Appendice B: Alcune nozioni di calcolo delle variazioni
← Appendice A: Alcuni richiami di meccanica · Indice · Appendice C: Schede di sintesi →
Orientamento
L’appendice richiama le nozioni di funzionale, derivata direzionale, minimo, equazione di Eulero–Lagrange e moltiplicatore di Lagrange impiegate nel capitolo 5.
Nota editoriale sulle formule. Alcune etichette testuali interne alle formule risultano corrotte nella fonte digitale. Sono conservate senza ricostruzioni congetturali.
Contenuti
- B.1 Funzionali e loro derivate
- B.1.1 Il concetto di funzionale
- B.1.2 Derivate direzionali di un funzionale
- B.2 Minimizzazione di un funzionale
- B.2.1 Proprietà generali
- B.2.2 Un problema tipico
- B.3 Moltiplicatori di Lagrange
B.1 Funzionali e loro derivate
B.1.1 Il concetto di funzionale
Un funzionale associa un numero reale a una funzione. Nel seguito la funzione descrive, per esempio, la configurazione \(S\mapsto\mathbf{x}(S)\), l’angolo tangenziale \(S\mapsto\alpha(S)\), lo spostamento tangenziale \(S\mapsto u(S)\) o la deflessione \(S\mapsto w(S)\) di un mezzo curvilineo. Il valore del funzionale rappresenta in genere un’energia elastica o potenziale. Il dominio \(\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}\) può essere uno spazio vettoriale, uno spazio affine o una varietà differenziabile; le condizioni che lo definiscono assicurano che il funzionale abbia valore finito.
\[\mathcal{P}(\alpha)=\int_{0}^{\ell_{R}}\left(\frac{1}{2} \operatorname{El} \alpha^{\prime}(S)^{2}+\mathcal{F} \cos \alpha(S)\right) d S\]Esempio B.1 (Elastica di Eulero). Per un’elastica inestensibile soggetta a una forza di compressione, l’energia potenziale è
Il dominio \(\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}\) comprende le funzioni \(S\mapsto\alpha(S)\) che soddisfano la condizione di incastro \(\alpha(0)=0\) e hanno energia finita. Una scelta naturale è il sottospazio di \(H^1(0,\ell_R)\) costituito dalle funzioni che verificano tale condizione.
\[\mathcal{P}(\mathbf{x})=\int_{0}^{\ell_{R}}\left(\frac{1}{2} \mathrm{EA}\left(\left\|\mathbf{x}^{\prime}(S)\right\|-1\right)^{2}+\rho_{\mathrm{m}} \mathrm{~A} g x_{2}(S)\right) d S-\mathcal{F} \cdot \mathbf{x}\left(\ell_{R}\right)\]Esempio B.2 (Filo pesante estensibile). Per un filo estensibile, fissato in \(\mathbf{x}_0\), soggetto al proprio peso e a una forza all’estremità, l’energia potenziale è
Il dominio è l’insieme delle funzioni \(\mathbf{x}:(0,\ell_R)\to\mathbb{R}^2\) con componenti in \(H^1(0,\ell_R)\) che soddisfano \(\mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_0\):
\[\mathcal{C}_{a d}=\left\{\mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}\right) \in H^{1}\left(0, \ell_{R}\right)^{2}: \mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_{0}\right\}\]Questo insieme è affine; lo spazio vettoriale associato è
\[\mathcal{V}_{a d}=\left\{\stackrel{*}{\mathbf{x}}=\left(\stackrel{*}{x}_{1}, \stackrel{*}{x}_{2}\right) \in H^{1}\left(0, \ell_{R}\right)^{2}: \stackrel{*}{\mathbf{x}}(0)=\mathbf{0}\right\}\]\[\mathcal{P}(\mathbf{x})=\int_{0}^{\ell_{R}} \rho_{\mathrm{m}} \mathrm{~A} g x_{2}(S) d S-\mathcal{F} \cdot \mathbf{x}\left(\ell_{R}\right)\]Esempio B.3 (Filo inestensibile). Per il filo inestensibile l’energia potenziale è
