Appendice C: Schede di sintesi

← Appendice B: Alcune nozioni di calcolo delle variazioni · Indice

Orientamento

L’appendice raccoglie le principali relazioni di geometria, deformazione, comportamento costitutivo, statica, formulazione variazionale e dinamica.

Contenuti

Schede di sintesi
Geometria
Curva piana parametrizzata
Deformazione I
Deformazione II
Comportamento
Statica I
Statica II
Le equazioni
Statica III
Formulazione generale di un problema ai limiti di statica di filo
Le equazioni
Le equazioni di equilibrio
Le condizioni al contorno
Statica IV
Problema di statica linearizzato
Variazionale I
Movimenti virtuali
Principio delle Potenze Virtuali
Variazionale II
Variazionale III
Proprietà energetiche dei sistemi conservativi
Dinamica
Equazioni del moto di un mezzo curvilineo
Notazioni
Bibliografia

Schede di sintesi

Geometria

Curva piana parametrizzata

Figura

$\star$ Parametrizzazione qualunque: parametro $\zeta \quad\left({ }^{\prime}=\right.$ derivata rispetto al parametro $\left.\zeta\right)$ posizione $\mathbf{x}(\zeta) \quad: \mathbf{x}(\zeta)$ vettore unitario tangente $\mathbf{t}(\zeta) \quad: \mathbf{t}(\zeta)=\frac{\mathbf{x}^{\prime}(\zeta)}{\left\|\mathbf{x}^{\prime}(\zeta)\right\|}$ vettore unitario normale $\mathbf{n}(\zeta) \quad: \mathbf{n}(\zeta)=\mathbf{e}_{3} \wedge \mathbf{t}(\zeta)$ angolo tangente $\alpha(\zeta) \quad:\left\{\begin{array}{l}\mathbf{t}(\zeta)=\cos \alpha(\zeta) \mathbf{e}_{1}+\sin \alpha(\zeta) \mathbf{e}_{2} \\ \mathbf{n}(\zeta)=-\sin \alpha(\zeta) \mathbf{e}_{1}+\cos \alpha(\zeta) \mathbf{e}_{2}\end{array}\right.$ ascissa curvilinea $s=\mathrm{s}(\zeta) \quad: \mathrm{s}^{\prime}(\zeta)=\left\|\mathbf{x}^{\prime}(\zeta)\right\|$ curvatura $\mathrm{C}(\zeta) \quad: \mathrm{C}(\zeta)=\frac{\alpha^{\prime}(\zeta)}{\mathrm{s}^{\prime}(\zeta)}$ $\star$ Parametrizzazione normale: ascissa curvilinea $s \quad\left({ }^{\prime}=\right.$ derivata rispetto a $\left.s\right)$ posizione $\mathbf{x}(s) \quad: \mathbf{x}(s)$ vettore unitario tangente $\mathbf{t}(s) \quad: \mathbf{t}(s)=\mathbf{x}^{\prime}(s)$ vettore unitario normale $\mathbf{n}(s) \quad: \mathbf{n}(s)=\mathbf{e}_{3} \wedge \mathbf{t}(s)$ angolo tangente $\alpha(s) \quad:\left\{\begin{array}{l}\mathbf{t}(s)=\cos \alpha(s) \mathbf{e}_{1}+\sin \alpha(s) \mathbf{e}_{2} \\ \mathbf{n}(s)=-\sin \alpha(s) \mathbf{e}_{1}+\cos \alpha(s) \mathbf{e}_{2}\end{array}\right.$ curvatura $\mathrm{C}(s): \mathrm{C}(s)=\alpha^{\prime}(s)$ conseguenze della parametrizzazione $:\left\{\begin{array}{l}\left\|\mathbf{x}^{\prime}(s)\right\|=1 \\ \mathbf{t}^{\prime}(s)=\mathrm{C}(s) \mathbf{n}(s) \\ \mathbf{n}^{\prime}(s)=-\mathrm{C}(s) \mathbf{t}(s)\end{array}\right.$

Deformazione I

Configurazioni di riferimento e deformata $\quad$ ‘ = derivata rispetto a $S$

Figura

Configurazione di riferimento: parametrizzazione normale tramite l’ascissa curvilinea $S$


posizione $\mathbf{x}_{\mathbf{R}}(S)$	$: \quad \mathbf{x}_{\mathrm{R}}(S)$
vettore unitario tangente $\mathbf{t}_{\mathrm{R}}(S)$	$: \quad \mathbf{t}_{\mathrm{R}}(S)=\mathbf{x}_{\mathrm{R}}^{\prime}(S)$
vettore unitario normale $\mathbf{n}_{\mathrm{R}}(S)$	$: \mathbf{n}_{\mathrm{R}}(S)=\mathbf{e}_{3} \wedge \mathbf{t}_{\mathrm{R}}(S)$
angolo tangente $\alpha_{\mathrm{R}}(S)$	$:\left\{\begin{array}{l}\mathbf{t}_{\mathrm{R}}(S)=\cos \alpha_{\mathrm{R}}(S) \mathbf{e}_{1}+\sin \alpha_{\mathrm{R}}(S) \mathbf{e}_{2} \\ \mathbf{n}_{\mathrm{R}}(S)=-\sin \alpha_{\mathrm{R}}(S) \mathbf{e}_{1}+\cos \alpha_{\mathrm{R}}(S) \mathbf{e}_{2}\end{array}\right.$
curvatura $\mathrm{C}_{\mathrm{R}}(S)$	$: \quad \mathrm{C}_{\mathrm{R}}(S)=\alpha_{\mathrm{R}}^{\prime}(S)$

Configurazione deformata: parametrizzazione tramite l’ascissa curvilinea di riferimento $S$

\[\begin{array}{ll} \text { posizione } \mathbf{x}(S) &: \mathbf{x}(S) \\ \text { vettore unitario tangente } \mathbf{t}(S) &: \mathbf{t}(S)=\frac{\mathbf{x}^{\prime}(S)}{\left\|\mathbf{x}^{\prime}(S)\right\|} \\ \text { vettore unitario normale } \mathbf{n}(S) &: \mathbf{n}(S)=\mathbf{e}_{3} \wedge \mathbf{t}(S) \\ \text { angolo tangente } \alpha(S) &:\left\{\begin{array}{l} \mathbf{t}(S)=\cos \alpha(S) \mathbf{e}_{1}+\sin \alpha(S) \mathbf{e}_{2} \\ \mathbf{n}(S)=-\sin \alpha(S) \mathbf{e}_{1}+\cos \alpha(S) \mathbf{e}_{2} \end{array}\right. \\ \text { ascissa curvilinea } s=\mathrm{s}(S) &: \mathrm{s}^{\prime}(S)=\left\|\mathbf{x}^{\prime}(S)\right\| \\ \text { curvatura } \mathrm{C}(S) &: \mathrm{C}(S)=\frac{\alpha^{\prime}(S)}{\mathrm{s}^{\prime}(S)} \\ \hline \end{array}\]

Deformazione II

Spostamento, rotazione, deformazioni $\quad$ ‘ = derivata rispetto a $S$
Spostamento e rotazione:


vettore spostamento $\boldsymbol{\xi}(S)$	$: \boldsymbol{\xi}(S)=\mathbf{x}(S)-\mathbf{x}_{\mathrm{R}}(S)$
spostamento d’estensione $u(S)$	$: u(S)=\boldsymbol{\xi}(S) \cdot \mathbf{t}_{\mathrm{R}}(S)$
deflessione $w(S)$	$: w(S)=\boldsymbol{\xi}(S) \cdot \mathbf{n}_{\mathrm{R}}(S)$
rotazione $\omega(S)$	$: \omega(S)=\alpha(S)-\alpha_{\mathrm{R}}(S)$

Deformazioni:

deformazione d’estensione $\varepsilon(S) \quad: \varepsilon(S)=\mathrm{s}^{\prime}(S)-1$ deformazione di flessione $\kappa(S) \quad: \quad \kappa(S)=\omega^{\prime}(S)$

