1.4 Cinematica di un mezzo continuo curvilineo
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Orientamento
La sezione sviluppa 1.4.1 descrizione lagrangiana del movimento, 1.4.2 descrizione euleriana del movimento.
Contenuti
- 1.4.1 Descrizione lagrangiana del movimento
- 1.4.2 Descrizione euleriana del movimento
In questa sezione faremo “muovere continuamente” il mezzo curvilineo considerando cambi di configurazione che dipendono da un parametro reale. In dinamica, questo parametro sarà il tempo; in problemi detti quasi-statici, in cui il mezzo è sempre in una configurazione di equilibrio ma sotto sollecitazioni variabili, il parametro servirà per descrivere la storia del carico e delle configurazioni di equilibrio associate; nell’approccio variazionale infine si introdurrà un parametro per descrivere movimenti virtuali del mezzo. Per semplificare la presentazione, in tutta la prima parte tale parametro sarà indicato con \(t\) e chiamato tempo, i suoi valori saranno gli istanti. Solo nella parte dedicata ai movimenti virtuali si adotteranno notazioni specifiche per distinguere bene i movimenti virtuali da quelli reali. Ad ogni istante, il mezzo continuo curvilineo occuperà quindi una posizione (reale o virtuale) che descriveremo come una curva parametrizzata. Sono possibili due opzioni per scegliere il parametro: la descrizione detta lagrangiana in cui si seguono i punti materiali nel loro movimento e la descrizione detta euleriana dove si descrive il movimento dal punto di vista dello spazio.
1.4.1 Descrizione lagrangiana del movimento
Si sceglie di seguire i punti materiali nel loro movimento. Per questo si introduce una configurazione detta di riferimento che serve a identificare i punti materiali, esattamente come fatto per descrivere le deformazioni nella sezione precedente. L’unica differenza è che qui si considerano, non una sola configurazione deformata, ma una famiglia di tali configurazioni parametrizzate dal tempo \(t\). Consideriamo il caso in cui il mezzo continuo si muove nel piano e prendiamo come configurazione di riferimento una curva piana parametrizzata dalla sua ascissa curvilinea, indicata con \(S\) per distinguerla dall’ascissa curvilinea \(s\) nella configurazione “attuale”. La configurazione di riferimento corrisponde all’applicazione
\[S \mapsto \mathbf{x}_{\mathrm{R}}(S)\]i cui vettori tangente e normale, l’angolo tangente e la curvatura sono rispettivamente dati da
\[\left\{\begin{array}{l} \mathbf{t}_{\mathrm{R}}(S)=\frac{d \mathbf{x}_{\mathrm{R}}}{d S}(S)=\cos \alpha_{\mathrm{R}}(S) \mathbf{e}_{1}+\sin \alpha_{\mathrm{R}}(S) \mathbf{e}_{2}, \\ \mathbf{n}_{\mathrm{R}}(S)=\mathbf{e}_{3} \wedge \mathbf{t}_{\mathrm{R}}(S)=-\sin \alpha_{\mathrm{R}}(S) \mathbf{e}_{1}+\cos \alpha_{\mathrm{R}}(S) \mathbf{e}_{2}, \\ \mathrm{C}_{\mathrm{R}}(S)=\frac{d \alpha_{\mathrm{R}}}{d S}(S). \end{array}\right.\]Un punto materiale è identificato dalla sua ascissa curvilinea \(S\) nella configurazione di riferimento. Durante il moto il mezzo occupa, a ogni istante, una configurazione rappresentata da una curva piana. Nella descrizione lagrangiana manteniamo come parametro l’ascissa curvilinea di riferimento \(S\), che in generale non coincide con l’ascissa curvilinea della configurazione corrente. Il simbolo \(t\) denota il tempo o, più in generale, un parametro cinematico che descrive l’evoluzione della configurazione. La posizione del mezzo all’istante \(t\) è data dall’applicazione