Il dominio deve ora includere il vincolo di inestensibilità:
\[\mathcal{C}_{a d}=\left\{\mathbf{x}:\left(0, \ell_{R}\right) \rightarrow \mathbb{R}^{2}: \mathcal{P}(\mathbf{x})<+\infty, \quad \mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_{0}, \quad\left\|\mathbf{x}^{\prime}(S)\right\|=1 \quad \forall S \in\left(0, \ell_{R}\right)\right\}\]L’insieme \(\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}\) non è affine. Lo trattiamo come una varietà differenziabile e definiamo in ogni \(\mathbf{x}\in\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}\) lo spazio tangente
\[\mathcal{V}_{a d}(\mathbf{x}):=\left\{\stackrel{*}{\mathbf{x}}:\left(0, \ell_{R}\right) \rightarrow \mathbb{R}^{2}: \quad \text {"regolar",} \quad \stackrel{*}{\mathbf{x}}(0)=0, \quad \mathbf{x}^{\prime}(S) \cdot \stackrel{*}{\mathbf{x}}^{\prime}(S)=0 \quad \forall S \in\left(0, \ell_{R}\right)\right\}\]B.1.2 Derivate direzionali di un funzionale
La derivata direzionale estende al caso funzionale la derivata di una funzione di più variabili.
\[\stackrel{*}{\mathbf{x}} \mapsto \mathcal{P}^{\prime}(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\mathbf{x}}):=\left.\frac{d}{d h}(\mathcal{P}(\mathbf{x}+h \stackrel{*}{\mathbf{x}}))\right|_{h=0}\]Definizione B.1 (Derivata direzionale su uno spazio affine). Siano \(\mathcal{P}:\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}\to\mathbb{R}\) un funzionale definito sullo spazio affine \(\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}\), \(\mathcal{V}_{\mathrm{ad}}\) lo spazio vettoriale associato, \(\mathbf{x}\in\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}\) e \(\stackrel{*}{\mathbf{x}}\in\mathcal{V}_{\mathrm{ad}}\). Se la derivata rispetto a \(h\) in \(h=0\) di \(\mathcal{P}(\mathbf{x}+h\stackrel{*}{\mathbf{x}})\) esiste e dipende linearmente e continuamente da \(\stackrel{*}{\mathbf{x}}\), definiamo la derivata direzionale di \(\mathcal{P}\) in \(\mathbf{x}\) mediante
Il numero \(\mathcal{P}'(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\mathbf{x}})\) è la derivata di \(\mathcal{P}\) in \(\mathbf{x}\) nella direzione \(\stackrel{*}{\mathbf{x}}\). Iterando la definizione otteniamo derivate di ordine superiore. In particolare, la derivata seconda è la forma quadratica
\[\mathcal{P}^{\prime \prime}(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\mathbf{x}})=\left.\frac{d^{2}}{d h^{2}}(\mathcal{P}(\mathbf{x}+h \stackrel{*}{\mathbf{x}}))\right|_{h=0}=\left.\frac{d}{d h}\left(\mathcal{P}^{\prime}(\mathbf{x}+h \stackrel{*}{\mathbf{x}})(\stackrel{*}{\mathbf{x}})\right)\right|_{h=0}\]Se \(\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}\) è una varietà differenziabile, scegliamo una curva \(h\mapsto\mathbf{x}_h\in\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}\) che attraversa \(\mathbf{x}\) per \(h=0\) e la cui derivata appartiene allo spazio tangente \(\mathcal{V}_{\mathrm{ad}}(\mathbf{x})\):
\[\left.\mathbf{x}_{h}(S)\right|_{h=0}=\mathbf{x}(S), \quad \stackrel{*}{\mathbf{x}}(S)=\left.\frac{d\left(\mathbf{x}_{h}(S)\right)}{d h}\right|_{h=0}\]Calcoliamo quindi la derivata di \(\mathcal{P}(\mathbf{x}_h)\) rispetto a \(h\) in \(h=0\).