Relazioni tra deformazioni, spostamenti e posizioni $\quad$ ‘ = derivata rispetto a $S$
Relazioni tra la rotazione, le deformazioni e le derivate delle posizioni:

rotazione $\omega(S): \quad \cos \omega(S)=\frac{\mathbf{x}^{\prime}(S) \cdot \mathbf{t}_{\mathrm{R}}(S)}{\left\|\mathbf{x}^{\prime}(S)\right\|}, \quad \sin \omega(S)=\frac{\mathbf{x}^{\prime}(S) \cdot \mathbf{n}_{\mathrm{R}}(S)}{\left\|\mathbf{x}^{\prime}(S)\right\|}$ deformazione d’estensione $\varepsilon(S) \quad: \varepsilon(S)=\left\|\mathbf{x}^{\prime}(S)\right\|-1$ deformazione di flessione $\kappa(S) \quad: \quad \kappa(S)=\frac{\left(\mathbf{e}_{3} \wedge \mathbf{x}^{\prime}(S)\right) \cdot \mathbf{x}^{\prime \prime}(S)}{\left\|\mathbf{x}^{\prime}(S)\right\|^{2}}-\mathrm{C}_{\mathrm{R}}(S)$

Relazioni tra rotazione o deformazioni e spostamenti:

rotazione $\omega$

\[\begin{aligned} & \cos \omega=\left\{\begin{array}{l} \frac{1+\boldsymbol{\xi}^{\prime} \cdot \mathbf{t}_{\mathrm{R}}}{\sqrt{1+2 \boldsymbol{\xi}^{\prime} \cdot \mathbf{t}_{\mathrm{R}}+\boldsymbol{\xi}^{\prime} \cdot \boldsymbol{\xi}^{\prime}}} \\ \frac{1+u^{\prime}-\mathrm{C}_{\mathrm{R}} w}{\sqrt{\left(1+u^{\prime}-\mathrm{C}_{\mathrm{R}} w\right)^{2}+\left(w^{\prime}+\mathrm{C}_{\mathrm{R}} u\right)^{2}}} \end{array}\right. \\ & \sin \omega=\left\{\begin{array}{l} \frac{\boldsymbol{\xi}^{\prime} \cdot \mathbf{n}_{\mathrm{R}}}{\sqrt{1+2 \boldsymbol{\xi}^{\prime} \cdot \mathbf{t}_{\mathrm{R}}+\boldsymbol{\xi}^{\prime} \cdot \boldsymbol{\xi}^{\prime}}} \\ \frac{w^{\prime}+\mathrm{C}_{\mathrm{R}} u}{\sqrt{\left(1+u^{\prime}-\mathrm{C}_{\mathrm{R}} w\right)^{2}+\left(w^{\prime}+\mathrm{C}_{\mathrm{R}} u\right)^{2}}} \end{array}\right. \\ &: \varepsilon=\left\{\begin{array}{l} \sqrt{1+2 \boldsymbol{\xi}^{\prime} \cdot \mathbf{t}_{\mathrm{R}}+\boldsymbol{\xi}^{\prime} \cdot \boldsymbol{\xi}^{\prime}}-1 \\ \sqrt{\left(1+u^{\prime}-\mathrm{C}_{\mathrm{R}} w\right)^{2}+\left(w^{\prime}+\mathrm{C}_{\mathrm{R}} u\right)^{2}}-1 \end{array}\right. \end{aligned}\]

deformazione d’estensione $\varepsilon$

Sforzi esterni e interni $\quad s=$ ascissa curvilinea della configurazione $s \mapsto \mathbf{x}(s)$
Sforzi esterni:


densità lineica di forze	$: \mathbf{f}(s)=f_{1}(s) \mathbf{e}_{1}+f_{2}(s) \mathbf{e}_{2}=f_{t}(s) \mathbf{t}(s)+f_{n}(s) \mathbf{n}(s)$
densità lineica di coppie	$: m(s)$
forza e momento puntuali in $s_{i}$	$: \mathcal{F}_{s_{i}}, \mathcal{M}_{s_{i}}$
forza e momento alle estremità	$: \mathcal{F}_{0}, \mathcal{M}_{0}, \mathcal{F}_{\ell}, \mathcal{M}_{\ell}$

Sforzi interni:

Figura

forza interna diretta: $\mathbf{R}(s)$ sforzo normale e sforzo di taglio: $\mathbf{R}(s)=N(s) \mathbf{t}(s)+T(s) \mathbf{n}(s)$ momento flettente: $M(s)$ sforzi interni reciproci: $: \mathbf{R}^{r}(s), M^{r}(s)$

Equazioni di equilibrio locali

$s=$ ascissa curvilinea della configurazione di equilibrio $\mathbb{P}=\left\{s_{1}, \cdots, s_{n}\right\}=$ insieme dei punti dove sono applicati sforzi puntuali $\mathbb{C}=(0, \ell)$ per un mezzo con estremità, $\mathbb{C}=[0, \ell)$ per un mezzo senza estremità condizioni in $s=0 \quad: \lim _{s \downarrow 0} \mathbf{R}(s)=-\mathcal{F}_{0} \quad$ e $\quad \lim _{s \downarrow 0} M(s)=-\mathcal{M}_{0}$, equilibrio delle forze in $\mathbb{C} \backslash \mathbb{P} \quad: \frac{d \mathbf{R}}{d s}(s)+\mathbf{f}(s)=\mathbf{0}$ equilibrio dei momenti in $\mathbb{C} \backslash \mathbb{P} \quad: \frac{d M}{d s}(s)+T(s)+m(s)=0$ equilibrio delle forze su $\mathbb{P} \quad: \left[\!\left[ \mathbf{R} \right]\!\right]\left(s_{i}\right)+\mathcal{F}_{s_{i}}=\mathbf{0}$ equilibrio dei momenti su $\mathbb{P} \quad: \left[\!\left[ M \right]\!\right]\left(s_{i}\right)+\mathcal{M}_{s_{i}}=0$ condizioni in $s=\ell \quad: \lim _{s \uparrow \ell} \mathbf{R}(s)=\mathcal{F}_{\ell} \quad$ e $\quad \lim _{s \uparrow \ell} M(s)=\mathcal{M}_{\ell}$ Le condizioni in $s=0$ e $s=\ell$ sono da scrivere solo per un mezzo con estremità.

Comportamento

Leggi costitutive


deformabilità	inestensibile $\varepsilon=0$	elasticamente estensibile
inflessibile $\kappa=0$	mezzo rigido $\left\{\begin{array}{l} \varepsilon=0 \\ \kappa=0 \end{array}\right.$ ( $N$ e $M$ arbitrari)	barra elastica $\left\{\begin{array}{l} N=\mathrm{N}_{\mathrm{ex}}(\varepsilon) \\ \kappa=0 \end{array}\right.$ ( $M$ arbitrario)
elasticamente flessibile	asta inestensibile $\left\{\begin{array}{l} \varepsilon=0 \\ M=\mathrm{M}_{\mathrm{fl}}(\kappa) \end{array}\right.$ ( $N$ arbitrario)	asta elastica $\left\{\begin{array}{l} N=\mathrm{N}_{\mathrm{e}}(\varepsilon, \kappa) \\ M=\mathrm{M}_{\mathrm{e}}(\varepsilon, \kappa) \end{array}\right.$
perfettamente flessibile $M=0$	filo inestensibile $\left\{\begin{array}{l} \varepsilon=0 \\ M=0 \end{array}\right.$ ( $N$ arbitrario)	filo elastico $\left\{\begin{array}{l} N=\mathrm{N}_{\mathrm{ex}}(\varepsilon) \\ M=0 \end{array}\right.$

Comportamento elastico

$E=$ modulo di Young del materiale costitutivo $A$ e $\mathrm{I}=$ area e momento d’inerzia della sezione*

Relazioni costitutive delle aste elastiche: potenziale elastico di flessione-estensione $\mathrm{W}_{\mathrm{e}}(\varepsilon, \kappa)$

caso generale

\[: \quad N=\frac{\partial \mathrm{W}_{\mathrm{e}}}{\partial \varepsilon}(\varepsilon, \kappa), \quad M=\frac{\partial \mathrm{W}_{\mathrm{e}}}{\partial \kappa}(\varepsilon, \kappa)\]

caso di sezione* omogenea e materiale linearmente elastico

\[: \quad \mathrm{W}_{\mathrm{e}}(\varepsilon, \kappa)=\frac{1}{2} \mathrm{EA} \varepsilon^{2}+\frac{1}{2} \mathrm{El} \kappa^{2}, \quad N=\mathrm{EA} \varepsilon, \quad M=\mathrm{El} \kappa\]

