Sito personale Indice della dispensa

6.5 Vibrazioni delle aste elastiche

Convenzioni di notazione

← 6.4 Dinamica dei fili inestensibili · Indice · Appendice A: Alcuni richiami di meccanica →

Orientamento

La sezione studia le vibrazioni libere di un’asta rettilinea e introduce la decomposizione modale e la risonanza forzata.

Contenuti

  • 6.5.1 Vibrazioni libere intorno a una configurazione naturale rettilinea
    • Ipotesi e definizioni
    • Equazioni
    • Soluzione
    • Dipendenza dalle condizioni agli estremi
  • 6.5.2 Vibrazioni forzate e risonanza
    • Problema
    • Equazioni
    • Decomposizione modale
    • Soluzione
    • Conclusioni

Nota editoriale sulle formule. Alcune formule della fonte digitale presentano simboli o etichette sospetti. Sono conservate senza ricostruzioni congetturali.

La dinamica di aste e archi dotati di rigidezza flessionale è più complessa di quella dei fili o delle barre in trazione–compressione.

6.5.1 Vibrazioni libere intorno a una configurazione naturale rettilinea

Assunzioni e definizioni

Consideriamo un’asta elastica omogenea di lunghezza naturale \(\ell_{\mathrm{R}}\) e densità lineare \(\varrho_{\mathrm{R}}\). Scegliamo gli assi in modo che la configurazione naturale di riferimento sia

\[\mathbf{x}_{\mathrm{R}}(S)=S \mathbf{e}_{1}, \quad S \in\left(0, \ell_{\mathrm{R}}\right).\]

Studiamo piccoli moti attorno alla configurazione naturale, in assenza di forze distribuite e concentrate, con condizioni omogenee agli estremi.

Definizione 6.5 (Moto libero). Un piccolo moto di un’asta elastica attorno alla configurazione naturale rettilinea è libero se soddisfa le proprietà seguenti.

  1. Tutti i punti si muovono in fase:
\[\mathbf{x}(S, t)=S \mathbf{e}_{1}+\boldsymbol{\xi}(S, t) \quad \text {— sì,} \quad \boldsymbol{\xi}(S, t)=\varphi(t) \overline{\boldsymbol{\xi}}(S),\]

dove \(\varphi\) è la funzione di fase, non identicamente nulla, e \(\bar{\boldsymbol{\xi}}\) è la forma modale, anch’essa non identicamente nulla.

  1. Il moto soddisfa le equazioni linearizzate in assenza di azioni esterne.
  2. Il moto soddisfa condizioni omogenee agli estremi, cioè condizioni cinematiche o statiche già soddisfatte dalla configurazione naturale.

Le tre richieste hanno ruoli distinti.

  1. Il moto in fase conduce a oscillazioni armoniche e alle nozioni di pulsazione propria e modo proprio.
  2. La teoria modale qui sviluppata dipende dalla linearizzazione. I moti liberi si mantengono senza apporto di energia esterna.
  3. Pulsazioni e modi propri dipendono dalle condizioni agli estremi.

Equazioni

Scomponiamo la forma modale nelle componenti assiale e trasversale:

\[\overline{\boldsymbol{\xi}}(S)=\overline{u}(S) \mathbf{e}_{1}+\overline{w}(S) \mathbf{e}_{2}.\]

Nell’ipotesi di piccoli spostamenti usiamo le espressioni linearizzate di deformazione e rotazione:

\[\varepsilon(S, t)=\varphi(t) \overline{u}^{\prime}(S), \quad \omega(S, t)=\varphi(t) \overline{w}^{\prime}(S), \quad \kappa(S, t)=\varphi(t) \overline{w}^{\prime \prime}(S)\]

Assumiamo inoltre comportamento linearmente elastico e omogeneo:

\[N(S, t)=\mathrm{EA} \varepsilon(S, t), \quad M(S, t)=\mathrm{El} \kappa(S, t)\]

In assenza di azioni distribuite, le equazioni del moto sono

\[\left\{\begin{array}{l} \mathbf{R}^{\prime}(S, t)-\varrho_{\mathrm{R}} \ddot{\mathbf{x}}(S, t)=\mathbf{0}, \\ M^{\prime}(S, t)+\left\|\mathbf{x}^{\prime}(S, t)\right\| T(S, t)=0, \end{array}\right.\]