\[\stackrel{*}{\mathbf{x}} \mapsto \mathcal{P}^{\prime}(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\mathbf{x}}):=\left.\frac{d}{d h}\left(\mathcal{P}\left(\mathbf{x}_{h}\right)\right)\right|_{h=0}\]Definizione B.2 (Derivata direzionale su una varietà). Siano \(\mathcal{P}:\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}\to\mathbb{R}\) un funzionale definito sulla varietà differenziabile \(\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}\), \(\mathbf{x}\in\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}\) e \(h\mapsto\mathbf{x}_h\) una curva in \(\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}\) che attraversa \(\mathbf{x}\) per \(h=0\), con velocità \(\stackrel{*}{\mathbf{x}}\in\mathcal{V}_{\mathrm{ad}}(\mathbf{x})\). Se la derivata di \(\mathcal{P}(\mathbf{x}_h)\) esiste e dipende linearmente e continuamente da \(\stackrel{*}{\mathbf{x}}\), definiamo
Il valore \(\mathcal{P}'(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\mathbf{x}})\) è la derivata di \(\mathcal{P}\) in \(\mathbf{x}\) nella direzione tangente \(\stackrel{*}{\mathbf{x}}\).
\[\left\{\begin{array}{l} \mathcal{P}^{\prime}(\alpha)(\stackrel{*}{\omega})=\int_{0}^{\ell_{R}}\left(\operatorname{El} \alpha^{\prime}(S) \stackrel{*}{\omega}(S)-\mathcal{F} \sin \alpha(S) \stackrel{*}{\omega}(S)\right) d S \\ \mathcal{P}^{\prime \prime}(\alpha)(\stackrel{*}{\omega})=\int_{0}^{\ell_{R}}\left(\operatorname{El}_{\stackrel{*}{\omega}}(S)^{2}-\mathcal{F} \cos \alpha(S) \stackrel{*}{\omega}(S)^{2}\right) d S \end{array}\right.\]Esempio B.4. Per l’elastica di Eulero, le derivate prima e seconda dell’energia potenziale sono
Per il filo pesante estensibile, la derivata prima è
\[\mathcal{P}^{\prime}(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\mathbf{x}})=\int_{0}^{\ell_{R}}\left(\mathrm{EA}\left(\left\|\mathbf{x}^{\prime}(S)\right\|-1\right) \frac{\mathbf{x}^{\prime}(S)}{\left\|\mathbf{x}^{\prime}(S)\right\|} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{x}}^{\prime}(S)+\rho_{\mathrm{m}} \mathrm{~A} g \stackrel{*}{x}_{2}(S)\right) d S-\mathcal{F} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{x}}\left(\ell_{R}\right)\]Per il filo inestensibile, la derivata direzionale è definita soltanto sulle direzioni dello spazio tangente \(\mathcal{V}_{\mathrm{ad}}(\mathbf{x})\):
\[\mathcal{P}^{\prime}(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\mathbf{x}})=\int_{0}^{\ell_{R}} \rho_{\mathrm{m}} \mathrm{~A} g \stackrel{*}{x_{2}}(S) d S-\mathcal{F} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{x}}\left(\ell_{R}\right)\]Nota. In meccanica una curva in \(\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}\) rappresenta un movimento virtuale e \(\stackrel{*}{\mathbf{x}}\) è il corrispondente campo di velocità virtuale.
Nota sulla trascrizione. Le due espressioni delle variazioni dell’elastica in B.1.2 contengono corruzioni preesistenti: nella prima manca una derivata del campo di variazione; nella seconda il fattore elastico e la sua derivata sono confluiti in un pedice. Le stesse corruzioni compaiono nella fonte LaTeX francese, righe 11628–11629. La rinomina dei simboli non corregge queste formule: occorre risalire alla scansione del testo prima dell’uso.
