mathbb C=(0,\pi\,\mathrm m)$ sono assegnati $$u(S)=S/10$$ e $$w(S)=0$$ .

7.1 1. Calcola $$A=u'-C_Rw$$ , $$B=w'+C_Ru$$ e $D=\sqrt{(1+A)^2+B^2}$ .

7.2 2. Calcola esattamente $\varepsilon(S)$ e il ramo continuo di $\omega(S)$ con $\omega(0^+)=0$ .

7.3 3. Calcola $\kappa(S)$ sia dalla (1.23) sia derivando $\omega(S)$ .

Domanda 2.5 — Equazioni (1.24)–(1.26)

Riferimento: Marigo §1.3.5, caso di riferimento rettilineo. Nelle relazioni generali si pone $$C_R=0$$ .

8.1 1. Dimostra la formula (1.24) per $\varepsilon$ .

8.2 2. Dimostra le due formule (1.25) per $\cos\omega$ e $\sin\omega$ .

8.3 3. Dimostra la formula (1.26) per $\kappa$ a partire dalla (1.23), sotto la condizione $D=\|\mathbf x'\|>0$ .

Sezione 3 — Linearizzazione

Domanda 3.1 — Espansione delle formule finite

Riferimento: Marigo §1.3.5, Definizione 1.4 e relazioni (1.20)–(1.23). La configurazione di riferimento è $$C^3$$ e normale. Sia $\boldsymbol\xi_\delta=\delta\boldsymbol\xi_1+O(\delta^2)$ in norma $$C^2$$ , con $a_\delta=\boldsymbol\xi_\delta'\cdot\mathbf t_R$ e $b_\delta=\boldsymbol\xi_\delta'\cdot\mathbf n_R$ . Per la famiglia $$C^2$$ , $a_\delta,b_\delta=O(\delta)$ in norma $$C^1$$ e l’Ipotesi dei piccoli spostamenti (IPS) vale per $\delta$ sufficientemente piccolo.

9.1 1. Dimostra dall’espressione esatta $\varepsilon_\delta=\sqrt{(1+a_\delta)^2+b_\delta^2}-1$ che $\varepsilon_\delta=a_\delta+\tfrac12b_\delta^2+O(\delta^3)$ .

9.2 2. Dimostra dalle relazioni esatte per seno e coseno che $\omega_\delta=b_\delta-a_\delta b_\delta+O(\delta^3)$ sul ramo vicino a zero.

9.3 3. Dimostra che $\kappa_\delta=b_\delta'-(a_\delta'b_\delta+a_\delta b_\delta')+O(\delta^3)$ , usando il controllo $$C^2$$ del resto.

Domanda 3.2 — Proposizione 1.3: formule linearizzate

Riferimento: Marigo, Proposizione 1.3 (§1.3.5). La configurazione di riferimento è regolare, $$C^3$$ e parametrizzata da $$S$$ ; la famiglia di spostamenti soddisfa $\boldsymbol\xi_\delta=\delta\boldsymbol\xi_1+O(\delta^2)$ in norma $$C^2$$ .

10.1 1. Dimostra che $\boldsymbol\xi_1'=A_1\mathbf t_R+B_1\mathbf n_R$ , con $$A_1=u_1'-C_Rw_1$$ e $$B_1=w_1'+C_Ru_1$$ .

10.2 2. Dimostra le espansioni $\varepsilon_\delta=\delta A_1+O(\delta^2)$ e $\omega_\delta=\delta B_1+O(\delta^2)$ , inclusi i termini di ordine superiore scartati.

10.3 3. Dimostra $\kappa_\delta=\delta B_1'+O(\delta^2)$ e le formule (1.27)–(1.28), incluso il caso $$C_R=0$$ .

Domanda 3.3 — Esercizio su P-1.3

Riferimento: Marigo, Proposizione 1.3 e (1.28). L’asta rettilinea ha $\mathbf x_R(S)=S\mathbf e_1$ , $S\in\mathbb C=(0,L)$ , $L=2\,\mathrm m$ . Gli spostamenti locali sono $$u(S)=S/50$$ e $$w(S)=S^2/(50L)$$ .

11.1 1. Calcola $$u'$$ , $$w'$$ , $$w''$$ e gli estremi superiori di $$|u'|$$ e $$|w'|$$ su $\mathbb C$ .

