Appendice A: Alcuni richiami di meccanica
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Orientamento
L’appendice richiama i cambiamenti di osservatore, l’obiettività, la potenza, il lavoro e i campi di forze conservativi.
Nota editoriale sulle formule. Alcune etichette testuali interne alle formule risultano corrotte nella fonte digitale. Sono conservate senza ricostruzioni congetturali.
Contenuti
- A.1 Spazio-tempo e sistemi di riferimento
- A.1.1 Cambiamenti di sistema di riferimento
- Rappresentazione del moto in sistemi di riferimento diversi
- A.1.2 Grandezze obiettive e non obiettive
- A.2 Potenza, lavoro ed energia potenziale
- Potenza e lavoro di una forza
- Potenza e lavoro di una coppia
- Campi di forza dipendenti dalla posizione e loro circuitazione
- A.2.3 Forze di massa conservative e relativi potenziali
A.1 Spazio-tempo e sistemi di riferimento
A.1.1 Cambiamenti di sistema di riferimento
Sistemi di riferimento
Nella meccanica classica lo spazio fisico è uno spazio affine euclideo tridimensionale. Un sistema di riferimento \(\mathcal{R}\) associa a ciascun evento la coppia \((\mathbf{X},T)\) formata dalla posizione e dall’istante. Fissate un’origine spaziale \(\mathbf{O}\) e un’origine temporale \(T_{0}\), rappresentiamo l’evento mediante il vettore posizione \(\mathbf{x}\) e il tempo \(t\):
\[\mathbf{X}=\mathbf{O}+\mathbf{x}, \quad T=T_{0}+t\]In un altro sistema \(\mathcal{R}^{*}\) lo stesso evento è rappresentato da \((\mathbf{x}^{*},t^{*})\). Un cambiamento di osservatore è dunque descritto dalle applicazioni
\[(\mathbf{x}, t) \mapsto \mathbf{x}^{*}=\boldsymbol{\chi}(\mathbf{x}, t) \quad \text {e} \quad(\mathbf{x}, t) \mapsto t^{*}=\tau(\mathbf{x}, t)\]Per conservare la simultaneità deve essere \(t^{*}=\tau(t)\). La conservazione degli intervalli temporali richiede \(\tau(t)=\tau_0+t\). La conservazione delle distanze impone
\[\left\|\mathbf{y}^{*}-\mathbf{x}^{*}\right\|:=\|\boldsymbol{\chi}(\mathbf{y}, t)-\boldsymbol{\chi}(\mathbf{x}, t)\|=\|\mathbf{y}-\mathbf{x}\|, \quad \forall \mathbf{x}, \forall \mathbf{y}, \forall t\]dove \(\|\cdot\|\) è la norma euclidea. Ne segue che, a ogni istante, \(\boldsymbol{\chi}\) è un’isometria: \(\boldsymbol{\chi}(\mathbf{x},t)=\mathbf{a}(t)+\mathbf{Q}(t)\mathbf{x}\), con \(\mathbf{Q}(t)\) ortogonale. I cambiamenti di sistema di riferimento che preservano simultaneità, intervalli temporali e distanze hanno quindi la forma
\[\left\{\begin{array}{ll} \mathbf{x}^{*}:=\boldsymbol{\chi}(\mathbf{x}, t) & =\mathbf{a}(t)+\mathbf{Q}(t) \mathbf{x} \tag{A.1}\\ t^{*}:=\tau(\mathbf{x}, t) & =\tau_{0}+t \end{array} \quad \text {— sì,} \quad \mathbf{Q}(t) \mathbf{Q}(t)^{T}=\mathbf{I}\right.\]Possiamo interpretarli come moti rigidi, eventualmente accompagnati da una traslazione dell’origine temporale. Se il cambiamento conserva anche l’orientazione, \(\mathbf{Q}(t)\) è una rotazione e \(\det\mathbf{Q}(t)=1\). Queste proprietà definiscono la classe cinematica degli osservatori. Il principio fondamentale della dinamica individuerà fra essi i sistemi galileiani.