Esse valgono per ogni \(S\in(0,\ell_{\mathrm{R}})\) e \(t\). Linearizzando l’equilibrio dei momenti con \(\|\mathbf{x}^{\prime}\|\simeq1\) otteniamo

\[T(S, t)=-M^{\prime}(S, t)=-\mathrm{El} \varphi(t) \overline{w}^{\prime \prime \prime}(S).\]

Sostituendo nelle equazioni delle forze, usando le leggi costitutive e proiettando sugli assi, ricaviamo

\[\left\{\begin{array}{l} \operatorname{EA} \varphi(t) \overline{u}^{\prime \prime}(S)-\varrho_{\mathrm{R}} \ddot{\varphi}(t) \overline{u}(S)=0, \tag{6.13}\\ \operatorname{El} \varphi(t) \overline{w}^{\prime \prime \prime \prime}(S)+\varrho_{\mathrm{R}} \ddot{\varphi}(t) \overline{w}(S)=0. \end{array}\right.\]

Per fissare le idee assumiamo una cerniera in \(S=0\) e un appoggio semplice in \(S=\ell_{\mathrm{R}}\). Altri vincoli saranno considerati negli esercizi.

Figura

Figura 6.8 — Asta incernierata in \(S=0\) e semplicemente appoggiata in \(S=\ell_{\mathrm{R}}\).

Le condizioni agli estremi, nella teoria linearizzata, sono

\[\left\{\begin{aligned} \text {fissaggio con rotazione libera in} 0: & \varphi(t) \overline{u}(0)=0, \quad \varphi(t) \overline{w}(0)=0, \quad \varphi(t) \overline{w}^{\prime \prime}(0)=0; \\ \text {semplice supporto in} \ell: & \varphi(t) \overline{u}^{\prime}\left(\ell_{\mathrm{R}}\right)=0, \quad \varphi(t) \overline{w}\left(\ell_{\mathrm{R}}\right)=0, \quad \varphi(t) \overline{w}^{\prime \prime}\left(\ell_{\mathrm{R}}\right)=0. \end{aligned}\right.\tag{6.14}\]

Le (6.13) e (6.14) governano i piccoli moti liberi per questi vincoli.

Soluzione

Procediamo per passi.

  1. Equazione della fase. Mostriamo che \(\varphi\) soddisfa un’equazione armonica.

a) Non può essere \(\ddot\varphi\equiv0\). In tal caso la (6.13) imporrebbe \(\bar{u}^{\prime\prime}=0\) e \(\bar{w}^{\prime\prime\prime\prime}=0\); le condizioni agli estremi darebbero \(\bar{u}=\bar{w}=0\), contro la definizione di modo proprio.

b) Esiste \(k\neq0\) tale che

\[\ddot{\varphi}(t)+\mathrm{k} \varphi(t)=0, \quad \forall t \tag{6.15}\]

Poiché \(\bar{\boldsymbol{\xi}}\not\equiv\mathbf{0}\), almeno una fra \(\bar{u}\) e \(\bar{w}\) non è identicamente nulla. Se \(\bar{u}\not\equiv0\), scegliamo \(S_{0}\) con \(\bar{u}(S_{0})\neq0\) e poniamo

\[\mathrm{k}:=-\frac{\mathrm{EA} \overline{u}^{\prime \prime}\left(S_{0}\right)}{\varrho_{\mathrm{R}} \overline{u}\left(S_{0}\right)},\]

La prima equazione di (6.13) dà allora \(\ddot\varphi+k\varphi=0\). Inoltre \(k\neq0\), perché \(\ddot\varphi\not\equiv0\). Se invece \(\bar{u}\equiv0\), allora \(\bar{w}\not\equiv0\); scegliendo \(S_{0}\) con \(\bar{w}(S_{0})\neq0\) e ponendo

\[\mathrm{k}:=\frac{\mathrm{E} \mid \overline{w}^{\prime \prime \prime \prime}\left(S_{0}\right)}{\varrho_{\mathrm{R}} \overline{w}\left(S_{0}\right)},\]

la seconda equazione di (6.13) fornisce la stessa equazione per \(\varphi\), ancora con \(k\neq0\).

c) Usando \(\ddot\varphi=-k\varphi\), le equazioni del moto diventano

\[0=\varphi(t)\left(\mathrm{EA}^{\prime \prime}(S)+\varrho_{\mathrm{R}} \mathrm{k} \overline{u}(S)\right), \quad 0=\varphi(t)\left(\mathrm{EI}^{\prime \overline{w}^{\prime \prime \prime \prime}}(S)-\varrho_{\mathrm{R}} \mathrm{k} \overline{w}(S)\right)\]

