Risoluzione dell’Esercizio 9.27 (Notazione del libro “Paroni - Scienza delle Costruzioni”)
Testo dell’Esercizio
La sezione rappresentata in figura è soggetta ad uno sforzo normale $N = -15 \text{ kN}$ e a momenti flettenti $\bar{M}1 = 3 \text{ kNm}$ ed $\bar{M}_2 = 2 \text{ kNm}$. Verificare la sezione sapendo che la tensione ammissibile del materiale è $\sigma{\text{amm}} = 160 \text{ N/mm}^2$.
Dati geometrici:
- $B = 80 \text{ mm}$
- $A_{\text{dim}} = 50 \text{ mm}$
- Spessore $s = 8 \text{ mm}$
Suggerimento del testo: I momenti baricentrici e principali d’inerzia risultano $J_1 = 522.1 \text{ cm}^4$ e $J_2 = 158.0 \text{ cm}^4$ con gli assi ruotati di $\theta = 11.65^\circ$.
Risoluzione con la Notazione di Paroni
Secondo la notazione del libro (Capitoli 8 e 9), indichiamo con:
- $(\bar{x}_1, \bar{x}_2)$ il sistema di riferimento baricentrico non principale (con l’asse $\bar{x}_1$ orizzontale rivolto a sinistra e $\bar{x}_2$ verticale rivolto in basso).
- $(x_1, x_2)$ il sistema di riferimento baricentrico principale d’inerzia.
- $J_1, J_2$ i momenti principali d’inerzia rispetto agli assi principali $x_1$ e $x_2$.
- $M_1, M_2$ i momenti flettenti proiettati sugli assi principali.
1. Calcolo dell’Area della Sezione ($A$)
Scomponiamo la sezione nei suoi rettangoli elementari al netto delle sovrapposizioni:
- Ali orizzontali (superiore e inferiore): due rettangoli di base $B = 80 \text{ mm}$ e spessore $s = 8 \text{ mm}$. \(A_{\text{flange}} = 2 \times (B \cdot s) = 1280 \text{ mm}^2\)
- Anima verticale centrale: di altezza netta $2A_{\text{dim}} - 2s = 100 - 16 = 84 \text{ mm}$ e spessore $s = 8 \text{ mm}$. \(A_{\text{anima}} = 84 \cdot 8 = 672 \text{ mm}^2\)
- Labbri verticali esterni (alto-sinistra e basso-destra): di lunghezza netta $A_{\text{dim}} - s = 50 - 8 = 42 \text{ mm}$ e spessore $s = 8 \text{ mm}$. \(A_{\text{labbri}} = 2 \times 42 \cdot 8 = 672 \text{ mm}^2\)
L’area totale risulta quindi: \(A = 1280 + 672 + 672 = 2624 \text{ mm}^2\)
La tensione costante dovuta allo sforzo normale di compressione ($N = -15 \text{ kN} = -15000 \text{ N}$) è: \(\sigma_N = \frac{N}{A} = \frac{-15000 \text{ N}}{2624 \text{ mm}^2} \approx -5.72 \text{ MPa}\)
2. Rotazione del Sistema di Riferimento
Dato che il prodotto d’inerzia $J_{12}$ della sezione a Z è negativo, l’angolo di rotazione per passare agli assi principali d’inerzia è negativo: \(\theta = -11.65^\circ\)
I momenti principali d’inerzia forniti sono: \(J_1 = 522.1 \text{ cm}^4 = 522.1 \cdot 10^4 \text{ mm}^4\) \(J_2 = 158.0 \text{ cm}^4 = 158.0 \cdot 10^4 \text{ mm}^4\)
