2.5 Alcune proprietà generali degli sforzi interni
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Orientamento
La sezione sviluppa 2.5.1 il principio di azione e reazione, 2.5.2 le proprietà di continuità.
Contenuti
- 2.5.1 Il principio di azione e reazione
- 2.5.2 Le proprietà di continuità
2.5.1 Il principio di azione e reazione
Proposizione 2.1 (Relazioni tra gli sforzi interni diretti e reciproci).
- In un punto di un mezzo continuo curvilineo non soggetto a sforzi esterni concentrati, si applica il principio di azione e reazione e gli sforzi interni reciproci sono gli opposti degli sforzi interni diretti.
- In un punto soggetto a sforzi esterni concentrati, invece, la somma degli sforzi interni diretti e reciproci non è nulla, ma è uguale agli sforzi esterni concentrati applicati in quel punto.
In sintesi,
\[\mathbf{R}^{r}(s)+\mathbf{R}(s)=\left\{\begin{array}{ll} \mathbf{0} & \text { se } s \notin \mathbb{P} \tag{2.15}\\ \mathcal{F}_{s} & \text { se } s \in \mathbb{P} \end{array}, \quad M^{r}(s)+M(s)= \begin{cases}\mathbf{0} & \text { se } s \notin \mathbb{P} \\ \mathcal{M}_{s} & \text { se } s \in \mathbb{P}\end{cases}\right.\]dove \(\mathbb{P}\) indica l’insieme dei punti \(s\) in cui sono applicati sforzi esterni concentrati.
Dimostrazione. Sappiamo calcolare gli sforzi interni diretti'' $$(\mathbf{R}(s),M(s))$$ ereciproci’’ \((\mathbf{R}^{r}(s),M(s))\) in ogni punto del mezzo in equilibrio, per una configurazione e sforzi esterni assegnati: esattamente nel caso di un mezzo con estremità, a meno di un vettore forza e di un momento nel caso di una curva chiusa. Possiamo quindi confrontarli e verificare se si applica il principio di azione e reazione. Consideriamo un mezzo con estremità; sommando le (2.4) e (2.6) otteniamo
Tenendo conto della (2.2), otteniamo
\[\mathbf{R}^{r}(s)+\mathbf{R}(s)=\sum_{s_{i} \in \mathbb{P} \cap\{s\}} \mathcal{F}_{s_{i}}= \begin{cases}\mathbf{0} & \text { se } s \notin \mathbb{P} \\ \mathcal{F}_{s} & \text { se } s \in \mathbb{P}\end{cases}\]Procedendo allo stesso modo per i momenti e sommando le (2.5) e (2.7), otteniamo
\[\begin{aligned} 0 & =M^{r}(s)+M(s)+\mathcal{M}_{0}+(\mathbf{x}(0)-\mathbf{x}(s)) \mathbin{\wedge_2} \mathcal{F}_{0}+\int_{0}^{\ell} m(\tilde{s}) d \tilde{s}+\int_{0}^{\ell}(\mathbf{x}(\tilde{s})-\mathbf{x}(s)) \mathbin{\wedge_2} \mathbf{f}(\tilde{s}) d \tilde{s} \\ & +\sum_{s_{i} \in \mathbb{P}} \mathcal{M}_{s_{i}}-\sum_{s_{i} \in \mathbb{P} \cap\{s\}} \mathcal{M}_{s_{i}}+\sum_{s_{i} \in \mathbb{P}}\left(\mathbf{x}\left(s_{i}\right)-\mathbf{x}(s)\right) \mathbin{\wedge_2} \mathcal{F}_{s_{i}}+\mathcal{M}_{\ell}+(\mathbf{x}(\ell)-\mathbf{x}(s)) \mathbin{\wedge_2} \mathcal{F}_{\ell} \end{aligned}\]Tenendo conto delle (2.2) e (2.3), la relazione precedente si semplifica e otteniamo
\[M^{r}(s)+M(s)=\sum_{s_{i} \in \mathbb{P} \cap\{s\}} \mathcal{M}_{s_{i}}= \begin{cases}\mathbf{0} & \text { se } s \notin \mathbb{P} \\ \mathcal{M}_{s} & \text { se } s \in \mathbb{P}\end{cases}\]Il principio di azione e reazione si applica dunque soltanto nei punti in cui non agiscono sforzi esterni concentrati. Nei punti in cui agiscono tali sforzi, la somma dello sforzo interno diretto e dello sforzo reciproco è uguale allo sforzo esterno concentrato applicato. Questo risultato, qui stabilito per un mezzo curvilineo aperto, vale anche per un mezzo chiuso; lasciamo la verifica come esercizio.