Poiché \(\varphi\not\equiv0\), scegliamo \(t_{0}\) con \(\varphi(t_{0})\neq0\). Le equazioni e le condizioni agli estremi implicano i due problemi disaccoppiati

\[\left\{\begin{array}{l} \mathrm{EA} \overline{u}^{\prime \prime}(S)+\varrho_{\mathrm{R}} \mathrm{k} \overline{u}(S)=0, \quad \forall S \in\left(0, \ell_{\mathrm{R}}\right), \tag{6.16}\\ \overline{u}(0)=0, \quad \overline{u}^{\prime}\left(\ell_{\mathrm{R}}\right)=0, \end{array}\right.\]

e

\[\left\{\begin{array}{l} \mathrm{EI} \overline{w}^{\prime \prime \prime \prime}(S)-\varrho_{\mathrm{R}} \mathrm{k} \overline{w}(S)=0, \quad \forall S \in\left(0, \ell_{\mathrm{R}}\right), \tag{6.17}\\ \overline{w}(0)=0, \quad \overline{w}^{\prime \prime}(0)=0, \quad \overline{w}\left(\ell_{\mathrm{R}}\right)=0, \quad \overline{w}^{\prime \prime}\left(\ell_{\mathrm{R}}\right)=0. \end{array}\right.\]

Il problema (6.16) governa i modi assiali; il problema (6.17) governa i modi flessionali.

d) Mostriamo che \(k>0\). Moltiplichiamo la (6.16) per \(\bar{u}\), la (6.17) per \(\bar{w}\), sommiamo e integriamo:

\[0=\int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}}\left(-\mathrm{EA}^{\prime \prime}(S) \overline{u}(S)+\mathrm{EI}^{\prime \prime \prime \prime}(S) \overline{w}(S)\right) d S-\mathrm{k} \int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \varrho_{\mathrm{R}}\left(\overline{u}(S)^{2}+\overline{w}(S)^{2}\right) d S \tag{6.18}\]

Integrando per parti il termine assiale otteniamo

\[-\int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \mathrm{EA}^{\prime \prime}(S) \overline{u}(S) d S=+\int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \mathrm{EA}^{\prime}(S)^{2} d S-\left[\mathrm{EA}^{\prime}(S) \overline{u}(S)\right]_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}}\]

I termini al bordo si annullano per le condizioni agli estremi. Integrando due volte per parti il termine flessionale otteniamo

\[\begin{aligned} \int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \mathrm{El} \overline{w}^{\prime \prime \prime \prime}(S) \overline{w}(S) d S & =-\int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \mathrm{E} \mid \overline{w}^{\prime \prime \prime}(S) \overline{w}^{\prime}(S) d S+\left[\mathrm{EI} \overline{w}^{\prime \prime \prime}(S) \overline{w}(S)\right]_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \\ & =+\int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \mathrm{EI} \overline{w}^{\prime \prime}(S)^{2} d S+\left[\mathrm{EI} \overline{w}^{\prime \prime \prime}(S) \overline{w}(S)\right]_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}}-\left[\mathrm{EI} \overline{w}^{\prime \prime}(S) \overline{w}^{\prime}(S)\right]_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \end{aligned}\]

Anche qui i termini al bordo si annullano. Sostituendo nella (6.18) segue

\[0=\int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}}\left(\mathrm{EA}^{\prime}(S)^{2}+\mathrm{El}^{\prime} \overline{w}^{\prime \prime}(S)^{2}\right) d S-\mathrm{k} \int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \varrho_{\mathrm{R}}\left(\overline{u}(S)^{2}+\overline{w}(S)^{2}\right) d S\]

Se \(k\leq0\), la relazione imporrebbe \(\bar{u}=\bar{w}=0\), assurdo. Quindi \(k>0\).

e) Poniamo \(k=\Omega^{2}\) con \(\Omega>0\). Dalla (6.15) segue

\[\varphi(t)=\mathrm{A} \sin \left(\Omega t+\varphi_{0}\right),\]

dove \(A\neq0\) e \(\varphi_{0}\) sono costanti. Il moto è armonico e \(\Omega\) è la pulsazione propria. Possiamo ora riformulare il problema dei moti liberi.

