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6.5 Vibrazioni delle aste elastiche

Convenzioni di notazione

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Orientamento

La sezione studia le vibrazioni libere di un’asta rettilinea e introduce la decomposizione modale e la risonanza forzata.

Contenuti

  • 6.5.1 Vibrazioni libere intorno a una configurazione naturale rettilinea
    • Ipotesi e definizioni
    • Equazioni
    • Soluzione
    • Dipendenza dalle condizioni agli estremi
  • 6.5.2 Vibrazioni forzate e risonanza
    • Problema
    • Equazioni
    • Decomposizione modale
    • Soluzione
    • Conclusioni

      Nota editoriale sulle formule. Alcune formule della fonte digitale presentano simboli o etichette sospetti. Sono conservate senza ricostruzioni congetturali.

La dinamica di aste e archi dotati di rigidezza flessionale è più complessa di quella dei fili o delle barre in trazione–compressione.

6.5.1 Vibrazioni libere intorno a una configurazione naturale rettilinea

Assunzioni e definizioni

Consideriamo un’asta elastica omogenea di lunghezza naturale $\ell_{\mathrm{R}}$ e densità lineare $\varrho_{\mathrm{R}}$. Scegliamo gli assi in modo che la configurazione naturale di riferimento sia \(\mathbf{x}_{\mathrm{R}}(S)=S \mathbf{e}_{1}, \quad S \in\left(0, \ell_{\mathrm{R}}\right).\) Studiamo piccoli moti attorno alla configurazione naturale, in assenza di forze distribuite e concentrate, con condizioni omogenee agli estremi.

Definizione 6.5 (Moto libero). Un piccolo moto di un’asta elastica attorno alla configurazione naturale rettilinea è libero se soddisfa le proprietà seguenti.

  1. Tutti i punti si muovono in fase: \(\mathbf{x}(S, t)=S \mathbf{e}_{1}+\mathbf{a}(S, t) \quad \text {- Sì.} \quad \mathbf{a}(S, t)=\varphi(t) \overline{\mathbf{a}}(S),\) dove $\varphi$ è la funzione di fase, non identicamente nulla, e $\bar{\mathbf{a}}$ è la forma modale, anch’essa non identicamente nulla.
  2. Il moto soddisfa le equazioni linearizzate in assenza di azioni esterne.
  3. Il moto soddisfa condizioni omogenee agli estremi, cioè condizioni cinematiche o statiche già soddisfatte dalla configurazione naturale. Le tre richieste hanno ruoli distinti.
  4. Il moto in fase conduce a oscillazioni armoniche e alle nozioni di pulsazione propria e modo proprio.
  5. La teoria modale qui sviluppata dipende dalla linearizzazione. I moti liberi si mantengono senza apporto di energia esterna.
  6. Pulsazioni e modi propri dipendono dalle condizioni agli estremi.

    Equazioni

    Scomponiamo la forma modale nelle componenti assiale e trasversale: \(\overline{\mathbf{a}}(S)=\overline{\mathrm{u}}(S) \mathbf{e}_{1}+\overline{\mathrm{w}}(S) \mathbf{e}_{2}.\) Nell’ipotesi di piccoli spostamenti usiamo le espressioni linearizzate di deformazione e rotazione: \(\varepsilon(S, t)=\varphi(t) \overline{\mathrm{u}}^{\prime}(S), \quad \alpha_2(S, t)=\varphi(t) \overline{\mathrm{w}}^{\prime}(S), \quad \kappa(S, t)=\varphi(t) \overline{\mathrm{w}}^{\prime \prime}(S)\) Assumiamo inoltre comportamento linearmente elastico e omogeneo: \(N(S, t)=\mathrm{EA} \varepsilon(S, t), \quad M(S, t)=\mathrm{El} \kappa(S, t)\) In assenza di azioni distribuite, le equazioni del moto sono \(\left\{\begin{array}{l} \mathbf{R}^{\prime}(S, t)-\varrho_{\mathrm{R}} \ddot{\mathbf{x}}(S, t)=\mathbf{0}, \\ M^{\prime}(S, t)+\left\|\mathbf{x}^{\prime}(S, t)\right\| T(S, t)=0, \end{array}\right.\) Esse valgono per ogni $S\in(0,\ell_{\mathrm{R}})$ e $t$. Linearizzando l’equilibrio dei momenti con $|\mathbf{x}^{\prime}|\simeq1$ otteniamo \(T(S, t)=-M^{\prime}(S, t)=-\mathrm{El} \varphi(t) \overline{\mathrm{w}}^{\prime \prime \prime}(S).\) Sostituendo nelle equazioni delle forze, usando le leggi costitutive e proiettando sugli assi, ricaviamo \(\left\{\begin{array}{l} \operatorname{EA} \varphi(t) \overline{\mathrm{u}}^{\prime \prime}(S)-\varrho_{\mathrm{R}} \ddot{\varphi}(t) \overline{\mathrm{u}}(S)=0, \tag{6.13}\\ \operatorname{El} \varphi(t) \overline{\mathrm{w}}^{\prime \prime \prime \prime}(S)+\varrho_{\mathrm{R}} \ddot{\varphi}(t) \overline{\mathrm{w}}(S)=0. \end{array}\right.\) Per fissare le idee assumiamo una cerniera in $S=0$ e un appoggio semplice in $S=\ell_{\mathrm{R}}$. Altri vincoli saranno considerati negli esercizi. Figura Figura 6.8 — Asta incernierata in $S=0$ e semplicemente appoggiata in $S=\ell_{\mathrm{R}}$.