\[(S, t) \mapsto \mathbf{x}(S, t)\]dove \(\mathbf{x}(S, t)\) indica la posizione all’istante \(t\) del punto materiale che si trova all’ascissa curvilinea \(S\) nella configurazione di riferimento. Utilizzando (1.6) e tenendo \(S_{0}\) come punto origine, l’ascissa curvilinea all’istante \(t\) del punto che nella configurazione di riferimento si trova in \(S\) si scrive
\[\mathrm{s}(S, t)=\int_{S_{0}}^{S}\left\|\mathbf{x}^{\prime}\left(S^{*}, t\right)\right\| d S^{*} \tag{1.30}\]dove l’apice indica la derivata parziale rispetto a \(S\), cioè
\[\mathbf{x}^{\prime}(S, t):=\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial S}(S, t).\]Si ha quindi
\[\mathrm{s}^{\prime}(S, t)=\left\|\mathbf{x}^{\prime}(S, t)\right\|. \tag{1.31}\]I vettori unitari tangente e normale, l’angolo tangente e la curvatura sono anch’essi funzioni di \(S\) e \(t\):
\[\left\{\begin{array}{l} \mathbf{t}(S, t)=\frac{\mathbf{x}^{\prime}(S, t)}{\left\|\mathbf{x}^{\prime}(S, t)\right\|}=\cos \alpha(S, t) \mathbf{e}_{1}+\sin \alpha(S, t) \mathbf{e}_{2}, \tag{1.32}\\ \mathbf{n}(S, t)=\mathbf{e}_{3} \wedge \mathbf{t}(S, t)=-\sin \alpha(S, t) \mathbf{e}_{1}+\cos \alpha(S, t) \mathbf{e}_{2}, \\ \mathrm{C}(S, t)=\frac{\alpha^{\prime}(S, t)}{\left\|\mathbf{x}^{\prime}(S, t)\right\|} \end{array}\right.\]Introducendo la rotazione tra la configurazione di riferimento e quella attuale, si ha
\[\omega(S, t):=\alpha(S, t)-\alpha_{\mathrm{R}}(S, t) \tag{1.33}\]La velocità \(\mathbf{v}\) dei punti materiali si ottiene derivando la posizione rispetto al tempo a \(S\) fissato, cioè
\[\mathbf{v}(S, t)=\dot{\mathbf{x}}(S, t):=\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}(S, t) \tag{1.34}\]Notando che \(\mathbf{x}=\mathbf{x}_{\mathrm{R}}+\boldsymbol{\xi}\), si ha \(\mathbf{v}=\dot{\boldsymbol{\xi}}\) e la velocità risulta anche la velocità di spostamento:
\[\mathbf{v}(S, t)=\dot{\mathbf{x}}(S, t)=\dot{\boldsymbol{\xi}}(S, t) \tag{1.35}\]L’accelerazione \(\gamma\) dei punti materiali si ottiene derivando la velocità rispetto al tempo a \(S\) fissato, cioè calcolando la derivata seconda della posizione rispetto al tempo,
\[\gamma(S, t)=\dot{\mathbf{v}}(S, t)=\ddot{\mathbf{x}}(S, t)=\ddot{\boldsymbol{\xi}}(S, t) \tag{1.36}\]Se l’origine dell’ascissa curvilinea rimane fissa nel tempo, \(\dot{\mathrm{s}}(S,t)\) rappresenta la velocità di variazione della lunghezza del tratto compreso tra l’origine e il punto materiale \(S\). Nella descrizione lagrangiana questa quantità si collega al campo di velocità e alla configurazione del mezzo all’istante \(t\). Derivando (1.31) rispetto al tempo e usando (1.34), otteniamo
\[\dot{\mathrm{s}}^{\prime}=\frac{\mathbf{x}^{\prime}\cdot \dot{\mathbf{x}}^{\prime}}{\left\|\mathbf{x}^{\prime}\right\|}=\dot{\mathbf{x}}^{\prime} \cdot \mathbf{t} = \mathbf{v}^{\prime} \cdot \mathbf{t}\]È sufficiente integrare rispetto a \(S\) per ottenere