Proposizione 6.10 (Problemi di vibrazione libera). La ricerca dei piccoli moti liberi di un’asta elastica rettilinea si riduce a due problemi agli autovalori disaccoppiati: uno per i modi assiali \(\bar{u}\) e le pulsazioni \(\Omega_{\mathrm{ex}}\), l’altro per i modi flessionali \(\bar{w}\) e le pulsazioni \(\Omega_{\mathrm{fl}}\). Per i vincoli cerniera–appoggio:

a) i modi assiali risolvono

\[\left\{\begin{array}{l} \overline{u} \not \equiv 0, \quad \Omega_{\mathrm{ex}}>0 \\ \mathrm{EA}^{\prime \prime}(S)+\varrho_{R} \Omega_{\mathrm{ex}}^{2} \overline{u}(S)=0, \quad \forall S \in\left(0, \ell_{R}\right) \\ \overline{u}(0)=0, \quad \overline{u}^{\prime}(\ell)=0 \end{array}\right.\]

b) i modi flessionali risolvono

\[\left\{\begin{array}{l} \overline{w} \not \equiv 0, \quad \Omega_{\mathrm{fl}}>0, \\ \mathrm{El} \overline{w}^{\prime \prime \prime \prime}(S)-\varrho_{R} \Omega_{\mathrm{fl}}^{2} \overline{w}(S)=0, \quad \forall S \in\left(0, \ell_{R}\right), \\ \overline{w}(0)=\overline{w}^{\prime \prime}(0)=0, \quad \overline{w}(\ell)=\overline{w}^{\prime \prime}(\ell)=0 \end{array}\right.\]

Dimostrazione. Sostituiamo nelle equazioni linearizzate un moto armonico \(u(S,t)=\bar{u}(S)\sin(\Omega t)\), \(w(S,t)=\bar{w}(S)\sin(\Omega t)\). L’indipendenza delle componenti tangenziale e normale separa le equazioni differenziali assiale e flessionale. Le condizioni cerniera–appoggio si trasferiscono direttamente alle ampiezze spaziali, fornendo i due problemi agli autovalori esposti. \(\square\)

  1. Vibrazioni assiali. Dall’equazione differenziale ricaviamo
\[\overline{u}(S)=A \cos \left(\frac{\Omega_{\mathrm{ex}} S}{\mathrm{c}_{0}}\right)+B \sin \left(\frac{\Omega_{\mathrm{ex}} S}{\mathrm{c}_{0}}\right),\]

dove \(c_{0}=\sqrt{EA/\varrho_{\mathrm{R}}}\) è la velocità delle onde assiali. Il vincolo in \(S=0\) dà \(A=0\); la condizione \(\bar{u}^{\prime}(\ell_{\mathrm{R}})=0\) determina le pulsazioni.

\[B \sin \left(\frac{\Omega_{\mathrm{ex}} \ell_{\mathrm{R}}}{\mathrm{c}_{0}}\right)=0.\]

Poiché \(\bar{u}\not\equiv0\), il coefficiente residuo non può annullarsi. Otteniamo così una famiglia numerabile.

Proposizione 6.11 (Vibrazioni assiali). Per i vincoli cerniera–appoggio esiste una successione di modi assiali \((\overline{u}_{n},\Omega_{\mathrm{ex},n})\), \(n\in\mathbb{N}^{*}\):

\[\overline{u}_{n}(S)=\mathrm{U}_{n} \sin \left(n \pi \frac{S}{\ell_{R}}\right), \quad \Omega_{\mathrm{ex},n}=n \pi \sqrt{\frac{\mathrm{EA}}{\varrho_{R} \ell_{R}^{2}}}\]

L’ampiezza \(U_n\) è arbitraria.

Dimostrazione. La soluzione generale dell’equazione assiale è la combinazione di seno e coseno scritta sopra. La condizione in \(S=0\) annulla il coefficiente del coseno; la condizione all’altro estremo e la non banalità del modo impongono l’annullamento del fattore trigonometrico e quantizzano la pulsazione. Sostituendo i valori ammessi si ottengono i modi dell’enunciato, determinati a meno dell’ampiezza \(U_n\). \(\square\)