11.2 2. Calcola $\varepsilon_L(S)$ , $\omega_L(S)$ e $\kappa_L(S)$ mediante (1.28).

11.3 3. Calcola i tre valori a $$S=L/2$$ con le rispettive unità.

Domanda 3.4 — Proposizione 1.4: spostamenti rigidi infinitesimi

Riferimento: Marigo, Proposizione 1.4 (§1.3.5). Il dominio $\mathbb C$ è un intervallo connesso.

12.1 1. Dimostra che $\boldsymbol\xi=\mathbf c+\beta\,\mathbf e_3\wedge\mathbf x_R$ , con $\mathbf c,\beta$ costanti, dà $\varepsilon_L=\kappa_L=0$ .

12.2 2. Dimostra la reciproca usando le tre relazioni linearizzate di P-1.3, la base locale e un’integrazione.

12.3 3. Dimostra che $\omega_L=\beta$ è costante e che $R(\beta)\mathbf x_R=\mathbf x_R+\beta\mathbf e_3\wedge\mathbf x_R+O(\beta^2)$ per $\beta$ piccolo.

Sezione 4 — Descrizioni del moto

Domanda 4.1 — Moto di un anello: coordinate lagrangiane

Riferimento: Marigo §1.4.1, equazioni (1.30)–(1.39). Sia $$R>0$$ . Il moto è dato dalla funzione

\[\mathbf x(S,t)=R\cos(S/R+\Omega t)\mathbf e_1+R\sin(S/R+\Omega t)\mathbf e_2, \qquad S\in\mathbb C=[0,2\pi R),\quad \Omega\text{ costante}.\]

Questa funzione descrive un anello di raggio $$R$$ che ruota rigidamente attorno al proprio centro con velocità angolare costante $\Omega$ ; $$S$$ etichetta i punti materiali.

13.1 1. Ricavare la configurazione di riferimento $\mathbf x_R(S)=\mathbf x(S,0)$ .

13.2 2. Calcolare $$s'(S,t)$$ , $\mathbf t(S,t)$ , $\mathbf n(S,t)$ , la velocità vettoriale $\mathbf v(S,t)$ e l’accelerazione vettoriale $\boldsymbol\gamma(S,t)$ a $$S$$ fisso.

13.3 3. Calcolare l’angolo tangente $\alpha(S,t)$ , la rotazione locale $\omega(S,t)$ e la sua velocità $\dot\omega(S,t)$ , usando sollevamenti continui degli angoli.

13.4 4. Calcolare $\varepsilon(S,t)$ , $\kappa(S,t)$ e $$C(S,t)$$ .

Domanda 4.2 — Lo stesso moto: coordinate euleriane

Riferimento: Marigo §1.4.2, equazioni (1.40)–(1.44). Per l’anello della Domanda 4.1, l’origine spaziale dell’ascissa curvilinea è fissata al punto $R\mathbf e_1$ . La coordinata euleriana $s\in\mathbb C=[0,2\pi R)$ è periodica; il suo sollevamento continuo $\sigma(S,t)\in\mathbb R$ attraversa il punto di giunzione, con $\sigma(S,0)=S$ e $s=\sigma\pmod{2\pi R}$ . Lo scalare $$v(s,t)$$ è la velocità della coordinata curvilinea del materiale; $\mathbf v(s,t)$ è la velocità vettoriale materiale.

14.1 1. Calcola $\mathbf x_E(s,t)$ , $\mathbf t_E(s,t)$ , $\mathbf n_E(s,t)$ e $$C_E(s,t)$$ .

14.2 2. Calcola $$v(s,t)$$ e $\sigma(S,t)$ per il moto assegnato, usando $\partial_t\sigma=v(\sigma\bmod 2\pi R,t)$ e $\sigma(S,0)=S$ .

14.3 3. Calcola $\mathbf v_E=\partial_t\mathbf x_E+v\mathbf t_E$ e $\boldsymbol\gamma_E=(\partial_t+v\partial_s)\mathbf v_E$ .

14.4 4. Calcola $D\alpha_E/Dt$ , $\partial_s v$ , $\varepsilon$ e $\kappa$ ricostruendo la posizione del punto materiale da $\sigma(S,t)$ .

Per domande, dubbi o segnalazioni, scrivere a scienzadellecostruzioniromatre@gmail.com.