$\star$ Relazioni costitutive di fili o barre elastiche: potenziale elastico di estensione $\mathrm{W}_{\mathrm{ex}}(\varepsilon)$ caso generale

\[: \quad N=\mathrm{W}_{\mathrm{ex}}^{\prime}(\varepsilon)\]

caso di sezione* omogenea e materiale linearmente elastico

\[: \quad \mathrm{W}_{\mathrm{ex}}(\varepsilon)=\frac{1}{2} \mathrm{EA} \varepsilon^{2}, \quad N=\mathrm{EA} \varepsilon\]

$\star$ Relazioni costitutive di aste inestensibili: potenziale elastico di flessione $\mathrm{W}_{\mathrm{fl}}(\kappa)$ caso generale

\[: \quad M=\mathrm{W}_{\mathrm{fl}}^{\prime}(\kappa)\]

caso di sezione* omogenea e materiale linearmente elastico

\[: \quad \mathrm{W}_{\mathrm{fl}}(\kappa)=\frac{1}{2} \mathrm{El} \kappa^{2}, \quad M=\mathrm{El} \kappa\]

Statica I

Condizioni al contorno $S=$ ascissa curvilinea della configurazione di riferimento

$\star$ Incastro: nel punto $\mathbf{x}_{0}$ nella direzione $\mathbf{t}_{0}=\cos \alpha_{0} \mathbf{e}_{1}+\sin \alpha_{0} \mathbf{e}_{2}$

Figura

Incastro in $S=0$.

\[\begin{aligned} & \text { incastro di } S=0 \\ & \text { incastro di } S=\ell_{\mathrm{R}} \quad\left\{\begin{array}{l} \mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_{0} \\ \alpha(0)=\alpha_{0} \end{array}\right. \\ & \left\{\begin{array}{l} \mathbf{x}\left(\ell_{\mathrm{R}}\right)=\mathbf{x}_{0} \\ \alpha\left(\ell_{\mathrm{R}}\right)=\alpha_{0} \end{array}\right. \end{aligned}\]

$\star$ Vincolo con rotazione libera: nel punto $\mathbf{x}_{0}$

Figura

(vincolo di $S=0$ )

\[\begin{array}{ll} \text { vincolo di } S=0 & \left\{\begin{array}{l} \mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_{0} \\ M(0)=0 \end{array}\right. \\ \text { vincolo di } S=\ell_{\mathrm{R}} & \left\{\begin{array}{l} \mathbf{x}\left(\ell_{\mathrm{R}}\right)=\mathbf{x}_{0} \\ M\left(\ell_{\mathrm{R}}\right)=0 \end{array}\right. \end{array}\]

$\star$ Appoggio semplice: su una retta $s \mapsto \mathbf{x}_{c}(s)=a \mathbf{e}_{3} \wedge \mathbf{t}_{c}+s \mathbf{t}_{c}$

Figura

appoggio semplice per $S=0 \quad\left\{\begin{array}{l}\mathbf{t}_{c} \mathbin{\wedge_2} \mathbf{x}(0)=a \\ \mathbf{R}(0) \cdot \mathbf{t}_{c}=0 \\ M(0)=0\end{array}\right.$ appoggio semplice per $S=\ell_{\mathrm{R}}\left\{\begin{array}{l}\mathbf{t}_{c} \mathbin{\wedge_2} \mathbf{x}\left(\ell_{\mathrm{R}}\right)=a \\ \mathbf{R}\left(\ell_{\mathrm{R}}\right) \cdot \mathbf{t}_{c}=0 \\ M\left(\ell_{\mathrm{R}}\right)=0\end{array}\right.$ (appoggio semplice di $S=0$ )

Estremità caricata: mediante una forza e un momento

Figura

Estremo $S=0$ caricato.

\[\begin{array}{ll} \text { estremità } S=0 & \left\{\begin{array}{l} \mathbf{R}(0)=-\mathcal{F}_{0} \\ M(0)=-\mathcal{M}_{0} \end{array}\right. \\ \text { estremità } S=\ell_{\mathrm{R}} & \left\{\begin{array}{l} \mathbf{R}\left(\ell_{\mathrm{R}}\right)=\mathcal{F}_{\ell} \\ M\left(\ell_{\mathrm{R}}\right)=\mathcal{M}_{\ell} \end{array}\right. \end{array}\]

Statica II

Formulazione generale di un problema ai limiti di statica

$S \mapsto \mathbf{x}_{R}(S)=$ configurazione di riferimento $S=$ ascissa curvilinea di riferimento $\mathbb{C}_{R}=\left(0, \ell_{R}\right)$ se il mezzo ha estremità, $\mathbb{C}_{R}=\left[0, \ell_{R}\right)$ se il mezzo non ha estremità $\mathbb{P}_{R}=\left\{S_{0}, \cdots, S_{n}\right\}=$ insieme dei punti materiali individuati tramite l’ascissa curvilinea di riferimento dove sono applicati sforzi puntuali Le incognite

\[S \mapsto \mathbf{x}(S), \quad S \mapsto(\mathbf{R}(S), M(S))\]

(la loro regolarità dipende dal comportamento del mezzo)

Le equazioni

(l’apice indica la derivata rispetto a $S$ ) Le relazioni geometriche $\quad\left\{\begin{array}{l}\mathbf{t}(S)=\frac{\mathbf{x}^{\prime}(S)}{\left\|\mathbf{x}^{\prime}(S)\right\|}=\cos \alpha(S) \mathbf{e}_{1}+\sin \alpha(S) \mathbf{e}_{2} \\ \mathbf{n}(S)=\mathbf{e}_{3} \wedge \mathbf{t}(S)=-\sin \alpha(S) \mathbf{e}_{1}+\cos \alpha(S) \mathbf{e}_{2} \\ \varepsilon(S)=\left\|\mathbf{x}^{\prime}(S)\right\|-1 \\ \kappa(S)=\frac{\mathbf{x}^{\prime}(S) \mathbin{\wedge_2} \mathbf{x}^{\prime \prime}(S)}{\left\|\mathbf{x}^{\prime}(S)\right\|^{2}}-\mathrm{C}_{\mathrm{R}}(S)=\alpha^{\prime}(S)-\alpha_{\mathrm{R}}^{\prime}(S)\end{array}\right.$ La decomposizione degli sforzi interni $\mathbf{R}(S)=N(S) \mathbf{t}(S)+T(S) \mathbf{n}(S)$ Le equazioni di equilibrio (le densità lineiche $\mathbf{f}_{\mathrm{R}}$ e $m_{\mathrm{R}}$ sono per unità di lunghezza della configurazione di riferimento) conservazione della massa: $\varrho_{\mathrm{R}}(S)=(1+\varepsilon(S)) \varrho \circ \mathrm{s}(S)$

\[\begin{cases}\mathbf{R}^{\prime}(S)+\mathbf{f}_{\mathrm{R}}(S)=\mathbf{0} & \text { in } \mathbb{C}_{\mathrm{R}} \backslash \mathbb{P}_{\mathrm{R}} \\ M^{\prime}(S)+\left\|\mathbf{x}^{\prime}(S)\right\| T(S)+m_{\mathrm{R}}(S)=0 & \text { in } \mathbb{C}_{\mathrm{R}} \backslash \mathbb{P}_{\mathrm{R}} \\ \left[\!\left[ \mathbf{R} \right]\!\right]\left(S_{i}\right)+\mathcal{F}_{S_{i}}=\mathbf{0} & \text { su } \mathbb{P}_{\mathrm{R}} \\ \left[\!\left[ M \right]\!\right]\left(S_{i}\right)+\mathcal{M}_{S_{i}}=0 & \text { su } \mathbb{P}_{\mathrm{R}}\end{cases}\]

Le condizioni al contorno (da scrivere solo quando $\binom{\mathbf{R}}{M} \longleftrightarrow\binom{\mathbf{x}}{\alpha}$ per $\quad S=0$ e $S=\ell_{\mathrm{R}}$ se il mezzo ha estremità) 3 condizioni complementari per estremità (forza o posizione, momento o orientamento) Le relazioni costitutive $\quad\binom{N(S)}{M(S)} \longleftrightarrow\binom{\varepsilon(S)}{\kappa(S)} \quad$ in $\mathbb{C}_{\mathrm{R}}$

