M02-S01 · 45 minuti · CORE · Marigo, §1.2.1

Curva piana parametrizzata

La geometria locale lungo la curva

Obiettivo: ottenere tangente, normale, ascissa curvilinea e curvatura dalla mappa x(ζ).
Notazione di Marigo: $\alpha$ è l’angolo della tangente; $\omega=\alpha-\alpha_R$ è la rotazione relativa rispetto alla configurazione di riferimento.

M02-S02 · La derivata indica una direzione

In un punto regolare definiamo

x′(ζ):=dxdζ(ζ).\mathbf{x}'(\zeta):=\frac{d\mathbf{x}}{d\zeta}(\zeta).

Il vettore tangente è colineare a x′(ζ)\mathbf{x}'(\zeta).

La condizione di regolarità è

x′(ζ)≠0.\mathbf{x}'(\zeta)\neq\mathbf{0}.

Derivazione completa: D-M02-1

M02-S03 · Tangente unitario e norma

Il vettore unitario tangente è

t(ζ)=x′(ζ)∥x′(ζ)∥.\mathbf{t}(\zeta)= \frac{\mathbf{x}'(\zeta)}{\|\mathbf{x}'(\zeta)\|}.

Per u=u1e1+u2e2\mathbf{u}=u_1\mathbf{e}_1+u_2\mathbf{e}_2,

∥u∥=u12+u22.\|\mathbf{u}\|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}.

La normalizzazione conserva la direzione e fissa la lunghezza a 11.

Derivazione completa: D-M02-1

M02-S03b · Esempio: tangenti alla parabola

Riprendiamo l’esempio di M01:

x(ζ)=ζe1+ζ2e2,ζ∈(−1,1).\mathbf{x}(\zeta)=\zeta\mathbf{e}_1+\zeta^2\mathbf{e}_2, \qquad \zeta\in(-1,1).

x′(ζ)=e1+2ζe2,∥x′(ζ)∥=1+4ζ2.\mathbf{x}'(\zeta)=\mathbf{e}_1+2\zeta\mathbf{e}_2, \qquad \|\mathbf{x}'(\zeta)\|=\sqrt{1+4\zeta^2}.

t(ζ)=e1+2ζe21+4ζ2.\mathbf{t}(\zeta)= \frac{\mathbf{e}_1+2\zeta\mathbf{e}_2}{\sqrt{1+4\zeta^2}}.

t(0)=e1,t ⁣(12)=e1+e22.\boxed{\mathbf{t}(0)=\mathbf{e}_1}, \qquad \boxed{\mathbf{t}\!\left(\tfrac12\right)= \frac{\mathbf{e}_1+\mathbf{e}_2}{\sqrt2}}.

Tangenti nei due punti valutati.

M02-S04 · Ascissa curvilinea: misurare lungo la curva

L’elemento di lunghezza soddisfa

ds2=dx12+dx22.ds^2=dx_1^2+dx_2^2.

Da qui otteniamo

s′(ζ)=dsdζ(ζ)=∥x′(ζ)∥=x1′(ζ)2+x2′(ζ)2. s'(\zeta)=\frac{ds}{d\zeta}(\zeta) =\|\mathbf{x}'(\zeta)\| =\sqrt{x_1'(\zeta)^2+x_2'(\zeta)^2}.

La costante d’integrazione sceglie l’origine di ss.

Derivazione completa: D-M02-3

M02-S04b · Esempio: ascissa curvilinea della parabola

Per x(ζ)=ζe1+ζ2e2\mathbf{x}(\zeta)=\zeta\mathbf{e}_1+\zeta^2\mathbf{e}_2,

s′(ζ)=∥x′(ζ)∥=1+4ζ2.s'(\zeta)=\|\mathbf{x}'(\zeta)\| =\sqrt{1+4\zeta^2}.