  1. Vibrazioni flessionali. La soluzione generale del problema (6.17) è
\[\overline{w}(S)=A \cos (\mathrm{k} S)+B \sin (\mathrm{k} S)+C \operatorname{ch}(\mathrm{k} S)+D \operatorname{sh}(\mathrm{k} S) \quad \text {— sì,} \quad \mathrm{k}=\left(\frac{\varrho_{\mathrm{R}} \Omega_{\mathrm{fl}}^{2}}{\mathrm{El}}\right)^{1 / 4}.\]

Le condizioni in \(S=0\) danno

\[A+C=0 \quad \text {e} \quad-A+C=0.\]

quindi \(A=C=0\). Le condizioni in \(S=\ell_{\mathrm{R}}\) diventano

\[B \sin \left(\mathrm{k} \ell_{\mathrm{R}}\right)+D \operatorname{sh}\left(\mathrm{k} \ell_{\mathrm{R}}\right)=0 \quad \text {e} \quad-B \sin \left(\mathrm{k} \ell_{\mathrm{R}}\right)+D \operatorname{sh}\left(\mathrm{k} \ell_{\mathrm{R}}\right)=0.\]

Poiché \(k>0\), segue \(D=0\). La non banalità impone \(B\neq0\) e quindi \(\sin(k\ell_{\mathrm{R}})=0\), ossia \(k=n\pi/\ell_{\mathrm{R}}\).

Proposizione 6.12 (Vibrazioni flessionali). Per i vincoli cerniera–appoggio esiste una successione di modi flessionali \((\overline{w}_{n},\Omega_{\mathrm{fl},n})\), \(n\in\mathbb{N}^{*}\):

\[\overline{w}_{n}(S)=\mathrm{W}_{n} \sin \left(n \pi \frac{S}{\ell_{R}}\right), \quad \Omega_{\mathrm{fl},n}=n^{2} \pi^{2} \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\varrho_{R} \ell_{R}^{4}}}\]

L’ampiezza \(W_n\) è arbitraria.

Dimostrazione. La soluzione generale dell’equazione flessionale è una combinazione di funzioni trigonometriche e iperboliche. Le due condizioni in \(S=0\) annullano i coefficienti \(A\) e \(C\); quelle in \(S=\ell_R\), insieme con \(k>0\), annullano \(D\) e impongono \(\sin(k\ell_R)=0\). Pertanto \(k=n\pi/\ell_R\); sostituendo questo valore nella definizione di \(k\) si ottengono le pulsazioni e i modi dichiarati. \(\square\)

  1. Osservazioni.
  2. Come in ogni problema agli autovalori, gli autovettori, qui i modi propri, sono determinati a meno di una costante moltiplicativa. L’autospazio associato a una pulsazione è bidimensionale se la pulsazione è insieme assiale e flessionale, altrimenti è unidimensionale.
  3. Ogni modo proprio produce un moto periodico. Il periodo del primo modo assiale è
\[\mathcal{T}_{\mathrm{ex} 1}=\frac{2 \pi}{\Omega_{\mathrm{ex} 1}}=\frac{2 \ell_{\mathrm{R}}}{\mathrm{c}_{0}}\]

In generale, i periodi assiali sono proporzionali a \(\ell_{\mathrm{R}}\), mentre quelli flessionali sono proporzionali a \(\ell_{\mathrm{R}}^{2}\). Confrontando le pulsazioni dello stesso indice otteniamo

\[\frac{\Omega_{\mathrm{fl},n}}{\Omega_{\mathrm{ex},n}}=n \pi \sqrt{\frac{\mathrm{I}}{\mathrm{~A} \ell_{\mathrm{R}}^{2}}}\]

Se \(D\) è una dimensione caratteristica della sezione, \(I\sim D^{4}\) e \(A\sim D^{2}\); pertanto

\[\frac{\Omega_{\mathrm{fl},n}}{\Omega_{\mathrm{ex},n}} \sim n \frac{D}{\ell_{\mathrm{R}}}\]

Per un’asta snella \(D/\ell_{\mathrm{R}}\ll1\): le prime pulsazioni flessionali sono molto minori di quelle assiali. Diventano confrontabili soltanto per indici dell’ordine di \(\ell_{\mathrm{R}}/D\).

  1. Nel modo di indice \(n\), i punti \(S=i\ell_{\mathrm{R}}/n\), \(0\leq i\leq n\), sono nodi; i punti \(S=(2i+1)\ell_{\mathrm{R}}/(2n)\), \(0\leq i\leq n-1\), sono ventri.