Statica III

Formulazione generale di un problema ai limiti di statica di filo

$S \mapsto \mathbf{x}_{R}(S)=$ configurazione di riferimento $S=$ ascissa curvilinea di riferimento $\mathbb{C}_{R}=\left(0, \ell_{R}\right)$ se il filo ha estremità, $\mathbb{C}_{R}=\left[0, \ell_{R}\right)$ se il filo non ha estremità $\mathbb{P}_{R}=\left\{S_{0}, \cdots, S_{n}\right\}=$ insieme dei punti materiali individuati tramite l’ascissa curvilinea di riferimento dove sono applicati sforzi puntuali Le incognite

\[S \mapsto \mathbf{x}(S), \quad S \mapsto N(S)\]

$\mathbf{x}=$ continua ovunque, derivabile a tratti $N=$ continua a tratti, derivabile a tratti

Le equazioni

(l’apice indica la derivata rispetto a $S$ ) Le relazioni geometriche $\quad \begin{cases}\mathbf{t}(S)=\frac{\mathbf{x}^{\prime}(S)}{\left\|\mathbf{x}^{\prime}(S)\right\|}, & \mathbf{n}(S)=\mathbf{e}_{3} \wedge \mathbf{t}(S), \\ \varepsilon(S)=\left\|\mathbf{x}^{\prime}(S)\right\|-1 & \text { in } \mathbb{C}_{\mathrm{R}}\end{cases}$

Le equazioni di equilibrio

Le equazioni di equilibrio (la densità lineica $\mathbf{f}_{\mathrm{R}}$ è per unità di lunghezza di riferimento) $\begin{aligned} & \text { conservazione della massa: } \\ & \varrho_{\mathrm{R}}(S)=(1+\varepsilon(S)) \varrho \circ \mathrm{s}(S)\end{aligned}$ $\begin{cases}(N \mathbf{t})^{\prime}(S)+\mathbf{f}_{\mathrm{R}}(S)=\mathbf{0} & \text { in } \mathbb{C}_{\mathrm{R}} \backslash \mathbb{P}_{\mathrm{R}} \\ \left[\!\left[ N \mathbf{t} \right]\!\right]\left(S_{i}\right)+\mathcal{F}_{S_{i}}=\mathbf{0} & \text { su } \mathbb{P}_{\mathrm{R}}\end{cases}$ per unità di lunghezza di riferimento conservazione della massa: $\varrho_{\mathrm{R}}(S)=(1+\varepsilon(S)) \varrho \circ \mathrm{s}(S)$

Le condizioni al contorno

(da scrivere solo quando il mezzo ha estremità)

\[N \mathbf{t} \longleftrightarrow \mathbf{x} \quad \text { per } \quad S=0 \text { e } S=\ell_{\mathrm{R}}\]

due condizioni complementari per estremità (componenti della forza o della posizione) La relazione costitutiva $\quad \begin{cases}\varepsilon=0 & \text { se il filo è inestensibile } \\ N=W_{\text {ex }}^{\prime}(\varepsilon) & \text { se il filo è elastico }\end{cases}$ La condizione di stabilità $\quad N(S) \geq 0 \quad$ in $\mathbb{C}_{\mathrm{R}}$

Statica IV

Problema di statica linearizzato

carico debole $\Longrightarrow$ piccoli spostamenti e piccole deformazioni rispetto a una configurazione di riferimento naturale $\Longrightarrow$ quadro HPP $\Longrightarrow$ problema lineare $\star$ Scelta della configurazione di riferimento naturale: l’assegnazione di $S \mapsto \mathrm{C}_{\mathrm{R}}(S)$ determina $\mathbf{x}_{\mathrm{R}}(S)$ a meno di una traslazione $\mathbf{x}^{0}$ e una rotazione $\alpha_{\mathrm{R}}^{0}$

\[\left\{\begin{array}{l} \alpha_{\mathrm{R}}(S)=\alpha_{\mathrm{R}}^{0}+\int_{0}^{S} \mathrm{C}_{\mathrm{R}}(\tilde{x}_3) d \tilde{x}_3 \\ \mathbf{x}_{\mathrm{R}}(S)=\mathbf{x}_{\mathrm{R}}^{0}+\int_{0}^{S} \cos \alpha_{\mathrm{R}}(\tilde{x}_3) d \tilde{x}_3 \mathbf{e}_{1}+\int_{0}^{S} \sin \alpha_{\mathrm{R}}(\tilde{x}_3) d \tilde{x}_3 \mathbf{e}_{2} \end{array}\right.\]

fissaggio di $\alpha_{\mathrm{R}}^{0}$ e $\mathbf{x}^{0}$ tramite le condizioni al contorno (o risolvendo il problema rigido associato)

Linearizzazione delle equazioni di equilibrio: la configurazione di equilibrio è assimilata a quella di riferimento, gli sforzi esterni sono calcolati supponendo $\mathbf{x}(S)=\mathbf{x}_{\mathrm{R}}(S)$

massa lineica e ascissa curvilinea: $\varrho(s)=\varrho_{\mathrm{R}}(S), \quad d s=d S$ decomposizione degli sforzi interni: $\mathbf{R}(S)=N(S) \mathbf{t}_{\mathrm{R}}(S)+T(S) \mathbf{n}_{\mathrm{R}}(S)$ equazioni di equilibrio linearizzate $: \begin{cases}\mathbf{R}^{\prime}(S)+\mathbf{f}_{\mathrm{R}}(S)=\mathbf{0} & \text { in } \mathbb{C}_{\mathrm{R}} \backslash \mathbb{P}_{\mathrm{R}} \\ M^{\prime}(S)+T(S)+m_{\mathrm{R}}(S)=0 & \text { in } \mathbb{C}_{\mathrm{R}} \backslash \mathbb{P}_{\mathrm{R}} \\ \left[\!\left[ \mathbf{R} \right]\!\right]\left(S_{i}\right)+\mathcal{F}_{S_{i}}=\mathbf{0} & \text { su } \mathbb{P}_{\mathrm{R}} \\ \left[\!\left[ M \right]\!\right]\left(S_{i}\right)+\mathcal{M}_{S_{i}}=0 & \text { su } \mathbb{P}_{\mathrm{R}}\end{cases}$

Linearizzazione delle condizioni al contorno: esempi di condizioni al contorno linearizzate in $S=0$ supponendo che la configurazione di riferimento soddisfi le condizioni cinematiche

\[\begin{array}{lll} \text { incastro } &: u(0)=0, \quad w(0)=0, \quad w^{\prime}(0)=0 \\ \text { appoggio semplice quando } \mathbf{t}_{c}=\mathbf{t}_{\mathrm{R}}(0) &: N(0)=0, \quad w(0)=0, \quad M(0)=0 \end{array}\]

$\star$ Linearizzazione delle relazioni deformazioni-spostamenti: quadro HPP: $\left|u^{\prime}\right| \ll 1,\left|w^{\prime}\right| \ll 1,\left|\mathrm{C}_{\mathrm{R}} u\right| \ll 1,\left|\mathrm{C}_{\mathrm{R}} w\right| \ll 1$

\[\begin{array}{ll} \text { deformazione d'estensione linearizzata } &: \varepsilon=\boldsymbol{\xi}^{\prime} \cdot \mathbf{t}_{\mathrm{R}}=u^{\prime}-\mathrm{C}_{\mathrm{R}} w \\ \text { rotazione linearizzata } &: \omega=\boldsymbol{\xi}^{\prime} \cdot \mathbf{n}_{\mathrm{R}}=w^{\prime}+\mathrm{C}_{\mathrm{R}} u \\ \text { deformazione di flessione linearizzata } &: \kappa=\left(\boldsymbol{\xi}^{\prime} \cdot \mathbf{n}_{\mathrm{R}}\right)^{\prime}=w^{\prime \prime}+\left(\mathrm{C}_{\mathrm{R}} u\right)^{\prime} \end{array}\]

$\star$ Linearizzazione delle relazioni costitutive: potenziale elastico $\mathrm{W}_{\mathrm{e}}$ quadratico in $(\varepsilon, \kappa)$

\[\begin{array}{ll} \text { sezione* eterogenea e dissimmetrica } &: N=\overline{\mathrm{EA}} \varepsilon+\overline{\mathrm{EC}} \kappa, \quad M=\overline{\mathrm{EC}} \varepsilon+\overline{\mathrm{EI}} \kappa \\ \text { sezione* omogenea } &: N=\mathrm{EA} \varepsilon, \quad M=\mathrm{EI} \kappa \end{array}\]

