Dal taglio alle azioni interne

Discussione HW-01 e avvio della statica

Primi 14 min — restituzione HW-01/P-1.1: ricostruzione della tangente; ruolo dei due dati iniziali; perché il raccordo di un anello è una condizione separata.

Prova canonica P-1.1

31 min — nuovo contenuto: assiomi di Eulero; carichi e azioni interne; risultati del metodo delle sezioni.

M07-S01a · Concetto base — Assiomi di Eulero

Per un corpo rigido in equilibrio, la risultante delle forze e il momento risultante delle azioni esterne rispetto a $\mathbf O$ sono nulli. Per un mezzo curvilineo aperto $(0,\ell)$, con forze e coppie distribuite $\mathbf f(s),m(s)$ e azioni concentrate interne $(\mathcal F_{s_i},\mathcal M_{s_i})$, gli $s_i$ sono le ascisse curvilinee dei punti caricati e $\mathbb P$ è l’insieme di questi punti:

$$\mathcal F_0+\mathcal F_\ell+\sum_{s_i\in\mathbb P}\mathcal F_{s_i} +\int_0^\ell\mathbf f(s)\,ds=\mathbf0,$$

$$\begin{aligned} &(\mathbf x(0)-\mathbf O)\wedge_2\mathcal F_0+\mathcal M_0 +(\mathbf x(\ell)-\mathbf O)\wedge_2\mathcal F_\ell+\mathcal M_\ell\\ &+\sum_{s_i\in\mathbb P}\left[(\mathbf x(s_i)-\mathbf O)\wedge_2\mathcal F_{s_i}+\mathcal M_{s_i}\right] +\int_0^\ell\left[(\mathbf x(s)-\mathbf O)\wedge_2\mathbf f(s)+m(s)\right]ds=0. \end{aligned}$$

I pedici $0$ e $\ell$ indicano le azioni alle estremità. Sulle parti isolate aggiungiamo le azioni interne ai tagli. In un riferimento non galileiano includiamo le forze d’inerzia di trascinamento.

Nel piano, $\mathbf a\wedge_2\mathbf b=(\mathbf a\wedge\mathbf b)\cdot\mathbf e_3$.

M07-S02 · Forze e coppie distribuite

Sulla configurazione attuale $s\mapsto\mathbf x(s)$, un carico distribuito è descritto da

$$\mathbf f(s)\quad [\mathrm N/\mathrm m], \qquad m(s)\quad [\mathrm N].$$

Su un tratto $J$ la forza risultante è $\int_J\mathbf f\,ds$ e il momento risultante rispetto a $\mathbf O$ è

$$\int_J\left[m(s)+(\mathbf x(s)-\mathbf O)\wedge_2\mathbf f(s)\right]ds.$$

M07-S03 · Azioni concentrate ed estremità

In punti $s_i$ di un insieme finito $\mathbb P$ possono essere applicate forze e coppie concentrate:

$$(\mathcal F_{s_i},\mathcal M_{s_i}\mathbf e_3).$$

Un mezzo aperto $(0,\ell)$ può inoltre ricevere azioni terminali $(\mathcal F_0,\mathcal M_0)$ e $(\mathcal F_\ell,\mathcal M_\ell)$. Le estremità sono libere quando entrambe le azioni sono nulle.

Azioni esterne sul mezzo curvilineo

M07-S04 · Tagliare il mezzo

Ipotesi sugli sforzi interni. Al taglio in $s$, l’interazione locale si riduce a una forza e a una coppia, indipendenti dagli intorni scelti. Distinguiamo l’azione esercitata dalla parte davanti sulla parte dietro (diretta) e quella esercitata dalla parte dietro sulla parte davanti (reciproca):

$$(\mathbf R(s),M(s)),\qquad (\mathbf R^r(s),M^r(s)).$$

La forza diretta si scompone sulla base locale:

$$\mathbf R=N\mathbf t+T\mathbf n,$$

con $N$ sforzo normale, $T$ sforzo tagliante e $M$ momento flettente. L’ipotesi definisce le azioni; non postula già che diretta e reciproca siano opposte.