Esercizio 2.5. Verificare che il risultato enunciato in P-2.1 vale nel caso di un mezzo curvilineo chiuso.
2.5.2 Le proprietà di continuità
\[\left\{\begin{array}{llc} \mathbf{R}^{-}\left(s_{i}\right)=\mathbf{R}\left(s_{i}\right), & \mathbf{R}^{+}\left(s_{i}\right)=\mathbf{R}\left(s_{i}\right)-\mathcal{F}_{s_{i}}, & \left[\!\left[ \mathbf{R} \right]\!\right]\left(s_{i}\right)=-\mathcal{F}_{s_{i}} \\ M^{-}\left(s_{i}\right)=M\left(s_{i}\right), & M^{+}\left(s_{i}\right)=M\left(s_{i}\right)-\mathcal{M}_{s_{i}}, & \left[\!\left[ M \right]\!\right]\left(s_{i}\right)=-\mathcal{M}_{s_{i}} \end{array}\right.\]Proposizione 2.2 (Discontinuità degli sforzi interni nei punti \(s_i\in\mathbb{P}\)). In un punto \(s_i\) in cui agiscono sforzi esterni concentrati, gli sforzi interni diretti sono continui a sinistra, ma non a destra, e il loro salto è l’opposto dello sforzo concentrato applicato:
Dimostrazione. Esaminiamo se la dipendenza degli sforzi interni dall’ascissa curvilinea è continua. Per semplicità ragioniamo sulle relazioni stabilite per un mezzo con estremità. Dalle (2.4)–(2.7) segue che tutti gli sforzi interni sono continui nei punti \(s\notin\mathbb{P}\). Consideriamo ora un punto \(s_i\in\mathbb{P}\) e i punti poco a destra di esso, cioè \(s=s_i+h\) con \(h>0\) piccolo. Poiché \(\mathbb{P}\cap(s_i,\ell)=\mathbb{P}\cap(s_i+h,\ell)\) per \(h\) sufficientemente piccolo, dalle (2.4) e (2.5) otteniamo
\[\mathbf{R}^{r+}\left(s_{i}\right):=\lim _{h \downarrow 0} \mathbf{R}^{r}\left(s_{i}+h\right)=\mathbf{R}^{r}\left(s_{i}\right), \quad M^{r+}\left(s_{i}\right):=\lim _{h \downarrow 0} M^{r}\left(s_{i}+h\right)=M^{r}\left(s_{i}\right),\]Gli sforzi interni reciproci sono quindi continui a destra. Se invece consideriamo i punti poco a sinistra, cioè \(s=s_i-h\) con \(h>0\) piccolo, l’insieme \(\mathbb{P}\cap(s_i-h,\ell)\) contiene, rispetto a \(\mathbb{P}\cap(s_i,\ell)\), anche il punto \(s_i\). Di conseguenza, ancora dalle (2.4) e (2.5), otteniamo
\[\mathbf{R}^{r-}\left(s_{i}\right):=\lim _{h \downarrow 0} \mathbf{R}^{r}\left(s_{i}-h\right)=\mathbf{R}^{r}\left(s_{i}\right)-\mathcal{F}_{s_{i}}, \quad M^{r-}\left(s_{i}\right):=\lim _{h \downarrow 0} M^{r}\left(s_{i}-h\right)=M^{r}\left(s_{i}\right)-\mathcal{M}_{s_{i}}\]Gli sforzi interni reciproci non sono quindi continui a sinistra in \(s_i\). Essi sono dunque discontinui e il loro salto è uguale allo sforzo esterno concentrato applicato in quel punto:
\[\left[\!\left[ \mathbf{R}^{r} \right]\!\right]\left(s_{i}\right):=\mathbf{R}^{r+}\left(s_{i}\right)-\mathbf{R}^{r-}\left(s_{i}\right)=\mathcal{F}_{s_{i}}, \quad \left[\!\left[ M^{r} \right]\!\right]\left(s_{i}\right):=M^{r+}\left(s_{i}\right)-M^{r-}\left(s_{i}\right)=\mathcal{M}_{s_{i}}.\]Possiamo seguire lo stesso procedimento per gli sforzi interni diretti usando le (2.6) e (2.7); si ottengono così le relazioni enunciate.
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