Variazionale I

Movimenti virtuali

$s \mapsto \mathbf{x}(s)$: configurazione a partire dalla quale si effettua il movimento virtuale $s, \mathbf{t}, \mathbf{n}$: ascissa curvilinea, vettore tangente e vettore normale a $\mathbf{x}$ movimento virtuale: $(h, s) \mapsto \mathbf{x}_{h}(s), \quad h \in(-\bar{h}, \bar{h}), s \in \mathbb{C}$ il movimento virtuale passa per $\mathbf{x}$ in $h=0: \mathbf{x}_{h=0}(s)=\mathbf{x}(s)$

Velocità virtuali: $$\stackrel{*}{\mathrm{G}}:=\left.\frac{d \mathrm{G}_{h}}{d h}\right _{h=0}$(derivata rispetto a$h$in$h=0$$)

velocità virtuale di spostamento $s \mapsto \stackrel{*}{\boldsymbol{\xi}}(s)$

\[: \quad \stackrel{*}{\boldsymbol{\xi}}(s)=\stackrel{*}{\mathbf{x}}(s)=\left.\frac{d\left(\mathbf{x}_{h}(s)\right)}{d h}\right|_{h=0}\]

velocità virtuale di rotazione $s \mapsto \stackrel{*}{\omega}(s)$

\[: \quad \stackrel{*}{\omega}(s)=\frac{d \stackrel{*}{\boldsymbol{\xi}}}{d s}(s) \cdot \mathbf{n}(s)\]

velocità virtuale di deformazione d’estensione $s \mapsto \stackrel{*}{\varepsilon}(s) \quad: \quad \stackrel{*}{\varepsilon}(s)=\frac{d \stackrel{*}{\boldsymbol{\xi}}}{d s}(s) \cdot \mathbf{t}(s)$ velocità virtuale di deformazione di flessione $s \mapsto \stackrel{*}{\kappa}(s) \quad: \stackrel{*}{\kappa}(s)=\frac{d}{d s}\left(\frac{d \stackrel{*}{\boldsymbol{\xi}}}{d s}(s) \cdot \mathbf{n}(s)\right)$

Principio delle Potenze Virtuali

$\mathbb{S}^{*}$: punti $s \in \mathbb{C}$ dove $\stackrel{*}{\boldsymbol{\xi}}$ e $\stackrel{*}{\omega}$ sono discontinui $\mathbb{P}$: punti $s \in \mathbb{C}$ dove sono applicati sforzi puntuali salto: $\left[\!\left[ \mathrm{G} \right]\!\right](s)=\mathrm{G}^{+}(s)-\mathrm{G}^{-}(s)$, valore medio: $\langle\mathrm{G}\rangle(s)=\frac{1}{2}\left(\mathrm{G}^{+}(s)+\mathrm{G}^{-}(s)\right)$ $\mathcal{V}_{\text {tot }}(\mathbf{x})=$ insieme delle velocità virtuali (a partire dalla configurazione $\mathbf{x}$) regolari a tratti

Potenza virtuale di deformazione degli sforzi interni:

\[\mathrm{P}_{\mathrm{def}}[\mathbf{R}, M](\stackrel{*}{\boldsymbol{\xi}}):=\int_{\mathbb{C} \backslash \mathbb{S}^{*}}(N(s) \stackrel{*}{\varepsilon}(s)+M(s) \stackrel{*}{\kappa}(s)) d s+\sum_{\mathbb{S}^{*}}(\langle\mathbf{R}\rangle(s) \cdot \left[\!\left[ \stackrel{*}{\boldsymbol{\xi}} \right]\!\right](s)+\langle M\rangle(s) \left[\!\left[ \stackrel{*}{\omega} \right]\!\right](s))\]

Potenza virtuale degli sforzi esterni:

\[\begin{aligned} \mathrm{P}_{\text {ext }}\left[\mathcal{F}_{0}, \mathcal{M}_{0}, \cdots\right](\stackrel{*}{\boldsymbol{\xi}}) & =\mathcal{F}_{0} \cdot \stackrel{*}{\boldsymbol{\xi}^{+}}(0)+\mathcal{M}_{0} \stackrel{*}{\omega}+(0)+\int_{\mathbb{C} \backslash \mathbb{S}^{*}}(\mathbf{f}(s) \cdot \stackrel{*}{\boldsymbol{\xi}}(s)+m(s) \stackrel{*}{\omega}(s)) d s \\ & +\sum_{s_{i} \in \mathbb{P}}\left(\mathcal{F}_{s_{i}} \cdot\langle\stackrel{*}{\boldsymbol{\xi}}\rangle\left(s_{i}\right)+\mathcal{M}_{s_{i}}\langle\stackrel{*}{\omega}\rangle\left(s_{i}\right)\right)+\mathcal{F}_{\ell} \cdot \stackrel{*}{\boldsymbol{\xi}^{-}}(\ell)+\mathcal{M}_{\ell} \stackrel{*}{\omega}(\ell) \end{aligned}\]

I termini in $s=0$ e $s=\ell$ compaiono solo se il mezzo ha estremità.

PPV: Gli sforzi interni soddisfano le equazioni di equilibrio locali se e solo se

\[\mathrm{P}_{\mathrm{def}}[\mathbf{R}, M](\stackrel{*}{\boldsymbol{\xi}})=\mathrm{P}_{\mathrm{ext}}(\stackrel{*}{\boldsymbol{\xi}}), \quad \forall \stackrel{*}{\boldsymbol{\xi}} \in \mathcal{V}_{\mathrm{tot}}(\mathbf{x})\]

Variazionale II

Sistemi conservativi ed energia potenziale

forza morta $=$ forza applicata la cui direzione e intensità non dipendono dalla posizione del punto di applicazione momento morto $=$ momento applicato la cui intensità non dipende né dalla posizione del punto di applicazione né dall’orientamento del mezzo $\star$ Potenziale delle forze conservative: $\mathbf{y} \mapsto \Phi(\mathbf{y})$, campo di forze associato $F(\mathbf{y})=-\nabla \Phi(\mathbf{y})$ forza morta $\mathcal{F} \quad: \Phi(\mathbf{y})=-\mathcal{F} \cdot \mathbf{y}$ massa unitaria sotto gravità uniforme $\mathbf{g} \quad: \quad \Phi(\mathbf{y})=-\mathbf{g} \cdot \mathbf{y}$ massa unitaria sotto forza centrifuga $\Omega^{2}\left(y_{1} \mathbf{e}_{1}+y_{2} \mathbf{e}_{2}\right) \quad: \quad \Phi(\mathbf{y})=-\frac{1}{2} \Omega^{2}\left(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}\right)$ $\star$ Energia potenziale del mezzo nella configurazione $\mathbf{x}$ dovuta ai carichi conservativi $: \mathcal{P}_{\text {ext }}(\mathbf{x})$ $S \mapsto \mathbf{x}(S)=$ configurazione del mezzo, $S=$ ascissa curvilinea della configurazione di riferimento $S \mapsto \varrho_{R}(S)$ e $\ell_{R}=$ massa lineica e lunghezza di riferimento del mezzo contributo delle forze massiche conservative $\quad: \int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \varrho_{\mathrm{R}}(S) \Phi(\mathbf{x}(S)) d S \longrightarrow \mathcal{P}_{\text {ext }}(\mathbf{x})$ contributo di una forza morta $\mathcal{F}$ applicata in $S_{i} \quad:-\mathcal{F} \cdot \mathbf{x}\left(S_{i}\right) \longrightarrow \mathcal{P}_{\text {ext }}(\mathbf{x})$ contributo di un momento morto $\mathcal{M}$ applicato in $S_{i} \quad:-\mathcal{M} \alpha\left(S_{i}\right) \longrightarrow \mathcal{P}_{\text {ext }}(\mathbf{x})$ energia potenziale dei carichi esterni conservativi $\mathcal{P}_{\text {ext }}(\mathbf{x})=$ somma di tutti i contributi $\star$ Energia di deformazione di un mezzo nella configurazione $\mathbf{x}: \mathcal{P}_{\text {ela }}(\mathbf{x})$ $S \mapsto \varepsilon(S)=$ deformazione estensionale, $S \mapsto \kappa(S)=$ deformazione flessionale energia elastica di un’asta elasticamente flessibile ed estensibile $\quad: \quad \mathcal{P}_{\mathrm{ela}}(\mathbf{x})=\int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \mathrm{W}_{\mathrm{e}}(\varepsilon(S), \kappa(S)) d S$ energia elastica (di flessione) di un’asta inestensibile $\quad: \quad \mathcal{P}_{\text {ela }}(\mathbf{x})=\int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \mathrm{W}_{\mathrm{fl}}(\kappa(S)) d S$ $\begin{aligned} & \text{energia elastica (di estensione) di una barra rigida} \\ & \text{o di un filo elastico} \end{aligned}: \mathcal{P}_{\text {ela }}(\mathbf{x})=\int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \mathrm{W}_{\mathrm{ex}}(\varepsilon(S)) d S$ energia di deformazione di un filo inestensibile $\quad: \mathcal{P}_{\text {ela }}(\mathbf{x})=0$ energia di deformazione di un mezzo rigido $\quad: \mathcal{P}_{\text {ela }}(\mathbf{x})=0$ $\star$ Energia potenziale totale del mezzo nella configurazione $\mathbf{x}: \mathcal{P}_{\text {tot }}(\mathbf{x})$