Rappresentazione del moto in sistemi di riferimento diversi
Consideriamo un punto materiale la cui posizione in \(\mathcal{R}\) è \(t\mapsto\mathbf{x}(t)\). La velocità e l’accelerazione sono
\[\mathbf{v}(t)=\dot{\mathbf{x}}(t), \quad \gamma(t)=\dot{\mathbf{v}}(t)=\ddot{\mathbf{x}}(t)\]Il punto denota la derivata rispetto al tempo. Nel sistema \(\mathcal{R}^{*}\) lo stesso moto è descritto da
\[\mathbf{x}^{*}\left(t^{*}\right)=\mathbf{a}(t)+\mathbf{Q}(t) \mathbf{x}(t) \quad \text {— sì,} \quad t^{*}=\tau_{0}+t\]Derivando rispetto a \(t^{*}\) otteniamo la velocità
\[\mathbf{v}^{*}\left(t^{*}\right):=\frac{d \mathbf{x}^{*}}{d t^{*}}\left(t^{*}\right)=\dot{\mathbf{a}}(t)+\dot{\mathbf{Q}}(t) \mathbf{x}(t)+\mathbf{Q}(t) \dot{\mathbf{x}}(t)=\dot{\mathbf{a}}(t)+\dot{\mathbf{Q}}(t) \mathbf{Q}(t)^{T}\left(\mathbf{x}^{*}\left(t^{*}\right)-\mathbf{a}(t)\right)+\mathbf{Q}(t) \dot{\mathbf{x}}(t)\]Omettiamo l’argomento temporale. Poiché \(\mathbf{Q}\mathbf{Q}^{T}=\mathbf{I}\), la matrice \(\mathbf{W}:=\dot{\mathbf{Q}}\mathbf{Q}^{T}\) è antisimmetrica. Esiste pertanto un vettore velocità angolare \(\boldsymbol{\Omega}\) tale che \(\mathbf{W}\mathbf{u}=\boldsymbol{\Omega}\wedge\mathbf{u}\) per ogni \(\mathbf{u}\). La velocità si decompone come
\[\mathbf{v}^{*}=\mathbf{v}_{e}^{*}+\mathbf{v}_{r}^{*} \quad \text {— sì,} \quad \mathbf{v}_{e}^{*}=\dot{\mathbf{a}}+\mathbf{W}\left(\mathbf{x}^{*}-\mathbf{a}\right)=\dot{\mathbf{a}}+\boldsymbol{\Omega} \wedge\left(\mathbf{x}^{*}-\mathbf{a}\right), \quad \mathbf{v}_{r}^{*}=\mathbf{Q} \mathbf{v}\]Chiamiamo \(\mathbf{v}_{e}^{*}\) velocità di trascinamento e \(\mathbf{v}_{r}^{*}\) velocità relativa. Derivando ancora rispetto a \(t^{*}\) ricaviamo l’accelerazione in \(\mathcal{R}^{*}\):
\[\begin{aligned} \gamma^{*} & =\ddot{\mathbf{a}}+\dot{\mathbf{W}}\left(\mathbf{x}^{*}-\mathbf{a}\right)+\mathbf{W}\left(\mathbf{v}^{*}-\dot{\mathbf{a}}\right)+\dot{\mathbf{Q}} \mathbf{v}+\mathbf{Q} \gamma \\ & =\ddot{\mathbf{a}}+\left(\dot{\mathbf{W}}+\mathbf{W}^{2}\right)\left(\mathbf{x}^{*}-\mathbf{a}\right)+2 \mathbf{W} \mathbf{v}_{r}^{*}+\mathbf{Q} \gamma \end{aligned}\]Usando \(\mathbf{W}^{2}=\boldsymbol{\Omega}\boldsymbol{\Omega}^{T}-\|\boldsymbol{\Omega}\|^{2}\mathbf{I}\), separiamo l’accelerazione in tre contributi:
\[\gamma^{*}=\gamma_{e}^{*}+\gamma_{c}^{*}+\gamma_{r}^{*}\]Nota. I cambiamenti di osservatore definiti dalla (A.1) formano un gruppo rispetto alla composizione.
con
\[\gamma_{e}^{*}=\ddot{\mathbf{a}}+\dot{\boldsymbol{\Omega}} \wedge\left(\mathbf{x}^{*}-\mathbf{a}\right)+\boldsymbol{\Omega} \cdot\left(\mathbf{x}^{*}-\mathbf{a}\right) \boldsymbol{\Omega}-\|\boldsymbol{\Omega}\|^{2}\left(\mathbf{x}^{*}-\mathbf{a}\right), \quad \gamma_{c}^{*}=2 \boldsymbol{\Omega} \wedge \mathbf{v}_{r}^{*}, \quad \gamma_{r}^{*}=\mathbf{Q} \gamma\]I termini \(\gamma_e^{*}\), \(\gamma_c^{*}\) e \(\gamma_r^{*}\) sono, rispettivamente, l’accelerazione di trascinamento, l’accelerazione di Coriolis e l’accelerazione relativa.