B.2 Minimizzazione di un funzionale
B.2.1 Proprietà generali
Il problema fondamentale consiste nel determinare un minimo del funzionale sul suo dominio:
\[\text {Trova} \quad \mathbf{x} \in \mathcal{C}_{\mathrm{ad}} \quad \text{ tale che } \quad \mathcal{P}(\mathbf{x}) \leq \mathcal{P}(\tilde{\mathbf{x}}) \quad \forall \tilde{\mathbf{x}} \in \mathcal{C}_{\mathrm{ad}}\]Se \(\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}\) è affine e \(\mathcal{P}\) è differenziabile, ogni minimizzatore è un punto stazionario.
\[\text{Se} \quad \mathbf{x} \in \mathcal{C}_{\mathrm{ad}} \quad \text {e} \quad \mathcal{P}(\mathbf{x}) \leq \mathcal{P}(\tilde{\mathbf{x}}) \quad \forall \tilde{\mathbf{x}} \in \mathcal{C}_{\mathrm{ad}} \quad \text{allora} \quad \mathcal{P}^{\prime}(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\mathbf{x}})=0, \quad \forall \stackrel{*}{\mathbf{x}} \in \mathcal{V}_{\mathrm{ad}}\]Infatti, per \(\tilde{\mathbf{x}}=\mathbf{x}+h\stackrel{*}{\mathbf{x}}\), con \(h>0\) e \(\stackrel{*}{\mathbf{x}}\in\mathcal{V}_{\mathrm{ad}}\), la proprietà di minimo implica
\[\mathcal{P}(\mathbf{x}+h \stackrel{*}{\mathbf{x}})-\mathcal{P}(\mathbf{x}) \geq 0\]Dividendo per \(h\) e passando al limite per \(h\to0^+\) otteniamo
\[\mathcal{P}^{\prime}(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\mathbf{x}}) \geq 0\]Poiché \(\mathcal{V}_{\mathrm{ad}}\) è uno spazio vettoriale, possiamo sostituire \(\stackrel{*}{\mathbf{x}}\) con \(-\stackrel{*}{\mathbf{x}}\) e dedurre l’uguaglianza. Il viceversa richiede ipotesi ulteriori; vale, in particolare, per un funzionale convesso.
Proposizione B.1 (Funzionali convessi). Sia \(\mathcal{P}:\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}\to\mathbb{R}\) convesso e differenziabile sullo spazio affine \(\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}\). Un punto \(\mathbf{x}\in\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}\) è un minimizzatore se e solo se è stazionario.
Dimostrazione. Se \(\mathbf{x}\) è un minimizzatore, il ragionamento precedente applicato alle direzioni \(\stackrel{*}{\mathbf{x}}\) e \(-\stackrel{*}{\mathbf{x}}\) dà \(\mathcal{P}'(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\mathbf{x}})=0\). Viceversa, per ogni \(\widetilde{\mathbf{x}}\in\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}\), la convessità e la differenziabilità implicano
\[\mathcal{P}(\widetilde{\mathbf{x}})\geq \mathcal{P}(\mathbf{x})+\mathcal{P}'(\mathbf{x})(\widetilde{\mathbf{x}}-\mathbf{x}).\]Se \(\mathbf{x}\) è stazionario, l’ultimo termine è nullo; dunque \(\mathcal{P}(\widetilde{\mathbf{x}})\geq\mathcal{P}(\mathbf{x})\) e \(\mathbf{x}\) è un minimizzatore. \(\square\)
Senza convessità, o quando \(\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}\) è soltanto una varietà differenziabile, un punto stazionario può essere un massimo oppure un minimo locale.
