Sistemi lineari: esistenza e unicità della soluzione.

Forma matriciale di un sistema lineare

Un sistema lineare di $m$ equazioni in $n$ incognite $(x_1,\ldots, x_n)$ può porsi nella forma

essendo $\mathbf A\in\mathbb R^{m\times n}$ la matrice dei coefficienti (m righe e n colonne), $\mathbf x\in\mathbb R^n$ il vettore delle incognite e $\mathbf b\in\mathbb R^m$ il vettore dei termini noti.

Due questioni fondamentali

A fronte del sistema $\eqref{eq:1}$, le questioni che si pongono sono

1. L’esistenza incondizionata della soluzione (ovvero, l’esistenza della soluzione per ogni $\mathbf b$);
2. L’unicità della eventuale soluzione.

A tali questioni si risponde confrontando il rango della matrice $\mathbf A$:

rispettivamente, con il numero $m$ delle righe e con il numero $n$ delle colonne di $\mathbf A$.

Rango di una matrice

Il rango di una matrice è per definizione il numero massimo di vettori linearmente indipendenti che possono esserne estratti dalle righe o, in modo equivalente, dalle colonne (il fatto che questi due numeri coincidano costituisce uno dei capisaldi dell’algebra lineare). Segue da questa definizione che

Matrici di rango massimo

Una matrice per la quale $\eqref{eq:3}$ risulti verificata come uguaglianza è detta “di rango massimo”.

È ad esempio di rango massimo la matrice $\mathbf A_1=\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0& 1 & 1 \end{matrix} \right)$, per la quale si ha $p=3=\min(3,4)=\min(m,n)$. Che sia $p=3$ lo si vede osservando che le colonne di $\mathbf A_1$ sono tutte linearmente indipendenti. Sono anche linearmente indipendenti le prime tre righe di $\mathbf A_1$, ma la quarta riga è combinazione lineare delle prime tre. Non è di rango massimo la matrice $\mathbf A_2=\left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1\\ 2 & 2 & 2\\ 1 & 0 & 0\\ 1& 0 & 0 \end{matrix} \right)$ per la quale si ha $p=2$. Anche per $\mathbf A_2$, il rango può essere determinato ispezionando le colonne di $\mathbf A_2$ e osservando che la seconda e la terza coincidono, oppure osservando che la seconda e la quarta riga di $\mathbf A_2$ sono proporzionali, rispettivamente, alla prima e alla terza.

Nucleo di una matrice

In base alla definizione, il rango coincide con il numero massimo di equazioni linearmente indipendenti del sistema omogeneo $\mathbf A\mathbf x=\mathbf 0$; le soluzioni di questo sistema costituiscono un sottospazio vettoriale di $\mathbb R^n$ detto “nucleo di $\mathbf A$“, rappresentato mediante il simbolo $\operatorname{Ker}\mathbf A$. La dimensione di tale spazio è:

Adoperando le proprietà di linearità della trasformazione $\mathbf x\mapsto\mathbf A\mathbf x$ è facile verificare che l’unicità della soluzione (quando questa esista) è equivalente all’annullarsi della dimensione del nucleo di $\mathbf A$.

Criterio di unicità

Relativamente alla questione (2) si può pertanto affermare che:

• la condizione $\color{blue}p=n$ è necessaria e sufficiente affinché una soluzione dell’equazione $\mathbf A\mathbf x=\mathbf b$ ammetta al più una soluzione;
• più in generale, se l’insieme delle soluzioni della equazione $\mathbf A\mathbf x=\mathbf b$ è non vuoto, allora tale insieme costituisce una varietà affine di dimensione $n-p$.

A titolo di esempio, l’equazione $\mathbf A_1\mathbf x=\mathbf b$ con $\mathbf b=(2,2,2,0)^T$ ha soluzione $\mathbf x=(2,0,0,0)^T$. Tale soluzione è unica, essendo il rango della matrice pari al numero di colonne. L’equazione omogenea $\mathbf A_2\mathbf x=\mathbf 0$ ammette come soluzione, oltre al vettore nullo, il vettore $\tilde{\mathbf x}=(0,1,-1)^T$ assieme a tutti i suoi multipli.

Spazio immagine e un criterio di esistenza

Relativamente alla questione (1), l’esistenza di una soluzione per $\mathbf b$ assegnato sussiste, ovviamente, se $\mathbf b$ appartiene all’insieme dei valori (vettoriali) assunti da $\mathbf A\mathbf x$ al variare di $\mathbf x\in\mathbb R^n$. Tale insieme prende il nome di immagine della matrice $\mathbf A$, ed è di norma indicato con la notazione $\operatorname{Im}\mathbf A$. Dalla definizione di moltiplicazione riga per colonna segue che l’immagine di $\mathbf A$ non è altro che il sottospazio di $\mathbb R^m$ generato dalle colonne della matrice $\mathbf A$, e dunque

Ne segue che se $p=m$ l’immagine di $\mathbf A$ coincide con $\mathbb R^m$. Pertanto,

• La condizione $\color{blue}p=m$ è sufficiente affinché l’equazione $\mathbf A\mathbf x=\mathbf b$ ammetta soluzione.