Figura

Figura 6.9 — Secondo modo flessionale (\(n=2\)): \(S=0\), \(\ell_{\mathrm{R}}/2\) e \(\ell_{\mathrm{R}}\) sono nodi; \(S=\ell_{\mathrm{R}}/4\) e \(3\ell_{\mathrm{R}}/4\) sono ventri.

Dipendenza dalle condizioni al contorno

Lo stesso procedimento vale per condizioni diverse agli estremi; cambiano soltanto le condizioni soddisfatte da \(\bar{u}\) e \(\bar{w}\) in \(S=0\) e \(S=\ell_{\mathrm{R}}\). | | | | | | — | — | — | — | | Incastro | Cerniera | Appoggio semplice | Estremo libero | | \(\overline{u}=0\) | \(\overline{u}=0\) | \(\overline{u}^{\prime}=0\) | \(\overline{u}^{\prime}=0\) | | \(\overline{w}=0\) | \(\overline{w}=0\) | \(\overline{w}=0\) | \(\overline{w}^{\prime \prime \prime}=0\) | | \(\overline{w}^{\prime}=0\) | \(\overline{w}^{\prime \prime}=0\) | \(\overline{w}^{\prime \prime}=0\) | \(\overline{w}^{\prime \prime}=0\) |

Tabella 6.4 — Principali condizioni omogenee agli estremi.

Vincoli diversi producono successioni diverse di pulsazioni e modi propri.

Esercizio 6.5. Per un’asta libera agli estremi, mostrare che le pulsazioni e i modi assiali coincidono con quelli del caso cerniera–appoggio. Per la flessione, mostrare invece che le pulsazioni proprie positive soddisfano

\[\cos \left(\mathrm{k} \ell_{R}\right) \operatorname{ch}\left(\mathrm{k} \ell_{R}\right)=1 \quad \text {Dove?} \quad \mathrm{k}=\left(\frac{\varrho_{R} \Omega_{\mathrm{fl}}^{2}}{\mathrm{El}}\right)^{1 / 4}.\]

Dedurre che esiste una successione numerabile di pulsazioni flessionali e determinare i modi associati.

6.5.2 Vibrazioni forzate e risonanza

Lo studio dei modi propri serve a due scopi principali:

  1. per il teorema spettrale, ogni moto dell’asta può essere decomposto nei modi propri;
  2. un’eccitazione alla frequenza propria può produrre risonanza, con crescita dell’ampiezza e possibile danneggiamento.

Mostriamo decomposizione modale e risonanza in un esempio.

Problema

Consideriamo un’asta elastica omogenea di lunghezza \(\ell_{\mathrm{R}}\) e densità lineare \(\varrho_{\mathrm{R}}\), incernierata in \(S=0\) e semplicemente appoggiata in \(S=\ell_{\mathrm{R}}\). Inizialmente è ferma nella configurazione naturale \(\mathbf{x}_{\mathrm{R}}(S)=S\mathbf{e}_{1}\). Per \(t>0\) è soggetta alla densità uniforme di forza trasversale

\[\mathbf{f}(S, t)=q \sin \left(\Omega_1 t\right) \mathbf{e}_{2} \quad \text {— sì,} \quad q>0 \quad \text {e} \quad \Omega_1=\pi^{2} \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\varrho_{\mathrm{R}} \ell_{\mathrm{R}}^{4}}}.\]

Figura

Figura 6.10 — Problema di vibrazione forzata dell’asta.

La forza oscilla alla prima pulsazione flessionale. Mostriamo che l’asta entra in risonanza e che la freccia cresce nel tempo. Studiamo soltanto la fase iniziale, nella quale la linearizzazione resta valida.

Equazioni

Poiché il carico è trasversale e consideriamo piccoli moti, trascuriamo la componente assiale e cerchiamo

\[\mathbf{x}(S, t)=S \mathbf{e}_{1}+w(S, t) \mathbf{e}_{2}, \quad(S, t) \in\left(0, \ell_{\mathrm{R}}\right) \times(0, \infty),\]

Il campo deve soddisfare:

  1. le equazioni del moto;
  2. la legge costitutiva;
  3. le condizioni agli estremi;
  4. i dati iniziali.

La linearizzazione usa tre approssimazioni:

  1. trascura gli spostamenti assiali;
  2. pone \(\|\mathbf{x}^{\prime}\|\simeq1\) nell’equilibrio dei momenti;
  3. usa una legge elastica lineare e la deformazione flessionale linearizzata.