A.1.2 Grandezze obiettive e non obiettive
Una grandezza fisica è obiettiva se le sue rappresentazioni in osservatori diversi sono legate dalla regola di trasformazione propria della sua natura scalare, vettoriale o tensoriale.
- Una grandezza scalare \(\ell\) è obiettiva se è invariante:
- Un vettore \(\mathbf{q}\) è obiettivo se, sotto il cambiamento da \(\mathcal{R}\) a \(\mathcal{R}^{*}\), si trasforma secondo
- Un’applicazione lineare \(\mathbf{M}\) è obiettiva se trasforma vettori obiettivi in vettori obiettivi. Deve quindi valere
Da questa identità segue la regola
\[\mathbf{M}^{*}=\mathbf{Q}(t) \mathbf{M Q}(t)^{T} \quad \text {(applicazione lineare ogettiva)}.\]La stessa definizione si estende alle grandezze multilineari. Per le grandezze geometriche e cinematiche l’obiettività può essere verificata mediante le leggi di trasformazione. Per altre grandezze, quali massa e temperatura, costituisce un postulato fisico sottoposto a verifica sperimentale. Le lunghezze, le aree e i volumi sono obiettivi perché i cambiamenti di osservatore conservano le distanze. La velocità e l’accelerazione non sono, in generale, obiettive. Consideriamo ora la configurazione di riferimento \(S\mapsto\mathbf{x}_{\mathrm R}(S)\) e il moto \((S,t)\mapsto\mathbf{x}(S,t)\) di un mezzo curvilineo. In un cambiamento di osservatore che conserva l’orientazione, le rappresentazioni soddisfano
\[\mathbf{x}_{\mathrm{R}}^{*}\left(S^{*}\right)=\mathbf{a}(0)+\mathbf{Q}(0) \mathbf{x}_{\mathrm{R}}(S), \quad \mathbf{x}^{*}\left(S^{*}, t^{*}\right)=\mathbf{a}(t)+\mathbf{Q}(t) \mathbf{x}(S, t) \quad \text {— sì,} \quad t^{*}=\tau_{0}+t\]Qui \(\mathbf{Q}(t)\) è una rotazione; abbiamo scelto \(t=0\) per rappresentare la configurazione di riferimento nel nuovo osservatore.
- Le ascisse curvilinee \(S\) e \(s\) sono invarianti. Infatti, dalla conservazione della norma otteniamo
Pertanto \(S^{*}=S\) e \(s^{*}=s\), a meno delle rispettive origini. Ne segue \(\varepsilon^{*}=ds^{*}/d S^{*}-1=\varepsilon\): la deformazione estensionale è obiettiva.
- Il versore tangente soddisfa \(\mathbf{t}^{*}=\mathbf{Q}(t)\mathbf{t}\). Poiché \(\mathbf{e}_{3}^{*}=\mathbf{Q}(t)\mathbf{e}_{3}\) e \(\mathbf{Q}(t)\) è una rotazione, anche il versore normale è obiettivo: \(\mathbf{n}^{*}=\mathbf{Q}(t)\mathbf{n}\). Lo stesso vale per i versori della configurazione di riferimento.
- Gli angoli tangenziali, la rotazione, le curvature e la deformazione flessionale sono invarianti: \(\alpha_{\mathrm R}^{*}=\alpha_{\mathrm R}\), \(\alpha^{*}=\alpha\), \(\omega^{*}=\omega\), \(\mathrm{C}_{\mathrm R}^{*}=\mathrm{C}_{\mathrm R}\), \(\mathrm{C}^{*}=\mathrm{C}\) e \(\kappa^{*}=\kappa\).
- La derivata temporale di una grandezza scalare obiettiva è obiettiva. Lo sono quindi \(\dot{\varepsilon}\), \(\dot{\omega}\) e \(\dot{\kappa}\).