Tale condizione non è ovviamente necessaria (si pensi ad esempio al fatto che l’equazione $\mathbf A\mathbf x=\mathbf 0$ ammette sempre la soluzione $\mathbf x=\mathbf 0$) indipendentemente dal rango di $\mathbf A$. Basta infatti che $\mathbf b$ si trovi nell’insieme $\operatorname{Im}\mathbf A$.

Primo criterio di esistenza: teorema degli orlati

Un primo criterio per stabilire la risolubilità si basa sul confronto tra il rango $p$ della matrice $\mathbf A$ e il rango $p'$ della matrice

ottenuta orlando $\mathbf A$ con il vettore colonna $\mathbf b$. Si hanno due possibilità: $p'=p$ oppure $p'=p+1$. Se si verifica la prima possibilità, allora $\mathbf b$ è combinazione lineare delle colonne di $\mathbf A$, e dunque il sistema $\mathbf A\mathbf x=\mathbf b$ è risolubile. Nel secondo caso, $\mathbf b$ non è nello spazio generato dalle colonne di $\mathbf A$, e dunque il sistema non è risolubile. Queste considerazioni permettono di formulare il Teorema degli orlati: condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema $\mathbf A\mathbf x=\mathbf b$ abbia soluzione è che il rango della matrice orlata $\mathbf A'$ sia pari a quello di $\mathbf A$.

Ad esempio, se $\mathbf b=(1,2,0,0)^T$ , allora la matrice $\mathbf A_2'$ ottenuta orlando $\mathbf A_2$ con $\mathbf b$ è

Il rango della matrice orlata è pari a quello della matrice $\mathbf A_2$, pari a $2$. Dunque il sistema ammette soluzione. Se $\mathbf b=(1,1,0,0)^T$ la matrice orlata è

Il rango della matrice orlata è in questo caso $3$, maggiore del rango di $\mathbf A$. Pertanto, il sistema $\mathbf A\mathbf x=\mathbf b$ non ammette soluzione.

Co-nucleo

Un’utile caratterizzazione dello spazio immagine si basa sulla seguente formula:

Tale formula stabilisce che lo spazio $\mathbb R^m$ è somma ortogonale dell’immagine di $\mathbf A$ e del co-nucleo di $\mathbf A$, essendo quest’ultimo definito come il nucleo della matrice $\mathbf A^T$:

L’operatore $\oplus$ nella $\eqref{eq:6}$ sta ad indicare che ogni vettore $\mathbf b\in\mathbb R^m$ (per intenderci, un vettore dei termini noti) si scrive univocamente come somma $\mathbf b=\mathbf b_{I}+\mathbf b_{C}$ di un vettore contenuto nell’immagine di $\mathbf b_I$ e un vettore $\mathbf b_C$ appartenente al co-nucleo, e che questi due vettori sono ortogonali tra loro. Se in questa scomposizione si ha $\mathbf b_C\neq \mathbf 0$, allora $\mathbf b$ non può appartenere all’immagine di $\mathbf A$ e pertanto l’equazione $\mathbf A\mathbf x=\mathbf b$ non è risolubile.

La $\eqref{eq:6}$ implica anche che il co-nucleo ha dimensione pari a

Un secondo criterio di esistenza.

Da un punto di vista operativo, la $\eqref{eq:6}$ è sfruttabile quando sia nota una base di vettori $\{\mathbf v_i:i=1\ldots m-p\}$ per $\operatorname{Coker}\mathbf A$. Infatti:

• Se $p<m$, condizione necessaria e sufficiente affinché l’equazione $\mathbf A\mathbf x=\mathbf b$ ammetta soluzione è che $\mathbf b$ soddisfi le $m-p$ condizioni

  $$\mathbf v_i^T\mathbf b=0,\qquad i=1,\ldots, m-p.$$

A titolo di esempio, il co-nucleo della matrice $\mathbf A_2$ ha dimensione 2. Una sua base è, ad esempio, costituita dai vettori $\mathbf v_1=(2,-1,0,0)^T$ e $\mathbf v_2=(0,0,-1,1)$. Condizione necessaria e sufficiente affinché l’equazione vettoriale $\mathbf A_2\mathbf x=\mathbf b$ ammetta soluzione è che le componenti di $\mathbf b$ soddisfino le condizioni $2b_1-b_2=0$ e $b_3-b_4=0$. Tale condizione è verificata, ad esempio, se $\mathbf b=(1,2,0,0)^T$. In tal caso, una soluzione è $\mathbf x_1=(0,1,0)^T$. Essendo $n=3>2=p$, non possiamo aspettarci che questa sia l’unica soluzione. Infatti si verifica immediatamente che anche $\mathbf x_2=(0,0,1)^T$ è una soluzione, e che più in generale tutti i vettori della forma $(0,1,0)^T+\alpha \tilde{\mathbf x}$ sono soluzione, dove ricordiamo che $\tilde{\mathbf x}$ è un vettore che genera $\operatorname{ker}\mathbf A_2$.