Scegliamo l’origine s(0)=0s(0)=0:

s(ζ)=∫0ζ1+4η2 dη.s(\zeta)=\int_0^\zeta\sqrt{1+4\eta^2}\,d\eta.

s(ζ)=ζ21+4ζ2+14arsinh⁡(2ζ).\boxed{ s(\zeta)= \frac{\zeta}{2}\sqrt{1+4\zeta^2} +\frac14\operatorname{arsinh}(2\zeta)}.

s ⁣(12)=2+arsinh⁡(1)4.s\!\left(\tfrac12\right) =\frac{\sqrt2+\operatorname{arsinh}(1)}{4}.

L=∫−111+4η2 dη=5+12arsinh⁡(2).L=\int_{-1}^{1}\sqrt{1+4\eta^2}\,d\eta =\sqrt5+\frac12\operatorname{arsinh}(2).

Con l’origine nel vertice, l’ascissa è negativa sul ramo sinistro.

M02-S05 · Orientazione, angolo e normale

L’aumento di ζ\zeta fissa l’orientazione della curva.

Se α(ζ)\alpha(\zeta) è l’angolo che t\mathbf{t} forma con e1\mathbf{e}_1,

t=cos⁡α e1+sin⁡α e2,n=e3∧t=−sin⁡α e1+cos⁡α e2.\mathbf{t}=\cos\alpha\,\mathbf{e}_1+\sin\alpha\,\mathbf{e}_2, \qquad \mathbf{n}=\mathbf{e}_3\wedge\mathbf{t} =-\sin\alpha\,\mathbf{e}_1+\cos\alpha\,\mathbf{e}_2.

n\mathbf{n} si ottiene ruotando t\mathbf{t} di π/2\pi/2 in senso antiorario.

Derivazione completa: D-M02-2

M02-S05a · Come si determina l’angolo α\alpha

Non definiamo α\alpha come una pendenza. Se

t(ζ)=t1(ζ)e1+t2(ζ)e2,\mathbf{t}(\zeta)=t_1(\zeta)\mathbf e_1+t_2(\zeta)\mathbf e_2,

α(ζ)\alpha(\zeta) è una soluzione continua del sistema

{cos⁡α(ζ)=t1(ζ),sin⁡α(ζ)=t2(ζ).\begin{cases} \cos\alpha(\zeta)=t_1(\zeta),\\ \sin\alpha(\zeta)=t_2(\zeta). \end{cases}

Il sistema è compatibile perché ∥t∥=1\|\mathbf t\|=1 e determina α\alpha modulo 2π2\pi; lungo un tratto regolare scegliamo il ramo continuo.

t=45e1−35e2⟹α=−arctan⁡ ⁣34(oppure 2π−arctan⁡ ⁣34).\mathbf t=\frac45\mathbf e_1-\frac35\mathbf e_2 \quad\Longrightarrow\quad \alpha=-\arctan\!\frac34 \quad (\text{oppure }2\pi-\arctan\!\frac34).

La pendenza, quando t1≠0t_1\ne0, è solo la quantità derivata τ=tan⁡α=t2/t1\tau=\tan\alpha=t_2/t_1: non contiene da sola l’informazione sul quadrante.

M02-S05b · Esempio: normali alla parabola

La normale orientata si ottiene ruotando la tangente:

n(ζ)=e3∧t(ζ).\mathbf{n}(\zeta)=\mathbf{e}_3\wedge\mathbf{t}(\zeta).

Nel vertice:

n(0)=e3∧e1=e2.\boxed{\mathbf{n}(0)= \mathbf{e}_3\wedge\mathbf{e}_1=\mathbf{e}_2}.

Per ζ=12\zeta=\tfrac12:

n ⁣(12)=e2−e12.\boxed{\mathbf{n}\!\left(\tfrac12\right)= \frac{\mathbf{e}_2-\mathbf{e}_1}{\sqrt2}}.

Controlli: t⋅n=0\mathbf{t}\cdot\mathbf{n}=0 e ∥n∥=1\|\mathbf{n}\|=1.

Ogni normale è la rotazione antioraria della tangente corrispondente.

M02-S06 · Curvatura: quanto ruota la tangente

Definiamo la curvatura algebrica come derivata dell’angolo tangente rispetto all’ascissa curvilinea:

C(ζ)=α′(ζ)s′(ζ).\mathrm{C}(\zeta)=\frac{\alpha'(\zeta)}{s'(\zeta)}.