\[\mathcal{P}_{\text {tot }}(\mathbf{x})=\mathcal{P}_{\text {ela }}(\mathbf{x})+\mathcal{P}_{\text {ext }}(\mathbf{x})\]

Variazionale III

Proprietà energetiche dei sistemi conservativi

Configurazioni e velocità virtuali cinematicamente ammissibili: condizioni che verifica una configurazione $S \mapsto \mathbf{x}(S)$ cinematicamente ammissibile

\[\left\{\begin{array}{l} \mathbf{x} \text{ ha energia potenziale finita}: \mathcal{P}_{\text {tot }}(\mathbf{x})<\infty \\ \mathbf{x} \text{ verifica le condizioni al contorno cinematiche} \\ \mathbf{x} \text{ verifica eventuali vincoli cinematici di inestensibilità o di inflettibilità} \end{array}\right.\]

$\mathcal{C}_{\text {ad }}$: insieme delle configurazioni cinematicamente ammissibili. Se $\mathcal{C}_{\text {ad }}$ è uno spazio affine, allora l’insieme delle velocità virtuali cinematicamente ammissibili $\boldsymbol{\mathcal{V}}_{\mathrm{ad}}$ è lo spazio vettoriale associato a $\boldsymbol{\mathcal{C}}_{\mathrm{ad}}$.

Variazione delle energie in un movimento virtuale ammissibile: caso in cui $\mathcal{C}_{\text {ad }}$ è uno spazio affine

$S \in\left(0, \ell_{R}\right)$: ascissa curvilinea di riferimento, $s \in(0, \ell)$: ascissa curvilinea deformata, $s=\mathrm{s}(S)$ $S \mapsto \mathbf{x}(S)$: configurazione cinematicamente ammissibile, $\mathbf{x} \in \mathcal{C}_{\text {ad }}$ $S\mapsto \stackrel{*}{\boldsymbol{\xi}} \circ \mathrm{s}(S)$: velocità virtuale cinematicamente ammissibile (parametrizzata da $S$), $\stackrel{*}{\boldsymbol{\xi}} \circ \mathrm{s} \in \mathcal{V}_{\text {ad }}$ $\mathcal{P}: \mathcal{C}_{\mathrm{ad}} \rightarrow \mathbb{R}, \mathbf{x} \mapsto \mathcal{P}(\mathbf{x})$: funzionale energia elastica o potenziale di una configurazione derivata direzionale di $\mathcal{P}$ in $\mathbf{x} \quad: \quad \mathcal{P}^{\prime}(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\boldsymbol{\xi}} \circ \mathrm{s}):=\left.\frac{d}{d h}(\mathcal{P}(\mathbf{x}+\stackrel{*}{\boldsymbol{\xi}} \circ \mathrm{s}))\right|_{h=0}$ variazione dell’energia potenziale delle forze di massa conservative $: \quad \mathcal{P}_{\text {ext }}^{\prime}(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\boldsymbol{\xi}} \circ \mathrm{s})=-\int_{0}^{\ell} \mathbf{f}(s) \cdot \stackrel{*}{\boldsymbol{\xi}}(s) d s$,

\[\mathbf{f}(s)=-\varrho(s) \nabla \Phi(\mathbf{x}(S)), \quad s=\mathrm{s}(S)\]

variazione dell’energia potenziale di una forza morta $\mathcal{F}$ e di un momento morto $\mathcal{M}$ applicati in $S_{i}$:

\[\mathcal{P}_{\text{ext}}^{\prime}(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\boldsymbol{\xi}} \circ \mathrm{s}) = -\mathcal{F} \cdot \stackrel{*}{\boldsymbol{\xi}}(s_i) - \mathcal{M} \cdot \stackrel{*}{\omega}(s_i), \quad s_i = \mathrm{s}(S_{i})\]

variazione dell’energia elastica di un’asta elasticamente flessibile ed estensibile

\[: \quad \mathcal{P}_{\mathrm{ela}}^{\prime}(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\boldsymbol{\xi}} \circ \mathrm{s}) = \int_{0}^{\ell}(N(s) \stackrel{*}{\varepsilon}(s) + M(s) \stackrel{*}{\omega}(s)) d s\]

variazione dell’energia di flessione di un’asta inestensibile ($s=S$)

\[: \quad \mathcal{P}_{\text{ela}}^{\prime}(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\boldsymbol{\xi}}) = \int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} M(S) \stackrel{*}{\omega}(S) d S\]

variazione dell’energia estensionale di una barra rigida o di un filo elastico: $\mathcal{P}_{\text{ela}}^{\prime}(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\boldsymbol{\xi}} \circ \mathrm{s})=\int_{0}^{\ell} N(s) \stackrel{*}{\varepsilon}(s) d s$ $\star$ Teorema dell’energia potenziale: (caso in cui $\mathcal{C}_{\text {ad }}$ è uno spazio affine)

\[\mathbf{x} \text{ configurazione di equilibrio } \Longleftrightarrow\left\{\begin{array}{l} \mathbf{x} \in \mathcal{C}_{\mathrm{ad}} \\ \mathcal{P}_{\mathrm{tot}}^{\prime}(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\boldsymbol{\xi}} \circ \mathrm{s})=0, \quad \forall \stackrel{*}{\boldsymbol{\xi}} \circ \mathrm{s} \in \mathcal{V}_{\mathrm{ad}} \end{array}\right.\]

Dinamica

Equazioni del moto di un mezzo curvilineo

Cinematica del mezzo continuo: (in rappresentazione lagrangiana) $S \in \mathbb{C}_{R}$: ascissa curvilinea della configurazione di riferimento $S \mapsto \mathbf{x}_{R}(S) t \geq 0$: il tempo

\[\begin{array}{ll} \text{ rappresentazione lagrangiana di } \mathrm{G} &: (S, t) \mapsto \mathrm{G}(S, t), \quad \mathrm{G}^{\prime}=\frac{\partial \mathrm{G}}{\partial S}, \quad \dot{\mathrm{G}}=\frac{\partial \mathrm{G}}{\partial t} \\ \text{ posizione dei punti materiali } &: \mathbf{x}(S, t) \\ \text{ velocità dei punti materiali } &: \mathbf{v}(S, t)=\dot{\mathbf{x}}(S, t)=\dot{\boldsymbol{\xi}}(S, t) \\ \text{ accelerazione dei punti materiali } &: \gamma(S, t)=\dot{\mathbf{v}}(S, t)=\ddot{\mathbf{x}}(S, t)=\ddot{\boldsymbol{\xi}}(S, t) \end{array}\]

Cinematica delle onde di discontinuità: (in rappresentazione lagrangiana)

$S_{o}(t)$: punto materiale attraversato dall’onda all’istante $t$, $\dot{x}_{3,o}(t)$: velocità dell’onda all’istante $t$, salto di G su un’onda di discontinuità:

\[\left[\!\left[ \mathrm{G} \right]\!\right](t):= \mathrm{G}^{+}\left(S_{o}(t), t\right) - \mathrm{G}^{-}\left(S_{o}(t), t\right)\]

condizione di compatibilità cinematica:

\[\frac{d}{d t} \left[\!\left[ \mathrm{G} \right]\!\right](t) = \dot{x}_{3,o}(t) \left[\!\left[ \mathrm{G}^{\prime} \right]\!\right](t) + \left[\!\left[ \dot{\mathrm{G}} \right]\!\right](t)\]