Azioni interne dopo il taglio

M07-S04a · Proposizione — Cambio del polo dei momenti

Siano $\mathbf F_{\mathrm{ext}}$ e $C_{\mathbf a}$ la risultante e il momento risultante delle stesse azioni esterne rispetto a $\mathbf a$. Per un altro polo $\mathbf b$,

$$C_{\mathbf b}=C_{\mathbf a}+(\mathbf a-\mathbf b)\wedge_2\mathbf F_{\mathrm{ext}}.$$

Quindi, quando $\mathbf F_{\mathrm{ext}}=\mathbf0$, il momento risultante è indipendente dal polo: basta verificarlo rispetto a un punto.

Dimostrazione

M07-S04b · Teorema — Azioni interne determinate dal taglio

Sia un mezzo curvilineo aperto $(0,\ell)$ in equilibrio, con carichi distribuiti integrabili $\mathbf f,m$, carichi concentrati finiti e azioni terminali $(\mathcal F_0,\mathcal M_0)$ e $(\mathcal F_\ell,\mathcal M_\ell)$. Per ogni sezione $s$ non caricata, i bilanci di Eulero sulla parte $(0,s)$ determinano le azioni dirette:

$$\mathbf R(s)=-\mathcal F_0-\int_0^s\mathbf f(\sigma)\,d\sigma-\sum_{s_i\in\mathbb P\cap(0,s)}\mathcal F_{s_i},$$

$$\begin{aligned} M(s)={}&-\mathcal M_0-(\mathbf x(0)-\mathbf x(s))\wedge_2\mathcal F_0\\ &-\int_0^s\!\left[m(\sigma)+(\mathbf x(\sigma)-\mathbf x(s))\wedge_2\mathbf f(\sigma)\right]d\sigma\\ &-\sum_{s_i\in\mathbb P\cap(0,s)}\left[\mathcal M_{s_i}+(\mathbf x(s_i)-\mathbf x(s))\wedge_2\mathcal F_{s_i}\right]. \end{aligned}$$

Le azioni interne di un arco già in equilibrio sono quindi uniche. Il risultato non afferma da solo l’esistenza dell’equilibrio: occorrono anche i bilanci globali.

Dimostrazione

Taglio in un punto caricato

M07-S05 · P-2.1 — Azioni dirette e reciproche

P-2.1. Per un mezzo curvilineo aperto o chiuso in equilibrio, con numero finito di carichi concentrati, le azioni interne al taglio $s$ soddisfano

$$\mathbf R^r(s)+\mathbf R(s)= \begin{cases}\mathbf0,&s\notin\mathbb P,\\\mathcal F_s,&s\in\mathbb P,\end{cases} \qquad M^r(s)+M(s)= \begin{cases}0,&s\notin\mathbb P,\\\mathcal M_s,&s\in\mathbb P.\end{cases}$$

Dimostrazione

Il principio di azione e reazione vale al taglio privo di carico puntuale. Al punto caricato, la somma delle due azioni bilancia la forza o la coppia applicata.

M07-S06 · Ponte a M08

Al taglio senza carico la forza sul lato opposto cambia segno. Quando una forza o una coppia è applicata proprio al taglio, le azioni interne hanno limiti laterali diversi.

M08: P-2.2 determina il salto delle azioni nei punti caricati. M09 dimostra l’equivalenza tra equilibrio di ogni parte ed equazioni locali; M10 tratta esistenza e unicità delle azioni interne.

Dimostrazioni

Dimostrazione — Cambio del polo

Per ciascuna forza concentrata $\mathcal F_{s_i}$, $\mathbf x(s_i)-\mathbf b=(\mathbf x(s_i)-\mathbf a)+(\mathbf a-\mathbf b)$. La stessa identità vale per il braccio $\mathbf x(s)-\mathbf b$ delle forze distribuite. Sommando i contributi concentrati e integrando quelli distribuiti, mentre le coppie restano indipendenti dal polo,

$$\begin{aligned} C_{\mathbf b}&=C_{\mathbf a}+(\mathbf a-\mathbf b)\wedge_2 \left(\sum_i\mathcal F_{s_i}+\int_J\mathbf f(s)\,ds\right)\\ &=C_{\mathbf a}+(\mathbf a-\mathbf b)\wedge_2\mathbf F_{\mathrm{ext}}. \end{aligned}$$

Se la risultante delle forze è nulla, il momento non dipende dal polo.