Poiché dα/ds=α′/s′d\alpha/ds=\alpha'/s', la curvatura misura la variazione dell’orientazione per unità di lunghezza.

Il suo segno dipende dall’orientazione scelta.

Derivazione completa: D-M02-3

M02-S06a · Esempio: circonferenza e orientazione

Sia R>0R>0 e lasciamo ζ\zeta come variabile indipendente. Per la circonferenza percorsa in senso antiorario:

x(ζ)=Rcos⁡ζ e1+Rsin⁡ζ e2,0<ζ<2π.\mathbf{x}(\zeta)=R\cos\zeta\,\mathbf{e}_1 +R\sin\zeta\,\mathbf{e}_2, \qquad 0<\zeta<2\pi.

s(ζ)=Rζ,α(ζ)=π2+ζ.s(\zeta)=R\zeta, \qquad \alpha(\zeta)=\frac{\pi}{2}+\zeta.

C(ζ)=α′(ζ)s′(ζ)=1R.\boxed{\mathrm{C}(\zeta)=\frac{\alpha'(\zeta)}{s'(\zeta)}=\frac1R}.

Stessa forma, verso opposto (quindi curvatura opposta):

x‾(ζ)=x(2π−ζ)=Rcos⁡ζ e1−Rsin⁡ζ e2.\overline{\mathbf{x}}(\zeta)=\mathbf{x}(2\pi-\zeta) =R\cos\zeta\,\mathbf{e}_1 -R\sin\zeta\,\mathbf{e}_2.

s‾(ζ)=2πR−s(2π−ζ)=Rζ,α‾(ζ)=3π2−ζ.\overline{s}(\zeta)=2\pi R-s(2\pi-\zeta)=R\zeta, \qquad \overline{\alpha}(\zeta)=\frac{3\pi}{2}-\zeta.

C‾(ζ)=α‾′(ζ)s‾′(ζ)=−1R.\boxed{\overline{\mathrm{C}}(\zeta) =\frac{\overline{\alpha}'(\zeta)}{\overline{s}'(\zeta)} =-\frac1R}.

M02-S06b · Esempio: curvatura della parabola

Sia R>0R>0 e scegliamo lo stesso punto iniziale della circonferenza, x(0)=Re1\mathbf{x}(0)=R\mathbf e_1:

x(ζ)=(R−ζ22R)e1+ζe2,x(0)=Re1.\mathbf{x}(\zeta)= \left(R-\frac{\zeta^2}{2R}\right)\mathbf e_1+\zeta\mathbf e_2, \qquad \mathbf{x}(0)=R\mathbf e_1.

La parabola ha concavità verso −e1-\mathbf e_1 ed è tangente a e2\mathbf e_2 nel vertice. Poniamo

q(ζ)=1+ζ2R2.q(\zeta)=\sqrt{1+\frac{\zeta^2}{R^2}}.

t=−ζRe1+e2q,n=−e1−ζRe2q.\mathbf{t}=\frac{-\frac{\zeta}{R}\mathbf e_1+\mathbf e_2}{q}, \qquad \mathbf{n}=\frac{-\mathbf e_1-\frac{\zeta}{R}\mathbf e_2}{q}.

Derivando l’angolo tangente e dividendo per s′=qs'=q:

C(ζ)=1R(1+ζ2R2)3/2.\mathrm{C}(\zeta)= \frac{1}{R\left(1+\frac{\zeta^2}{R^2}\right)^{3/2}}.

Nel vertice:

C(0)=1R,Rosc(0)=1∣C(0)∣=R.\boxed{\mathrm{C}(0)=\frac1R}, \qquad \boxed{R_{\mathrm{osc}}(0)=\frac1{|\mathrm{C}(0)|}=R}.

cosc(0)=0.\mathbf c_{\mathrm{osc}}(0)=\mathbf 0.

La parabola e la circonferenza condividono il punto R e₁; il cerchio osculatore ha centro O e raggio R.