Figura

$\star$ Equazioni locali del moto: (trascurando l’inerzia di rotazione) $\mathbb{P}_{\mathrm{R}}=\left\{S_{1}, \cdots, S_{n}\right\}$: punti materiali in cui sono applicati sforzi puntuali $\mathbb{S}_{\mathrm{R}}(t)=\left\{\mathbb{S}_{o}^{1}(t), \cdots, \mathbb{S}_{o}^{n}(t)\right\}$: punti materiali attraversati da un’onda d’urto all’istante $t$, $\dot{x}_{3,o}(t)$: velocità di un’onda d’urto all’istante $t$

\[\begin{array}{ll} \text{ equilibrio delle forze in } \mathbb{C}_{R} \setminus \left(\mathbb{P}_{R} \cup \mathbb{S}_{R}(t)\right) &: \mathbf{R}^{\prime}+\mathbf{f}_{R}-\varrho_{R} \ddot{\mathbf{x}}=\mathbf{0} \\ \text{ equilibrio dei momenti in } \mathbb{C}_{R} \setminus \left(\mathbb{P}_{R} \cup \mathbb{S}_{R}(t)\right) &: M^{\prime}+\left\|\mathbf{x}^{\prime}\right\| T+m_{R}=0 \\ \text{ equilibrio delle forze su } \mathbb{P}_{R} \cup \mathbb{S}_{R}(t) &: \left[\!\left[ \mathbf{R} \right]\!\right] + \mathcal{F} + \dot{x}_{3,o} \left[\!\left[ \varrho_{R} \dot{\mathbf{x}} \right]\!\right] = \mathbf{0} \\ \text{ equilibrio dei momenti su } \mathbb{P}_{R} \cup \mathbb{S}_{R}(t) &: \left[\!\left[ M \right]\!\right] + \mathcal{M} = 0 \end{array}\]

queste condizioni sono da scrivere in ogni istante.

Problema di dinamica:

si aggiungono condizioni iniziali $\quad: \quad \mathbf{x}(S, 0)=\mathbf{x}^{0}(S), \quad \dot{\mathbf{x}}(S, 0)=\mathbf{v}^{0}(S) \quad \forall S \in \mathbb{C}_{\mathrm{R}}$

Notazioni

$A \quad$ quantità in corsivo $=$ scalare….. 9 A quantità in grassetto $=$ vettore $\left(A_{i}\right)$ o matrice $\left(A_{i}\right)$….. 9 $\mathbf{A}^{T}, \mathbf{A}^{-1}$ trasposta della matrice $\mathbf{A}$, inversa della matrice $\mathbf{A}$….. 18 $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \quad$ prodotto scalare dei vettori $\mathbf{u}$ e $\mathbf{v} = \sum_{i=1}^{n} u_{i} v_{i}$….. 22 $\|\mathbf{u}\| \quad$ norma euclidea del vettore $\mathbf{u} = \sqrt{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}}$….. 11 $\mathbf{u} \wedge \mathbf{v} \quad$ prodotto vettoriale dei vettori $\mathbf{u}$ e $\mathbf{v}$….. 11 $\mathbf{u} \mathbin{\wedge_2} \mathbf{v} \quad$ prodotto misto $= (\mathbf{u} \wedge \mathbf{v}) \cdot \mathbf{e}_{3}$….. 31 $\mathrm{G}^{+}, \mathrm{G}^{-} \quad$ limiti destro e sinistro di G….. 50\

$0pt] [G] salto di G in un punto di discontinuità$= \mathrm{G}^{+} - \mathrm{G}^{-}$..... 50\\$\langle\mathrm{G}\rangle \quad$valore medio di G in un punto di discontinuità$= \frac{1}{2}(\mathrm{G}^{+}+\mathrm{G}^{-})$..... 201\\$\overline{\mathrm{G}} \quad$media di G sul suo insieme di definizione..... 208\\$\dot{\mathrm{G}}$derivata rispetto al tempo di G..... 27\\$\stackrel{}{\mathrm{G}} \quad$velocità virtuale di G..... 196\\ G̈ seconda derivata rispetto al tempo di G..... 28\\ A area della sezione*..... 67\\$\alpha \quad$angolo tangente della configurazione deformata..... 11\\$\alpha_{\mathrm{R}} \quad$angolo tangente della configurazione di riferimento..... 16\\$\mathbb{C} \quad$intervallo di definizione dell’ascissa curvilinea deformata..... 10\\$\mathcal{C}_{\text {ad }}, \mathcal{C}_{\text {ad }} \quad$insieme delle configurazioni cinematicamente ammissibili..... 219\\$\mathcal{C} \quad$curva caratteristica..... 264\\$\mathbb{C}_{R} \quad$intervallo di definizione dell’ascissa curvilinea di riferimento..... 107\\ C curvatura della configurazione deformata..... 12\\$\mathrm{C}_{\mathrm{R}} \quad$curvatura della configurazione di riferimento..... 16\\$\mathrm{c}_{0} \quad$velocità delle onde in un mezzo linearmente elastico..... 264\\ E modulo di Young..... 68\\$\dot{\varepsilon} \quad$velocità di deformazione estensionale..... 28\\$\mathbf{e}_{i} \quad$i-esimo vettore base..... 9\\$\varepsilon$deformazione estensionale..... 19\\$\mathcal{E} \quad$energia elastica..... 266 | | | | | --- | --- | --- | |$\mathcal{F}, \mathcal{F}$| forza puntuale | 31 | |$\mathbf{f}, f_{t}, f_{n}, f_{1}, f_{2}$| densità lineica di forze esterne per unità di lunghezza della configurazione deformata (vettore o componente) | 32 | |$\mathbf{f}_{\mathrm{R}}, f_{\mathrm{R}}$| densità lineica di forze esterne per unità di lunghezza della configurazione di riferimento | 101 | |$\gamma$| vettore accelerazione | 28 | | g,$g$| vettore gravità, intensità della gravità | 32 | | I | momento d’inerzia geometrico della sezione* | 90 | |$\mathcal{K}$| energia cinetica | 269 | |$\kappa$| deformazione di flessione | 19 | |$\mathrm{L}_{\mathbf{x}_{0}}\left(\mathbb{I}_{\mathrm{R}}, \mathbf{t}\right)$| momento angolare nel punto$\mathbf{x}_{0}$della parte$\mathbb{I}_{\mathrm{R}}$del mezzo all’istante$t$| 255 | |$\ell$| lunghezza della configurazione deformata | 12 | |$\ell_{R}$| lunghezza della configurazione di riferimento | 66 | |$M, M^{r}$| momento flettente, momento flettente reciproco | 37 | |$\mathcal{M}$| momento esterno puntuale | 35 | |$\mathrm{M}_{\mathrm{e}}$| funzione di elasticità per il momento flettente | 77 | |$m$| densità lineica di momento esterno per unità di lunghezza della configurazione deformata | 33 | |$N$| sforzo normale | 37 | |$\mathrm{N}_{\mathrm{e}}$| funzione di elasticità per lo sforzo normale | 77 | | n | vettore normale alla configurazione deformata | 11 | |$\mathbf{n}_{\mathbf{R}}$| vettore normale alla configurazione di riferimento | 16 | |$\omega$| angolo di rotazione | 17 | |$\mathcal{P}$| peso del mezzo curvilineo | 124 | |$\mathrm{P}_{\text {def }}[\mathbf{R}, M]\left({ }_{\boldsymbol{\xi}}^{}\right)$| potenza virtuale di deformazione degli sforzi interni | 201 | |$\mathcal{P}{\text {ela }}$| energia potenziale elastica | 218 | |$\mathrm{P}{\text {ext }}\binom{}{\boldsymbol{\xi}}$| potenza virtuale degli sforzi esterni | 202 | |$\Phi$| potenziale di un campo di forze di massa conservativo | 308 | |$\mathbb{P}$| insieme dei punti di$\mathbb{C}$soggetti a forze puntuali | 41 | |$\mathbb{P}_{\mathrm{R}}$| insieme dei punti di$\mathbb{C}_{R}$soggetti a forze puntuali | 107 | |$\mathcal{P}_{\text {tot }}$| energia potenziale totale | 218 | | P | potenza delle forze esterne | 269 | |$\mathcal{P}_{\text {ext }}$| energia potenziale delle forze conservative | 218 | |$\mathbf{P}\left(\mathbb{I}_{\mathrm{R}}, t\right)$| quantità di moto della parte$\mathbb{I}_{\mathrm{R}}$del mezzo all’istante$t$| 255 | | | | | | --- | --- | --- | | Q | matrice ortogonale | 18 | |$\mathbb{R}$| insieme dei numeri reali | 18 | |$\mathcal{R}$| invariante di Riemann | 267 | |$\mathbf{R}, \mathbf{R}^{r}$| forza interna (diretta), forza interna reciproca | 37 | | e | massa lineica della configurazione deformata | 106 | |$\varrho_{\mathrm{R}}$| massa lineica della configurazione di riferimento | 106 | |$\rho_{\mathrm{m}}$| densità del materiale costitutivo | 127 | |$\dot{x}_{3,o}$| velocità lagrangiana di un’onda di discontinuità | 254 | |$\dot{\mathrm{s}}_{o}$| velocità euleriana di un’onda di discontinuità | 253 | |$s$| ascissa curvilinea della configurazione deformata | 12 | |$\mathrm{s}(S)$| ascissa curvilinea deformata in funzione di quella di riferimento | 12 | |$\sigma$| tensione uniaxiale, tensione normale | 67 | |$S$| ascissa curvilinea della configurazione di riferimento | 16 | | T | sforzo tagliante | 37 | | t | vettore tangente alla configurazione deformata | 11 | |$\mathbf{t}_{\mathrm{R}}$| vettore tangente alla configurazione di riferimento | 16 | |$a$| vettore spostamento | 17 | | u | spostamento estensionale | 18 | |$\mathcal{V}_{\text {ad }}, \mathcal{V}_{\text {ad }}(\mathbf{x})$| insieme dei campi di velocità virtuale cinematicamente ammissibili (a partire dalla configurazione$\mathbf{x}$) | 220 | |$v$| velocità di estensione | 29 | | v | vettore velocità di spostamento | 27 | |$\mathrm{W}_{\text {def }}$| lavoro di deformazione | 81 | | W | lavoro delle forze esterne | 78 | |$\mathrm{W}_{\text {ex }}$| densità volumica di energia estensionale | 84 | | w | deflessione | 18 | |$\mathrm{W}_{\mathrm{e}}$| potenziale elastico o densità lineica di energia elastica | 82 | |$\mathrm{W}_{\text {ex }}$| densità lineica di energia estensionale | 215 | |$\mathrm{W}_{\mathrm{e}}^{}$| potenziale elastico duale | 92 | |$\mathbf{x}, x_{1}, x_{2}$| vettore posizione e sue componenti cartesiane della configurazione deformata | 15 | |$\mathbf{x}{h}, \mathbf{x}{h}\mathrm{o}\mathrm{s}$| moto virtuale attorno a$\mathbf{x}$| 196 | |$\mathbf{x}_{\mathrm{R}}$$ | vettore posizione della configurazione di riferimento | 16 |