\[\dot{\mathrm{s}}(S, t)=\int_{S_{0}}^S \mathbf{v}^{\prime}(S^*, t)\cdot \mathbf{t}(S^*, t)\ d S^*\]Notiamo che poiché \(\mathrm{s}^{\prime} = 1 + \varepsilon\), si ha \(\dot{\mathrm{s}}^{\prime} = \dot{\varepsilon}\) e si ottiene quindi l’espressione della velocità di deformazione di estensione:
\[\dot{\varepsilon}(S, t)=\mathbf{v}^{\prime}(S, t) \cdot \mathbf{t}(S, t) \tag{1.37}\]La derivata temporale dell’angolo tangente, \(\dot{\alpha}\), è la velocità angolare. Poiché \(\alpha=\alpha_{\mathrm{R}}+\omega\), si ha \(\dot{\alpha}=\dot{\omega}\). Salvo i moti di corpo rigido, la velocità angolare dipende dal punto \(S\); \(\dot{\omega}(S,t)\) rappresenta la velocità angolare istantanea del riferimento locale \((\mathbf{t},\mathbf{n})\) attorno all’asse \(\mathbf{e}_{3}\). Dalla (1.32) otteniamo
\[\dot{\mathbf{t}} = \dot{\omega} \mathbf{n}, \quad \dot{\mathbf{n}} = -\dot{\omega} \mathbf{t} \tag{1.38}\]ma anche
\[\dot{\mathbf{t}} = \frac{\dot{\mathbf{x}}^{\prime}}{\left\|\mathbf{x}^{\prime}\right\|}-\frac{\mathbf{x}^{\prime} \cdot \dot{\mathbf{x}}^{\prime}}{\left\|\mathbf{x}^{\prime}\right\|^{3}} \mathbf{x}^{\prime} = \frac{1}{\left\|\mathbf{x}^{\prime}\right\|} \left( \mathbf{v}^{\prime} - (\mathbf{v}^{\prime}\cdot \mathbf{t})\mathbf{t} \right) = \frac{\mathbf{v}^{\prime} \cdot \mathbf{n}}{\left\|\mathbf{x}^{\prime}\right\|} \mathbf{n}\]e confrontando si deduce l’espressione della velocità di rotazione in funzione della derivata spaziale della velocità:
\[\dot{\omega}(S, t) = \frac{\mathbf{v}^{\prime}(S, t) \cdot \mathbf{n}(S, t)}{\left\|\mathbf{x}^{\prime}(S, t)\right\|} \tag{1.39}\]Derivando rispetto a \(S\) ricaviamo la velocità di deformazione di flessione: \(\dot{\kappa}=\dot{\omega}^{\prime}\).
1.4.2 Descrizione euleriana del movimento
Nella descrizione euleriana, la configurazione del mezzo a ogni istante è una curva parametrizzata dalla propria ascissa curvilinea,
\[(s, t) \mapsto \mathbf{x}(s, t)\]I vettori unitari tangente e normale, l’angolo tangente e la curvatura si deducono allora da (1.8)-(1.10):
\[\left\{\begin{array}{l} \mathbf{t}(s, t)=\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial s}(s, t)=\cos \alpha(s, t) \mathbf{e}_{1}+\sin \alpha(s, t) \mathbf{e}_{2} \tag{1.40}\\ \mathbf{n}(s, t)=\mathbf{e}_{3} \wedge \mathbf{t}(s, t)=-\sin \alpha(s, t) \mathbf{e}_{1}+\cos \alpha(s, t) \mathbf{e}_{2} \\ \mathrm{C}(s, t)=\frac{\partial \alpha}{\partial s}(s, t) \end{array}\right.\]Si perde così il riferimento ai punti materiali; da un istante all’altro, il punto geometrico di ascissa curvilinea \(s\) corrisponde in generale a due diversi punti materiali. Per recuperare questo riferimento ai punti materiali, bisogna fornire (oltre alla configurazione euleriana \(\mathbf{x}\)) la velocità di estensione euleriana, cioè l’applicazione
\[(s, t) \mapsto v(s, t)\]che dà la velocità di estensione del mezzo nel punto di ascissa curvilinea \(s\) all’istante \(t\). Infatti, se si identifica un punto materiale tramite la sua ascissa curvilinea \(S\) nella configurazione del mezzo all’istante \(t_0\) fissato come riferimento temporale, allora l’ascissa curvilinea di quel punto all’istante \(t\) sarà \(\mathrm{s}(S, t)\), soluzione dell’equazione differenziale