M02-S06c · Dimensioni fisiche e unità di misura

Lunghezze e curvatura

[dRO]=[s]=[R]=L,[C]=L−1.[d_{\mathrm{RO}}]=[s]=[R]=\mathrm{L}, \qquad [\mathrm{C}]=\mathrm{L}^{-1}.

La relazione R=1/∣C∣R=1/|\mathrm{C}| è dimensionalmente coerente.

Esempio di conversione:

dRO=30 km=3,0×104 m.d_{\mathrm{RO}}=30\,\mathrm{km} =3{,}0\times10^4\,\mathrm{m}.

Velocità

[vTS]=L T−1.[v_{\mathrm{TS}}]=\mathrm{L}\,\mathrm{T}^{-1}.

vTS=145 kmh=145 103 m3600 s≈40,3 ms.v_{\mathrm{TS}}=145\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} =145\,\frac{10^3\,\mathrm{m}}{3600\,\mathrm{s}} \approx40{,}3\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}.

Infatti

1 m=10−3 km,1 s=13600 h.1\,\mathrm{m}=10^{-3}\,\mathrm{km}, \qquad 1\,\mathrm{s}=\frac1{3600}\,\mathrm{h}.

Cambiare unità modifica il valore numerico, non la dimensione fisica.

M02-S07 · Proprietà P-1.1: ricostruire la curva

Proprietà P-1.1. Sia II un intervallo connesso e siano
x,x^∈C2(I;R2)\mathbf{x},\widehat{\mathbf{x}}\in C^2(I;\mathbb{R}^2) due parametrizzazioni
regolari dello stesso intervallo, con lo stesso verso di percorrenza. Supponiamo
che abbiano la stessa ascissa curvilinea s(ζ)s(\zeta) e la stessa curvatura
algebrica C(ζ)\mathrm{C}(\zeta), cioè, per angoli tangenti continui α\alpha e
α^\widehat{\alpha},

s′(ζ)=∥x′(ζ)∥=∥x^′(ζ)∥>0,C(ζ)=α′(ζ)s′(ζ)=α^′(ζ)s′(ζ).s'(\zeta)=\|\mathbf{x}'(\zeta)\| =\|\widehat{\mathbf{x}}'(\zeta)\|>0, \qquad \mathrm{C}(\zeta)=\frac{\alpha'(\zeta)}{s'(\zeta)} =\frac{\widehat{\alpha}'(\zeta)}{s'(\zeta)}.

Allora esistono un angolo θ∈R\theta\in\mathbb{R} e un vettore costante
s∈R2\boldsymbol{s}\in\mathbb{R}^2 tali che

x(ζ)=s+R(θ)x^(ζ),\boxed{\mathbf{x}(\zeta)=\boldsymbol{s}+R(\theta)\widehat{\mathbf{x}}(\zeta)},

dove ⊗\otimes indica il prodotto diadico, cioè
(a⊗b)v=a(b⋅v)(\mathbf{a}\otimes\mathbf{b})\mathbf{v} =\mathbf{a}(\mathbf{b}\cdot\mathbf{v}), e

R(θ)=cos⁡θ (e1⊗e1+e2⊗e2)+sin⁡θ (e2⊗e1−e1⊗e2).R(\theta)= \cos\theta\,\bigl(\mathbf{e}_1\otimes\mathbf{e}_1 +\mathbf{e}_2\otimes\mathbf{e}_2\bigr) +\sin\theta\,\bigl(\mathbf{e}_2\otimes\mathbf{e}_1 -\mathbf{e}_1\otimes\mathbf{e}_2\bigr).

L’angolo θ\theta è determinato modulo 2π2\pi e s\boldsymbol{s} è la
traslazione. Le integrazioni costruiscono un rappresentante locale su un
intervallo; P-1.1 non dimostra la chiusura globale di un anello.