- La derivata temporale di una grandezza vettoriale obiettiva non è in generale obiettiva: dalla relazione \(\mathbf{t}^{*}=\mathbf{Q}(t)\mathbf{t}\) segue \(\dot{\mathbf{t}}^{*}=\dot{\mathbf{Q}}(t)\mathbf{t}+\mathbf{Q}(t)\dot{\mathbf{t}}\).
Assumiamo infine che le forze interne siano obiettive; equivalentemente, postuliamo l’obiettività della potenza di deformazione.
\[\mathbf{R}^{*}=\mathbf{Q}(t) \mathbf{R}, \quad M^{*}=M\]Definizione A.1 (Obiettività delle forze interne). La forza interna \(\mathbf{R}\) e il momento flettente \(M\) sono obiettivi se
Poiché i versori tangente e normale sono obiettivi, anche lo sforzo normale e lo sforzo di taglio sono invarianti:
\[N^{*}=N, \quad T^{*}=T\]A.2 Potenza, lavoro ed energia potenziale
Potenza e lavoro di una forza
La potenza istantanea di una forza \(\mathcal{F}(t)\), applicata a un punto di velocità \(\mathbf{v}(t)\), è il prodotto scalare
\[\mathrm{P}(t)=\mathcal{F}(t) \cdot \mathbf{v}(t) \tag{A.2}\]Il lavoro della forza nell’intervallo \((t_0,t_1)\) è l’integrale della potenza:
\[\mathbf{W}=\int_{t_{0}}^{t_{1}} \mathbf{P}(t) d t=\int_{t_{0}}^{t_{1}} \mathcal{F}(t) \cdot \mathbf{v}(t) d t \tag{A.3}\]Le stesse definizioni valgono quando \(t\) è un parametro e \(\mathbf{v}(t)\) è la derivata della posizione rispetto a tale parametro. In particolare, la potenza virtuale di una forza \(\mathcal{F}_{s_i}\) applicata nel punto \(s_i\) di un mezzo curvilineo è
\[\mathrm{P}=\mathcal{F}_{s_{i}}{ }^{*} \boldsymbol{\xi}\left(s_{i}\right)\]Potenza e lavoro sono additivi. La potenza delle forze distribuite e concentrate agenti su un mezzo curvilineo è quindi
\[\mathrm{P}=\int_{\mathbb{C}} \mathbf{f}(s) \cdot \stackrel{*}{\boldsymbol{\xi}}(s) d s+\sum_{s_{i} \in \mathbb{P}} \mathcal{F}_{s_{i}} \cdot \stackrel{*}{\boldsymbol{\xi}}\left(s_{i}\right)\]Potenza e lavoro di una coppia
Una coppia compie lavoro mediante una rotazione. La potenza virtuale di una coppia di momento \(\mathcal{M}_{s_i}\) applicata nel punto \(s_i\), dove la velocità virtuale di rotazione è \(\stackrel{*}{\omega}(s_i)\), vale
\[\mathrm{P}=\mathcal{M}_{s_{i}} \stackrel{*}{\omega}\left(s_{i}\right)\]Per un’asta rigida soggetta a una coppia di momento \(\mathcal{M}(t)\), con angolo tangenziale \(\alpha(t)\), il lavoro nell’intervallo \((t_0,t_1)\) è
\[\mathrm{W}=\int_{t_{0}}^{t_{1}} \mathcal{M}(t) \dot{\alpha}(t) d t\]Campi di forza dipendenti dalla posizione e loro circuitazione
Sia \(\mathbf{F}(\mathbf{y})\) una forza che dipende dalla posizione \(\mathbf{y}\), ma non dalla velocità. Lungo un cammino \(t\mapsto\mathbf{y}(t)\), percorso da \(\mathbf{y}(t_0)\) a \(\mathbf{y}(t_1)\), la circuitazione è
\[\mathrm{W}=\int_{t_{0}}^{t_{1}} \mathrm{~F}(\mathbf{y}(t)) \cdot \frac{d \mathbf{y}}{d t}(t) d t\]La circuitazione non dipende dalla parametrizzazione del cammino. Essa dipende soltanto dagli estremi se e solo se esiste un campo scalare \(\Phi\) tale che
\[F(\mathbf{y})=-\nabla \Phi(\mathbf{y}) \tag{A.4}\]In tal caso il campo è conservativo. Fissata un’origine \(\mathbf{y}_0\) e scelta la costante in modo che \(\Phi(\mathbf{y}_0)=0\), il lavoro lungo un cammino da \(\mathbf{y}_0\) a \(\mathbf{y}\) vale \(W=-\Phi(\mathbf{y})\). La funzione \(\Phi\) è l’energia potenziale per unità di massa o di forza, secondo il contesto.