B.2.2 Un problema tipico
Consideriamo il funzionale
\[\mathcal{P}(\alpha):=\int_{S_{0}}^{S_{1}} \mathcal{L}\left(S, \alpha(S), \alpha^{\prime}(S)\right) d S\]sullo spazio affine
\[\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}=\left\{\alpha:\left(S_{0}, S_{1}\right) \rightarrow \mathbb{R}: \text {"regolar",} \alpha\left(S_{0}\right)=\alpha_{0}\right\}\]L’integrando \(\mathcal{L}\), detto lagrangiana, è una funzione regolare dei suoi tre argomenti \((S,\alpha,\alpha')\). Il problema è
\[\min _{\alpha \in \mathcal{C}_{\mathrm{ad}}} \int_{S_{0}}^{S_{1}} \mathcal{L}\left(S, \alpha(S), \alpha^{\prime}(S)\right) d S\]Cerchiamo anzitutto i punti stazionari, poi determiniamo quali fra essi siano minimizzatori:
\[\mathcal{P}^{\prime}(\alpha)(\stackrel{*}{\omega})=0, \quad \forall \stackrel{*}{\omega} \in \mathcal{V}_{\mathrm{ad}}=\left\{\stackrel{*}{\omega}:\left(S_{0}, S_{1}\right) \rightarrow \mathbb{R}: \text {- No, no.} \stackrel{*}{\omega}\left(S_{0}\right)=0\right\}\]Derivando il funzionale otteniamo l’equazione variazionale
\[0=\int_{S_{0}}^{S_{1}}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \alpha}\left(S, \alpha(S), \alpha^{\prime}(S)\right) \stackrel{*}{\omega}(S)+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \alpha^{\prime}}\left(S, \alpha(S), \alpha^{\prime}(S)\right) \stackrel{*}{\omega}^{\prime}(S)\right) d S, \quad \forall \stackrel{*}{\omega} \in \mathcal{V}_{\mathrm{ad}}\]Supponendo \(\alpha\) e \(\mathcal{L}\) sufficientemente regolari, integriamo per parti il secondo termine e usiamo \(\stackrel{*}{\omega}(S_{0})=0\): \(0=\int_{S_{0}}^{S_{1}}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \alpha}\left(S, \alpha(S), \alpha^{\prime}(S)\right)-\frac{d}{d S}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \alpha^{\prime}}\left(S, \alpha(S), \alpha^{\prime}(S)\right)\right)\right) \stackrel{*}{\omega}(S) d S+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \alpha^{\prime}}\left(S_{1}, \alpha\left(S_{1}\right), \alpha^{\prime}\left(S_{1}\right)\right) \stackrel{*}{\omega}\left(S_{1}\right)\). Per passare dalla formulazione variazionale a quella locale usiamo il lemma fondamentale del calcolo delle variazioni.
\[\int_{a}^{b} f(x) \varphi(x) d x=0, \quad \forall \varphi \in \mathcal{D}(a, b) \quad \Longleftrightarrow \quad f(x)=0, \quad \forall x \in(a, b)\]Lemma B.1 (Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni). Sia \(f\) continua in \((a,b)\) e sia \(\mathcal{D}(a,b)\) lo spazio delle funzioni infinitamente differenziabili a supporto compatto in \((a,b)\). Allora
Applichiamo il lemma in due passaggi.
- Scegliamo \(\stackrel{*}{\omega}\in\mathcal{D}(S_{0},S_{1})\). Poiché \(\stackrel{*}{\omega}(S_{1})=0\), il termine al bordo scompare e il lemma fornisce l’equazione di Eulero–Lagrange:
- Sostituendo l’equazione di Eulero–Lagrange nella relazione variazionale rimane
Poiché \(\stackrel{*}{\omega}(S_{1})\) è arbitrario, otteniamo la condizione naturale al bordo:
\[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \alpha^{\prime}}\left(S_{1}, \alpha\left(S_{1}\right), \alpha^{\prime}\left(S_{1}\right)\right)=0 \tag{B.2}\]Nota. La versione del lemma dipende dalla regolarità assegnata a \(f\) e alle funzioni di prova.
I minimizzatori vanno dunque cercati fra le funzioni di \(\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}\) che soddisfano l’equazione di Eulero–Lagrange (B.1) e la condizione naturale (B.2). La convessità di \(\mathcal{L}\), e quindi di \(\mathcal{P}\), consente in alcuni casi di riconoscere direttamente i minimizzatori; negli altri casi occorre esaminare separatamente le soluzioni. Quando la lagrangiana non dipende esplicitamente da uno dei suoi argomenti, l’equazione del secondo ordine ammette un primo integrale.