Dimostrazione

M02-S08 · P-1.1: struttura della dimostrazione

La dimostrazione completa è nella sezione finale di questa presentazione.

s,C  ⟶  α′=α^′=s′C  ⟶  α−α^=θ  ⟶  x′=R(θ)x^′  ⟶  x=s+R(θ)x^.s,\mathrm{C} \;\longrightarrow\; \alpha'=\widehat{\alpha}'=s'\mathrm{C} \;\longrightarrow\; \alpha-\widehat{\alpha}=\theta \;\longrightarrow\; \mathbf{x}'=R(\theta)\widehat{\mathbf{x}}' \;\longrightarrow\; \mathbf{x}=\boldsymbol{s}+R(\theta)\widehat{\mathbf{x}}.

Per la discussione alla lavagna servono due integrazioni:

  1. la differenza α(ζ∗)−α^(ζ∗)\alpha(\zeta^*)-\widehat{\alpha}(\zeta^*) fissa la rotazione;
  2. x(ζ∗)−R(θ)x^(ζ∗)\mathbf{x}(\zeta^*)-R(\theta)\widehat{\mathbf{x}}(\zeta^*) fissa la traslazione.

HW-01 / HW-P-1.1: studiare la dimostrazione D-M02-4–D-M02-5b e consegnare una prova scritta completa. Esplicitare le due integrazioni, l'uso delle ipotesi, le costanti iniziali e l'argomento di unicità.

M02-S09 · Esempi guida e letture assegnate

CORE · circonferenza; OPZIONALE · semicirchio e portico

La circonferenza è stata calcolata in M02-S06a. Il risultato da ricordare è che la stessa forma geometrica può avere
C=1/R\mathrm{C}=1/R oppure C=−1/R\mathrm{C}=-1/R, a seconda del verso di percorrenza.

Per il semicirchio percorso con l’altra parametrizzazione di Marigo, C=−1/R\mathrm{C}=-1/R: il segno cambia perché cambia l’orientazione.

Nel portico dell’Esempio 1.3, s′=1s'=1 sui tratti; nei due vertici la tangente salta e la curvatura classica non è definita.

Per lo studio: verificare il segno del semicirchio e spiegare il caso dei vertici. La dimostrazione di P-1.1 resta il compito principale.

Marigo, Esempi 1.1–1.3.

M02-S10 · Chiusura e ponte a M03

Da x(ζ)\mathbf{x}(\zeta) abbiamo ottenuto:

t(ζ),n(ζ),s(ζ),C(ζ).\mathbf{t}(\zeta),\qquad \mathbf{n}(\zeta),\qquad s(\zeta),\qquad \mathrm{C}(\zeta).

M03: usare ss come parametro, cioè la parametrizzazione normale, e derivare le formule (1.8)–(1.11).

Apri M03 — Parametrizzazione normale

D-M02-1 · Tangente e tangente unitaria

Fissiamo ζ\zeta con x′(ζ)≠0\mathbf{x}'(\zeta)\ne\mathbf0. Per h>0h>0 la secante orientata è

qh=x(ζ+h)−x(ζ)h⟶x′(ζ).\mathbf{q}_h=\frac{\mathbf{x}(\zeta+h)-\mathbf{x}(\zeta)}{h} \longrightarrow\mathbf{x}'(\zeta).

La norma è continua e il limite è non nullo. Perciò convergono anche le direzioni:

lim⁡h↓0qh∥qh∥=x′(ζ)∥x′(ζ)∥=:t(ζ).\lim_{h\downarrow0}\frac{\mathbf{q}_h}{\|\mathbf{q}_h\|} =\frac{\mathbf{x}'(\zeta)}{\|\mathbf{x}'(\zeta)\|} =:\mathbf{t}(\zeta).

La normalizzazione è lecita proprio perché ∥x′∥>0\|\mathbf{x}'\|>0; inoltre

∥t∥=∥x′∥∥x′∥=1.\|\mathbf{t}\|=\frac{\|\mathbf{x}'\|}{\|\mathbf{x}'\|}=1.

Per h<0h<0 il vettore qh\mathbf{q}_h resta orientato nel verso di ζ\zeta crescente.