Nota. L’esistenza del potenziale si dimostra come nel capitolo 3 per il potenziale elastico.
Se \(W>0\) il sistema cede energia all’esterno; se \(W<0\) la riceve. Consideriamo alcuni esempi.
- Un carico morto è conservativo. Se direzione e intensità della forza \(\mathcal{F}\) non dipendono dalla posizione, un potenziale è
- I carichi gravitazionali sono conservativi e saranno esaminati nel paragrafo seguente.
- Una forza inseguitrice non è in generale conservativa. Consideriamo un’asta rigida di lunghezza \(\ell\) sottoposta all’estremità \(s=\ell\) alla forza
dove \(\mathbf{t}_t\) è il versore dell’asta all’istante \(t\). Confrontiamo due moti che collegano le stesse configurazioni \(s\mapsto s\mathbf{e}_1\) e \(s\mapsto-s\mathbf{e}_1\). Nel primo l’asta ruota attorno all’origine e la velocità del punto di applicazione è ortogonale alla forza, perciò \(W=0\). Nel secondo l’asta viene prima traslata di \(-2\ell\mathbf{e}_1\) e poi ruotata attorno al punto \(-\ell\mathbf{e}_1\); la configurazione è
\[\mathbf{x}_{t}(s)= \begin{cases}(s-2 t \ell) \mathbf{e}_{1} & \text {S} 0 \leq t \leq 1 \\ -\ell \mathbf{e}_{1}+(s-\ell)\left(\cos (t-1) \mathbf{e}_{1}+\sin (t-1) \mathbf{e}_{2}\right) & \text {S} 1 \leq t \leq 1+\pi\end{cases}\]Durante la rotazione il punto di applicazione è fisso e la forza non compie lavoro. Durante la traslazione, invece, \(\mathbf{t}_t=\mathbf{e}_1\), \(\dot{\mathbf{x}}_t(\ell)=-2\ell\mathbf{e}_1\) e \(W=-2\mathcal{F}\ell\). Il lavoro dipende dunque dal cammino e la forza inseguitrice non è conservativa.
- Il campo \(\mathbf{y}\mapsto\mathbf{e}_3\wedge\mathbf{y}\) non è conservativo, poiché il suo rotore non è nullo e quindi non può essere un gradiente.
A.2.3 Forze di massa conservative e relativi potenziali
Le forze a distanza sono spesso proporzionali alla massa. La densità della forza di massa ha la dimensione di un’accelerazione. Esaminiamo alcuni campi conservativi.
- Un campo gravitazionale uniforme \(\mathbf{g}\) deriva dal potenziale
- Il campo gravitazionale generato da una massa \(M\) posta in \(\mathbf{y}_0\) è
dove \(G\) è la costante gravitazionale. Un potenziale associato è
\[\Phi_{G}(\mathbf{y})=-\frac{M G}{\left\|\mathbf{y}-\mathbf{y}_{0}\right\|} \quad \text {(potenziale del campo gravitazionale).}\]- Ogni campo centrale della forma
con \(\varphi\) scalare, deriva dal potenziale
\[\Phi_{\varphi}(\mathbf{y})=-\int_{r_{0}}^{\left\|\mathbf{y}-\mathbf{y}_{0}\right\|} r \varphi(r) d r \quad \text {(centrale di forza)}\]dove \(r_0>0\) fissa la costante additiva.
- In un sistema non galileiano che ruota con velocità angolare uniforme \(\Omega\) attorno all’asse \(\mathbf{e}_3\), il campo delle forze centrifughe per unità di massa è
e deriva dal potenziale
\[\Phi_{\Omega}(\mathbf{y})=-\frac{1}{2} \Omega^{2}\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}\right) \quad \text {(forze centrifughe potenziali).}\]Un punto materiale di massa \(m\), posto in un campo conservativo di potenziale \(\Phi\), possiede energia potenziale \(m\Phi(\mathbf{y})\).
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