- Se \(\mathcal{L}\) non dipende da \(\alpha\), l’equazione di Eulero–Lagrange si riduce a
La condizione naturale implica
\[\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \alpha^{\prime}}\left(S, \alpha^{\prime}(S)\right)=\mathrm{costante}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \alpha^{\prime}}\left(S_{1}, \alpha^{\prime}\left(S_{1}\right)\right)=0\]Questa relazione determina implicitamente \(\alpha'(S)\). Se \(\alpha(S_{1})\) è assegnato, la costante d’integrazione non è fissata dalla condizione naturale e deve essere determinata mediante il dato al bordo.
- Se \(\mathcal{L}\) non dipende da \(S\), moltiplichiamo l’equazione di Eulero–Lagrange per \(\alpha'(S)\) e otteniamo
La quantità \(\alpha'\,\partial\mathcal{L}/\partial\alpha'-\mathcal{L}\) è quindi costante e fornisce un’equazione differenziale del primo ordine:
\[\alpha^{\prime}(S) \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \alpha^{\prime}}\left(\alpha(S), \alpha^{\prime}(S)\right)-\mathcal{L}\left(\alpha(S), \alpha^{\prime}(S)\right)=\mathrm{costante} \quad \text {(prima parte)}\]La costante si determina mediante le condizioni al bordo. Il procedimento si estende a funzioni vettoriali e a lagrangiane che dipendono da derivate di ordine superiore. Se l’incognita ha \(n\) componenti otteniamo un sistema di \(n\) equazioni; se l’integrando dipende da derivate fino all’ordine \(n\), l’equazione di Eulero–Lagrange ha ordine \(2n\). La minimizzazione con vincoli conduce ai moltiplicatori di Lagrange.
B.3 Moltiplicatori di Lagrange
\[\mathrm{L}_{0}(\mathbf{v})=0, \quad \forall \mathbf{v} \in \mathcal{V} \text{ tale che } \mathrm{L}_{1}(\mathbf{v})=\cdots=\mathrm{L}_{\mathbf{n}}(\mathbf{v})=\mathbf{0}\]Proposizione B.2 (Teorema dei moltiplicatori di Lagrange). Sia \(\mathcal{V}\) uno spazio vettoriale e siano \(L_0,L_1,\ldots,L_n\) forme lineari su \(\mathcal{V}\). Se
allora esistono numeri reali \(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\) tali che
\[\mathrm{L}_{0}(\mathbf{v})=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} \mathrm{~L}_{i}(\mathbf{v}), \quad \forall \mathbf{v} \in \mathcal{V}\]Dimostrazione. Introduciamo l’applicazione lineare \(L:\mathcal{V}\to\mathbb{R}^{n}\) definita da \(L(\mathbf{v})=(L_1(\mathbf{v}),\ldots,L_n(\mathbf{v}))\). L’ipotesi afferma che \(\ker L\subseteq\ker L_0\); pertanto \(L_0\) è costante sulle classi di equivalenza determinate da \(L\) e induce una forma lineare su \(\operatorname{Im}L\). Estendiamo questa forma lineare a \(\mathbb{R}^{n}\) e rappresentiamola mediante \(\lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\). Si ottiene allora \(L_0(\mathbf{v})=\lambda\cdot L(\mathbf{v})=\sum_{i=1}^{n}\lambda_iL_i(\mathbf{v})\) per ogni \(\mathbf{v}\in\mathcal{V}\). \(\square\)
I numeri \(\lambda_i\) sono i moltiplicatori di Lagrange associati ai vincoli \(L_i(\mathbf{v})=0\). Il teorema permette di sostituire i vincoli con termini contenenti moltiplicatori incogniti. La sezione 5.4.1 ne mostra l’impiego; sotto opportune ipotesi, lo stesso principio si estende a famiglie infinite di vincoli, come nella sezione 5.4.4.
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