D-M02-2 · Normale orientata

Scriviamo la tangente mediante l’angolo α\alpha:

t=cos⁡α e1+sin⁡α e2.\mathbf{t}=\cos\alpha\,\mathbf{e}_1+\sin\alpha\,\mathbf{e}_2.

Nel riferimento positivo e3∧e1=e2\mathbf{e}_3\wedge\mathbf{e}_1=\mathbf{e}_2 e
e3∧e2=−e1\mathbf{e}_3\wedge\mathbf{e}_2=-\mathbf{e}_1. Quindi

n=e3∧t=−sin⁡α e1+cos⁡α e2.\mathbf{n} =\mathbf{e}_3\wedge\mathbf{t} =-\sin\alpha\,\mathbf{e}_1+\cos\alpha\,\mathbf{e}_2.

Controlli:

t⋅n=0,∥n∥2=sin⁡2α+cos⁡2α=1.\mathbf{t}\cdot\mathbf{n}=0, \qquad \|\mathbf{n}\|^2=\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1.

Se invertiamo il verso della curva, cambiano segno sia t\mathbf{t} sia n\mathbf{n}.

D-M02-3 · Ascissa curvilinea e curvatura

Su un tratto regolare C1C^1, Pitagora dà per lo spostamento infinitesimo

ds2=dx12+dx22,dxi=xi′(ζ)dζ.ds^2=dx_1^2+dx_2^2, \qquad dx_i=x_i'(\zeta)d\zeta.

Definiamo la lunghezza percorsa nel verso di ζ\zeta crescente:

s(ζ)=s(ζ∗)+∫ζ∗ζx1′(η)2+x2′(η)2 dη.s(\zeta)=s(\zeta^*)+ \int_{\zeta^*}^{\zeta}\sqrt{x_1'(\eta)^2+x_2'(\eta)^2}\,d\eta.

Il teorema fondamentale del calcolo e x′≠0\mathbf{x}'\ne\mathbf0 danno

s′(ζ)=∥x′(ζ)∥>0.s'(\zeta)=\|\mathbf{x}'(\zeta)\|>0.

Se l’angolo tangente α\alpha è derivabile, la regola della catena dà

C=dαds=α′(ζ)s′(ζ).\mathrm{C}=\frac{d\alpha}{ds} =\frac{\alpha'(\zeta)}{s'(\zeta)}.

In corrispondenza degli angoli, la curvatura classica non è definita.

D-M02-4 · P-1.1: confronto degli angoli tangenti

Siano x\mathbf{x} e x^\widehat{\mathbf{x}} le due parametrizzazioni
dell’enunciato e fissiamo ζ∗∈I\zeta^*\in I. Dalla definizione della curvatura
algebrica,

α′(ζ)=s′(ζ)C(ζ),α^′(ζ)=s′(ζ)C(ζ).\alpha'(\zeta)=s'(\zeta)\mathrm{C}(\zeta), \qquad \widehat{\alpha}'(\zeta)=s'(\zeta)\mathrm{C}(\zeta).

Pertanto

(α−α^)′=0.(\alpha-\widehat{\alpha})'=0.

Poiché II è connesso, esiste una costante θ∈R\theta\in\mathbb{R} tale che

α(ζ)−α^(ζ)=θ,θ=α(ζ∗)−α^(ζ∗)(mod 2π).\alpha(\zeta)-\widehat{\alpha}(\zeta)=\theta, \qquad \theta=\alpha(\zeta^*)-\widehat{\alpha}(\zeta^*) \quad (\mathrm{mod}\ 2\pi).

La prima integrazione determina quindi una rotazione fissa; non compare
alcuna riflessione.