\[\frac{\partial \mathrm{s}}{\partial t}(S, t)=v(\mathrm{s}(S, t), t), \quad \mathrm{s}(S, t_{0})=S\]Risolta questa equazione, nota \(\mathrm{s}(S, t)\), si può così ricostruire l’evoluzione della posizione dei punti materiali del mezzo curvilineo con l’applicazione
\[(S, t) \mapsto \mathbf{x}(\mathrm{s}(S, t), t)\]Si noti che \(\partial v / \partial s\) rappresenta la velocità euleriana di deformazione di estensione. La velocità di estensione euleriana serve anche a definire il campo euleriano delle velocità:
\[\mathbf{v}(s, t)=\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}(s, t)+v(s, t) \mathbf{t}(s, t) \tag{1.41}\]\(\mathbf{v}(s,t)\) rappresenta dunque la velocità del punto materiale che occupa l’ascissa curvilinea \(s\) all’istante \(t\). In generale, si usa \(v\) per definire la cosiddetta derivata materiale:
\[\frac{D}{D t}:=\frac{\partial}{\partial t}+v \frac{\partial}{\partial s} \quad \text{ (derivata materiale) } \tag{1.42}\]Questa derivata serve a descrivere l’evoluzione rispetto al tempo di quantità associate a un punto materiale. Quindi, se \(Q(S, t)\) e \(q(s, t)\) denotano rispettivamente i campi lagrangiano ed euleriano associati a una stessa grandezza fisica, questi due campi sono collegati da
\[Q(S, t)=q(s(S, t), t)\]Derivando rispetto al tempo \(t\) con il punto materiale \(S\) fissato in entrambi i membri della relazione sopra, si ottiene
\[\dot{Q}(S, t)=\frac{D q}{D t}(s, t)\]\[\mathbf{v}=\frac{D \mathbf{x}}{D t}, \quad v=\frac{D s}{D t}\]Esercizio 1.3. Mostrare che il campo di velocità euleriana è la derivata materiale della posizione e che la velocità di estensione euleriana è la derivata materiale dell’ascissa curvilinea, cioè
Si definisce così l’accelerazione euleriana come la derivata materiale della velocità euleriana:
\[\gamma=\frac{D \mathbf{v}}{D t} \tag{1.43}\]e la velocità di rotazione euleriana è la derivata materiale dell’angolo tangente, ovvero \(\frac{D \alpha}{D t}\). Partendo dalla (1.40) e calcolando la derivata materiale di \(\mathbf{t}\) si ottiene
\[\frac{D \alpha}{D t} \mathbf{n}=\frac{D \mathbf{t}}{D t}=\frac{D}{D t}\left(\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial s}\right)=\frac{\partial^{2} \mathbf{x}}{\partial s \partial t}+v \frac{\partial^{2} \mathbf{x}}{\partial s^{2}}=\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial s}-\frac{\partial v}{\partial s} \mathbf{t}\]Proiettando nel riferimento locale ( \(\mathbf{t}, \mathbf{n}\) ), si ottengono le espressioni della velocità euleriana di rotazione e della velocità di deformazione di estensione in termini della derivata spaziale della velocità euleriana:
\[\frac{D \alpha}{D t}=\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial s} \cdot \mathbf{n}, \quad \frac{\partial v}{\partial s}=\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial s} \cdot \mathbf{t} \tag{1.44}\]← 1.3 Deformazioni di un mezzo continuo curvilineo · Indice · 2.1 Sforzi esterni →