Bibliografia

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$$

0pt] [2] S. S. Antman. Problemi non lineari di elasticità. Applied Mathematical Sciences vol. 107. Springer-Verlag, New York, 1995.\

\[0pt] [3] B. Audoly e Y. Pomeau. Elasticità e geometria. Oxford University Press, 2010.\\]

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\[0pt] [13] P. Le Tallec. Modellazione e calcolo dei mezzi continui. Les Editions de l'Ecole Polytechnique, 2009.\\]

0pt] [14] J. Salençon. Meccanica dei mezzi continui - Vol. I: Concetti generali. Coll. Ellipses, 2005.\

\[0pt] [15] J. Salençon. Meccanica dei mezzi continui - Vol. II: Termoelasticità. Coll. Ellipses, 2007.\\]

0pt] [16] S. P. Timoshenko. Storia della resistenza dei materiali. Dover Publications, New York, 1983.

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posizione \(\mathbf{x}_{\mathbf{R}}(S)\)	\(: \quad \mathbf{x}_{\mathrm{R}}(S)\)
vettore unitario tangente \(\mathbf{t}_{\mathrm{R}}(S)\)	\(: \quad \mathbf{t}_{\mathrm{R}}(S)=\mathbf{x}_{\mathrm{R}}^{\prime}(S)\)
vettore unitario normale \(\mathbf{n}_{\mathrm{R}}(S)\)	\(: \mathbf{n}_{\mathrm{R}}(S)=\mathbf{e}_{3} \wedge \mathbf{t}_{\mathrm{R}}(S)\)
angolo tangente \(\alpha_{\mathrm{R}}(S)\)	\(:\left\{\begin{array}{l}\mathbf{t}_{\mathrm{R}}(S)=\cos \alpha_{\mathrm{R}}(S) \mathbf{e}_{1}+\sin \alpha_{\mathrm{R}}(S) \mathbf{e}_{2} \\ \mathbf{n}_{\mathrm{R}}(S)=-\sin \alpha_{\mathrm{R}}(S) \mathbf{e}_{1}+\cos \alpha_{\mathrm{R}}(S) \mathbf{e}_{2}\end{array}\right.\)
curvatura \(\mathrm{C}_{\mathrm{R}}(S)\)	\(: \quad \mathrm{C}_{\mathrm{R}}(S)=\alpha_{\mathrm{R}}^{\prime}(S)\)


vettore spostamento \(\boldsymbol{\xi}(S)\)	\(: \boldsymbol{\xi}(S)=\mathbf{x}(S)-\mathbf{x}_{\mathrm{R}}(S)\)
spostamento d’estensione \(u(S)\)	\(: u(S)=\boldsymbol{\xi}(S) \cdot \mathbf{t}_{\mathrm{R}}(S)\)
deflessione \(w(S)\)	\(: w(S)=\boldsymbol{\xi}(S) \cdot \mathbf{n}_{\mathrm{R}}(S)\)
rotazione \(\omega(S)\)	\(: \omega(S)=\alpha(S)-\alpha_{\mathrm{R}}(S)\)


densità lineica di forze	\(: \mathbf{f}(s)=f_{1}(s) \mathbf{e}_{1}+f_{2}(s) \mathbf{e}_{2}=f_{t}(s) \mathbf{t}(s)+f_{n}(s) \mathbf{n}(s)\)
densità lineica di coppie	\(: m(s)\)
forza e momento puntuali in \(s_{i}\)	\(: \mathcal{F}_{s_{i}}, \mathcal{M}_{s_{i}}\)
forza e momento alle estremità	\(: \mathcal{F}_{0}, \mathcal{M}_{0}, \mathcal{F}_{\ell}, \mathcal{M}_{\ell}\)


deformabilità	inestensibile \(\varepsilon=0\)	elasticamente estensibile
inflessibile \(\kappa=0\)	mezzo rigido \(\left\{\begin{array}{l} \varepsilon=0 \\ \kappa=0 \end{array}\right.\) ( \(N\) e \(M\) arbitrari)	barra elastica \(\left\{\begin{array}{l} N=\mathrm{N}_{\mathrm{ex}}(\varepsilon) \\ \kappa=0 \end{array}\right.\) ( \(M\) arbitrario)
elasticamente flessibile	asta inestensibile \(\left\{\begin{array}{l} \varepsilon=0 \\ M=\mathrm{M}_{\mathrm{fl}}(\kappa) \end{array}\right.\) ( \(N\) arbitrario)	asta elastica \(\left\{\begin{array}{l} N=\mathrm{N}_{\mathrm{e}}(\varepsilon, \kappa) \\ M=\mathrm{M}_{\mathrm{e}}(\varepsilon, \kappa) \end{array}\right.\)
perfettamente flessibile \(M=0\)	filo inestensibile \(\left\{\begin{array}{l} \varepsilon=0 \\ M=0 \end{array}\right.\) ( \(N\) arbitrario)	filo elastico \(\left\{\begin{array}{l} N=\mathrm{N}_{\mathrm{ex}}(\varepsilon) \\ M=0 \end{array}\right.\)