I momenti flettenti applicati nel sistema baricentrico sono $\bar{M}_1 = 3 \text{ kNm}$ e $\bar{M}_2 = 2 \text{ kNm}$. Li proiettiamo nel sistema principale $(x_1, x_2)$: \(M_1 = \bar{M}_1 \cos\theta + \bar{M}_2 \sin\theta = 3.0 \cdot \cos(-11.65^\circ) + 2.0 \cdot \sin(-11.65^\circ) \approx 2.534 \text{ kNm}\) \(M_2 = -\bar{M}_1 \sin\theta + \bar{M}_2 \cos\theta = -3.0 \cdot \sin(-11.65^\circ) + 2.0 \cdot \cos(-11.65^\circ) \approx 2.565 \text{ kNm}\)
3. Formula di Navier del Paroni
Secondo la Formula di Navier (8.16) del testo di riferimento, la tensione normale in presenza di sforzo normale e flessione principale è data da: \(\sigma = \frac{N}{A} - \frac{M_2}{J_2} x_1 + \frac{M_1}{J_1} x_2\)
Per ciascun punto, le coordinate nel sistema principale $(x_1, x_2)$ si ricavano da quelle nel sistema baricentrico iniziale $(\bar{x}_1, \bar{x}_2)$ tramite la relazione di rotazione: \(x_1 = \bar{x}_1 \cos\theta + \bar{x}_2 \sin\theta\) \(x_2 = -\bar{x}_1 \sin\theta + \bar{x}_2 \cos\theta\)
Applichiamo queste formule ai punti geometricamente più distanti dall’asse neutro per trovare lo stato tensionale limite:
- Spigolo Alto-Sinistra (esterno dell’ala verticale) $[\bar{x}_1 = 40 \text{ mm}, \bar{x}_2 = -50 \text{ mm}]$:
- Coordinate principali: \(x_1 = 40 \cdot \cos(-11.65^\circ) + (-50) \cdot \sin(-11.65^\circ) \approx 49.27 \text{ mm}\) \(x_2 = -40 \cdot \sin(-11.65^\circ) + (-50) \cdot \cos(-11.65^\circ) \approx -40.89 \text{ mm}\)
- Tensione normale: \(\sigma = -5.72 - \left(\frac{2.565 \cdot 10^6 \text{ Nmm}}{158.0 \cdot 10^4 \text{ mm}^4}\right) (49.27 \text{ mm}) + \left(\frac{2.534 \cdot 10^6 \text{ Nmm}}{522.1 \cdot 10^4 \text{ mm}^4}\right) (-40.89 \text{ mm})\) \(\sigma \approx -5.72 - 79.98 - 19.84 = -105.54 \text{ MPa} \quad \text{(Compressione)}\)
- Spigolo Basso-Destra (esterno dell’ala verticale) $[\bar{x}_1 = -40 \text{ mm}, \bar{x}_2 = 50 \text{ mm}]$:
- Coordinate principali: \(x_1 \approx -49.27 \text{ mm}, \quad x_2 \approx 40.89 \text{ mm}\)
- Tensione normale: \(\sigma = -5.72 - \left(\frac{2.565 \cdot 10^6}{158.0 \cdot 10^4}\right) (-49.27) + \left(\frac{2.534 \cdot 10^6}{522.1 \cdot 10^4}\right) (40.89)\) \(\sigma \approx -5.72 + 79.98 + 19.84 = +94.11 \text{ MPa} \quad \text{(Trazione)}\)
4. Verifica di Resistenza
La tensione massima della sezione si registra allo spigolo Alto-Sinistra ed è una tensione di compressione: \(\sigma_{\text{max}} = | -105.54 \text{ MPa} | = 105.54 \text{ MPa}\)
Confrontando il valore massimo assoluto con la tensione ammissibile del materiale ($\sigma_{\text{amm}} = 160 \text{ MPa}$): \(\sigma_{\text{max}} = 105.54 \text{ MPa} \le \sigma_{\text{amm}} = 160 \text{ MPa}\)
La sezione è verificata, con un coefficiente di sicurezza pari a: \(\eta = \frac{\sigma_{\text{amm}}}{\sigma_{\text{max}}} = \frac{160}{105.54} \approx 1.52\)