D-M02-5 · P-1.1: rotazione dei versori e seconda integrazione

Poniamo
t=cos⁡α e1+sin⁡α e2\mathbf{t}=\cos\alpha\,\mathbf{e}_1+\sin\alpha\,\mathbf{e}_2 e
t^=cos⁡α^ e1+sin⁡α^ e2\widehat{\mathbf{t}}=\cos\widehat{\alpha}\,\mathbf{e}_1+ \sin\widehat{\alpha}\,\mathbf{e}_2. Allora

t(ζ)=R(θ)t^(ζ),\mathbf{t}(\zeta)=R(\theta)\widehat{\mathbf{t}}(\zeta),

con R(θ)R(\theta) tensore di rotazione definito mediante i prodotti diadici

R(θ)=cos⁡θ (e1⊗e1+e2⊗e2)+sin⁡θ (e2⊗e1−e1⊗e2).R(\theta)= \cos\theta\,\bigl(\mathbf{e}_1\otimes\mathbf{e}_1 +\mathbf{e}_2\otimes\mathbf{e}_2\bigr) +\sin\theta\,\bigl(\mathbf{e}_2\otimes\mathbf{e}_1 -\mathbf{e}_1\otimes\mathbf{e}_2\bigr).

Usando la stessa ascissa curvilinea,

x′=s′t=R(θ)s′t^=R(θ)x^′.\mathbf{x}'=s'\mathbf{t} =R(\theta)s'\widehat{\mathbf{t}} =R(\theta)\widehat{\mathbf{x}}'.

La seconda integrazione dà

x(ζ)−R(θ)x^(ζ)=x(ζ∗)−R(θ)x^(ζ∗)=:s,\mathbf{x}(\zeta)-R(\theta)\widehat{\mathbf{x}}(\zeta) =\mathbf{x}(\zeta^*)-R(\theta)\widehat{\mathbf{x}}(\zeta^*) =:\boldsymbol{s},

e quindi x=s+R(θ)x^\mathbf{x}=\boldsymbol{s}+R(\theta)\widehat{\mathbf{x}}. La
costante s\boldsymbol{s} fissa la traslazione. La formula è locale su II:
per una curva chiusa occorrono inoltre condizioni globali di raccordo agli
estremi.

D-M02-5b · P-1.1: unicità e orientazione

La costanza di θ\theta e la definizione di s\boldsymbol{s} mostrano anche
l’unicità a meno di una rotazione e di una traslazione. In particolare,
per due curve sugli stessi dati, gli angoli tangenti soddisfano

(α−α^)′=s′C−s′C=0⟹α−α^=θ.(\alpha-\widehat{\alpha})'=s'\mathrm{C}-s'\mathrm{C}=0 \quad\Longrightarrow\quad \alpha-\widehat{\alpha}=\theta.

Poiché II è connesso, θ\theta è un’unica costante modulo 2π2\pi; fissato
ζ∗\zeta^*, il vettore

s=x(ζ∗)−R(θ)x^(ζ∗)\boldsymbol{s}=\mathbf{x}(\zeta^*)-R(\theta)\widehat{\mathbf{x}}(\zeta^*)

è indipendente dal punto base perché la sua derivata è nulla.

A parità di parametro e verso, una riflessione manda C\mathrm{C} in
−C-\mathrm{C}: se C≢0\mathrm{C}\not\equiv0, non conserva i dati.

La costruzione non impone la chiusura: per un anello occorrono condizioni di raccordo agli estremi.

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D-M02-6 · Controlli individuali

Cerchio antiorario.

x=R(cos⁡ζ e1+sin⁡ζ e2)⇒s′=R,α=ζ+π2,C=1R.\mathbf{x}=R(\cos\zeta\,\mathbf{e}_1+\sin\zeta\,\mathbf{e}_2) \Rightarrow s'=R,\quad \alpha=\zeta+\frac{\pi}{2},\quad \mathrm{C}=\frac1R.

Semicirchio orientato diversamente. Verificare che α′=−1\alpha'=-1 e quindi C=−1/R\mathrm{C}=-1/R.

Portico. Sui tratti s′=1s'=1 e C=0\mathrm{C}=0; nei vertici la tangente ha due valori laterali e la curvatura classica non è definita.

Domande da portare alla discussione:

  1. In quale integrazione compare la rotazione?
  2. In quale compare la traslazione?
  3. Perché s′>0s'>0 e non solo s′≥0s'\ge0?
  4. Che cosa cambia invertendo il verso della curva?