Non occorre escludere le onde d’urto con un’ipotesi aggiuntiva. La rigidezza flessionale impone la continuità di \(w\) e \(w^{\prime}\); una discontinuità di rotazione avrebbe energia infinita:

\[\left[\!\left[ w \right]\!\right]=\left[\!\left[ w^{\prime} \right]\!\right]=0.\]

Per la compatibilità cinematica, anche la velocità trasversale è continua:

\[\left[\!\left[ \dot{w} \right]\!\right]=0,\]

Ne segue il risultato seguente.

Proposizione 6.13. In un’asta flessibile, la rigidezza flessionale impone la continuità di \(w\), \(w^{\prime}\) e \(\dot{w}\); non possono quindi propagarsi onde d’urto flessionali.

Dimostrazione. Un salto di \(w'\) concentrerebbe la curvatura e renderebbe infinita l’energia flessionale, quindi \([\![w']\!]=0\); la posizione richiede inoltre \([\![w]\!]=0\). Applicando la compatibilità cinematica alla continuità di \(w\) lungo una discontinuità mobile otteniamo \([\![\dot{w}]\!]+\dot{x}_{3,o}[\![w']\!]=0\), e dunque \([\![\dot{w}]\!]=0\). Manca quindi il salto di velocità che definisce un’onda d’urto flessionale. \(\square\)

Eliminando \(T\) e \(M\), il problema si riduce alla sola freccia:

\[\begin{cases}\mathrm{El}^{\prime \prime \prime \prime}(S, t)+\varrho_{\mathrm{R}} \ddot{w}(S, t)=q \sin \left(\Omega_1 t\right), & \forall S \in\left(0, \ell_{\mathrm{R}}\right), \forall t>0, \tag{6.19}\\ w(0, t)=w^{\prime \prime}(0, t)=w\left(\ell_{\mathrm{R}}, t\right)=w^{\prime \prime}\left(\ell_{\mathrm{R}}, t\right)=0, & \forall t>0, \\ w(S, 0)=\dot{w}(S, t)=0, & \forall S \in\left(0, \ell_{\mathrm{R}}\right).\end{cases}\]

Rispetto al problema dei modi propri compaiono una forza distribuita, i dati iniziali e una dipendenza temporale non separata a priori.

Decomposizione modale

Il teorema spettrale, la cui dimostrazione esula dal corso, afferma che ogni funzione sufficientemente regolare può essere sviluppata nei modi flessionali del problema cerniera–appoggio:

\[\phi(S)=\sum_{n=1}^{\infty} \mathrm{a}_{n} \sin \left(n \pi \frac{S}{\ell_{\mathrm{R}}}\right)\]

I coefficienti sono determinati in modo univoco dall’ortogonalità dei seni:

\[\mathrm{a}_{n}=\frac{\int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \phi(S) \sin \left(n \pi \frac{S}{\ell_{\mathrm{R}}}\right) d S}{\int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \sin ^{2}\left(n \pi \frac{S}{\ell_{\mathrm{R}}}\right) d S}=\frac{2}{\ell_{\mathrm{R}}} \int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \phi(S) \sin \left(n \pi \frac{S}{\ell_{\mathrm{R}}}\right) d S \tag{6.20}\]

Applichiamo lo sviluppo alla soluzione, a ogni istante:

\[w(S, t)=\sum_{n=1}^{\infty} \mathrm{W}_{n}(t) \sin \left(n \pi \frac{S}{\ell_{\mathrm{R}}}\right)\]

Le condizioni agli estremi sono soddisfatte automaticamente. Derivando termine a termine otteniamo

\[\mathrm{Elw}^{\prime \prime \prime \prime}(S, t)+\varrho_{\mathrm{R}} \ddot{w}(S, t)=\sum_{n=1}^{\infty} \varrho_{\mathrm{R}}\left(\Omega_{n}^{2} \mathrm{~W}_{n}(t)+\ddot{\mathrm{W}}_{n}(t)\right) \sin \left(n \pi \frac{S}{\ell_{\mathrm{R}}}\right)\]

dove \(\Omega_{n}=n^{2}\Omega_1\). Anche il carico uniforme ammette uno sviluppo modale; poiché

\[\int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \sin \left(n \pi \frac{S}{\ell_{\mathrm{R}}}\right) d S=\frac{\ell_{\mathrm{R}}}{n \pi}\left(1-(-1)^{n}\right)\]

segue

\[q \sin \left(\Omega_1 t\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\left(1-(-1)^{n}\right) q}{n \pi} \sin \left(\Omega_1 t\right) \sin \left(n \pi \frac{S}{\ell_{\mathrm{R}}}\right)\]