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Dimostrazione — Azioni interne determinate dal taglio (1/2)

Isoliamo la parte $(0,s)$, con $s\notin\mathbb P$. Il bilancio delle forze secondo gli assiomi di Eulero è

$$\mathbf0=\mathcal F_0+\int_0^s\mathbf f(\sigma)\,d\sigma+ \sum_{s_i\in\mathbb P\cap(0,s)}\mathcal F_{s_i}+\mathbf R(s).$$

Risolvendo rispetto a $\mathbf R(s)$ otteniamo la formula dell’enunciato. Il carico applicato proprio in $s$, se presente, è escluso dalla parte isolata.

Dimostrazione — Azioni interne determinate dal taglio (2/2)

Calcoliamo i momenti della stessa parte rispetto a $\mathbf x(s)$. Il carico distribuito di forza e ogni forza concentrata contribuiscono con il proprio braccio; il momento flettente interno è $M(s)$:

$$\begin{aligned} 0={}&\mathcal M_0+(\mathbf x(0)-\mathbf x(s))\wedge_2\mathcal F_0\\ &+\int_0^s\!\left[m(\sigma)+(\mathbf x(\sigma)-\mathbf x(s))\wedge_2\mathbf f(\sigma)\right]d\sigma\\ &+\sum_{s_i\in\mathbb P\cap(0,s)}\left[\mathcal M_{s_i}+(\mathbf x(s_i)-\mathbf x(s))\wedge_2\mathcal F_{s_i}\right]+M(s). \end{aligned}$$

Questo dà $M(s)$ come nell’enunciato. Poiché entrambi i risultanti sono fissati dai carichi e dal taglio, non esistono due distribuzioni diverse che equilibrino lo stesso arco aperto con gli stessi dati terminali.

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Dimostrazione — P-2.1 (1/2)

Fissiamo un polo $\mathbf O$. Rappresentiamo un’azione $(\mathbf F,C)$ applicata in $\mathbf x$ tramite la forza e il momento rispetto a $\mathbf O$,

$$\mathscr W_{\mathbf O}(\mathbf F,C;\mathbf x) :=\left(\mathbf F,\ C+(\mathbf x-\mathbf O)\wedge_2\mathbf F\right).$$

Per un mezzo aperto, sommiamo i bilanci di Eulero delle due parti separate dal taglio $s$. Le azioni esterne diverse da un eventuale carico concentrato in $s$ compaiono una volta ciascuna; confrontando con il bilancio del mezzo intero otteniamo

$$\mathscr W_{\mathbf O}(\mathbf R,M;\mathbf x(s))+ \mathscr W_{\mathbf O}(\mathbf R^r,M^r;\mathbf x(s)) =\mathscr W_{\mathbf O}(\mathcal F_s,\mathcal M_s;\mathbf x(s)),$$

dove il membro destro è nullo se $s\notin\mathbb P$. Le azioni interne sul taglio sono così ricavate dai bilanci, senza postulare azione e reazione.

Dimostrazione — P-2.1 (2/2)

Per una curva chiusa, scegliamo due tagli distinti $s,r$, che individuano due archi complementari. Sommiamo i bilanci dei due archi e sottraiamo il bilancio della curva intera. Se

$$D(s):=\mathscr W_{\mathbf O}(\mathbf R(s),M(s);\mathbf x(s))+ \mathscr W_{\mathbf O}(\mathbf R^r(s),M^r(s);\mathbf x(s))- \mathscr W_{\mathbf O}(\mathcal F_s,\mathcal M_s;\mathbf x(s)),$$

si ottiene $D(s)+D(r)=0$. La relazione vale per ogni coppia di tagli distinti. Applicandola a tre tagli distinti $s,r,t$ si ricava $D(s)=D(r)=D(t)=\mathbf0$; dunque $D(s)=\mathbf0$ per ogni taglio.

Uguagliando le componenti di forza delle coppie forza–momento otteniamo $\mathbf R^r+\mathbf R=\mathcal F_s$. Usando questa relazione nelle componenti di momento rispetto a $\mathbf O$ si ottiene $M^r+M=\mathcal M_s$, come richiesto.

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