Identificando i coefficienti modali, il problema (6.19) equivale, per ogni \(n\), a

\[\left\{\begin{array}{l} n^{4} \Omega_1^{2} \mathrm{~W}_{n}(t)+\ddot{\mathrm{W}}_{n}(t)=\frac{2\left(1-(-1)^{n}\right) q}{n \pi \varrho_{\mathrm{R}}} \sin \left(\Omega_1 t\right), \quad \forall t>0 \tag{6.21}\\ \mathrm{~W}_{n}(0)=\dot{\mathrm{W}}_{n}(0)=0 \end{array}\right.\]

Soluzione

I coefficienti di indice pari sono nulli. Per gli indici dispari maggiori di uno, una soluzione particolare è \(c_n\sin(\Omega_1t)\), con

\[\left((2 n+1)^{4}-1\right) \mathrm{c}_{n}=\frac{4 q}{(2 n+1) \pi \varrho_{\mathrm{R}} \Omega_1^{2}},\]

Le condizioni iniziali danno

\[\mathrm{W}_{2 n+1}(t)=\mathrm{a}_{n} \cos \left((2 n+1)^{2} \Omega_1 t\right)+\mathrm{b}_{n} \sin \left((2 n+1)^{2} \Omega_1 t\right)+\mathrm{c}_{n} \sin \left(\Omega_1 t\right)\]

ossia

\[\text {Per} n \in \mathbb{N}_{*}: \quad \mathrm{W}_{2 n+1}(t)=\frac{4 q}{\left((2 n+1)^{4}-1\right)(2 n+1) \pi \varrho_{\mathrm{R}} \Omega_1^{2}}\left(\sin \left(\Omega_1 t\right)-\frac{\sin \left((2 n+1)^{2} \Omega_1 t\right)}{(2 n+1)^{2}}\right)\]

Questi coefficienti sono periodici e limitati; la loro ampiezza decresce come \(n^{-5}\). Per il primo modo l’equazione è risonante:

\[\left\{\begin{array}{l} \Omega_1^{2} \mathrm{~W}_{1}(t)+\ddot{\mathrm{W}}_{1}(t)=\frac{4 q}{\pi \varrho_{\mathrm{R}}} \sin \left(\Omega_1 t\right), \quad \forall t>0, \\ \mathrm{~W}_{1}(0)=\dot{\mathrm{W}}_{1}(0)=0, \end{array}\right.\]

Il termine forzante è soluzione dell’equazione omogenea; una soluzione particolare è quindi proporzionale a \(t\cos(\Omega_1t)\), con

\[c_{0}=-\frac{2 q}{\pi \varrho_{R} \Omega_1}\]

La soluzione generale è \(\mathrm{W}_{1}(t)=\mathrm{a}_{0} \cos \left(\Omega_1 t\right)+\mathrm{b}_{0} \sin \left(\Omega_1 t\right)-\frac{2 q}{\pi \varrho_{\mathrm{R}} \Omega_1} t \cos \left(\Omega_1 t\right)\), e i dati iniziali determinano

\[\mathrm{W}_{1}(t)=\frac{2 q}{\pi \varrho_{\mathrm{R}} \Omega_1^{2}}\left(\sin \left(\Omega_1 t\right)-\Omega_1 t \cos \left(\Omega_1 t\right)\right)\]

Figura

Figura 6.11 — Evoluzione del coefficiente \(W_{1}(t)\) del primo modo; \(\mathcal{T}=2\pi/\Omega_1\) è il suo periodo.

Conclusioni

L’inviluppo dell’ampiezza cresce linearmente nel tempo, con scala temporale data dal periodo \(\mathcal{T}=2\pi/\Omega_1\). La crescita illimitata è una conseguenza del modello lineare. Dopo alcuni periodi, quando l’ampiezza non è più piccola, la linearizzazione perde validità e l’accoppiamento con gli spostamenti assiali non può più essere trascurato. Nel sistema reale l’ampiezza resta finita, ma può diventare sufficiente a produrre danni.

← 6.4 Dinamica dei fili inestensibili · Indice · Appendice A: Alcuni richiami di meccanica →