Le condizioni agli estremi, nella teoria linearizzata, sono \(\left\{\begin{aligned} \text {fissaggio con rotazione libera in} 0: & \varphi(t) \overline{\mathrm{u}}(0)=0, \quad \varphi(t) \overline{\mathrm{w}}(0)=0, \quad \varphi(t) \overline{\mathrm{w}}^{\prime \prime}(0)=0; \\ \text {semplice supporto in} \ell: & \varphi(t) \overline{\mathrm{u}}^{\prime}\left(\ell_{\mathrm{R}}\right)=0, \quad \varphi(t) \overline{\mathrm{w}}\left(\ell_{\mathrm{R}}\right)=0, \quad \varphi(t) \overline{\mathrm{w}}^{\prime \prime}\left(\ell_{\mathrm{R}}\right)=0. \end{aligned}\right.\tag{6.14}\) Le (6.13) e (6.14) governano i piccoli moti liberi per questi vincoli.

Soluzione

Procediamo per passi.

  1. Equazione della fase. Mostriamo che $\varphi$ soddisfa un’equazione armonica. a) Non può essere $\ddot\varphi\equiv0$. In tal caso la (6.13) imporrebbe $\bar{\mathrm{u}}^{\prime\prime}=0$ e $\bar{\mathrm{w}}^{\prime\prime\prime\prime}=0$; le condizioni agli estremi darebbero $\bar{\mathrm{u}}=\bar{\mathrm{w}}=0$, contro la definizione di modo proprio. b) Esiste $k\neq0$ tale che \(\ddot{\varphi}(t)+\mathrm{k} \varphi(t)=0, \quad \forall t \tag{6.15}\) Poiché $\bar{\mathbf{a}}\not\equiv\mathbf{0}$, almeno una fra $\bar{\mathrm{u}}$ e $\bar{\mathrm{w}}$ non è identicamente nulla. Se $\bar{\mathrm{u}}\not\equiv0$, scegliamo $S_{0}$ con $\bar{\mathrm{u}}(S_{0})\neq0$ e poniamo \(\mathrm{k}:=-\frac{\mathrm{EA} \overline{\mathrm{u}}^{\prime \prime}\left(S_{0}\right)}{\varrho_{\mathrm{R}} \overline{\mathrm{u}}\left(S_{0}\right)},\) La prima equazione di (6.13) dà allora $\ddot\varphi+k\varphi=0$. Inoltre $k\neq0$, perché $\ddot\varphi\not\equiv0$. Se invece $\bar{\mathrm{u}}\equiv0$, allora $\bar{\mathrm{w}}\not\equiv0$; scegliendo $S_{0}$ con $\bar{\mathrm{w}}(S_{0})\neq0$ e ponendo \(\mathrm{k}:=\frac{\mathrm{E} \mid \overline{\mathrm{w}}^{\prime \prime \prime \prime}\left(S_{0}\right)}{\varrho_{\mathrm{R}} \overline{\mathrm{w}}\left(S_{0}\right)},\) la seconda equazione di (6.13) fornisce la stessa equazione per $\varphi$, ancora con $k\neq0$. c) Usando $\ddot\varphi=-k\varphi$, le equazioni del moto diventano \(0=\varphi(t)\left(\mathrm{EA}^{\prime \prime}(S)+\varrho_{\mathrm{R}} \mathrm{k} \overline{\mathrm{u}}(S)\right), \quad 0=\varphi(t)\left(\mathrm{EI}^{\prime \overline{\mathrm{w}}^{\prime \prime \prime \prime}}(S)-\varrho_{\mathrm{R}} \mathrm{k} \overline{\mathrm{w}}(S)\right)\) Poiché $\varphi\not\equiv0$, scegliamo $t_{0}$ con $\varphi(t_{0})\neq0$. Le equazioni e le condizioni agli estremi implicano i due problemi disaccoppiati \(\left\{\begin{array}{l} \mathrm{EA} \overline{\mathrm{u}}^{\prime \prime}(S)+\varrho_{\mathrm{R}} \mathrm{k} \overline{\mathrm{u}}(S)=0, \quad \forall S \in\left(0, \ell_{\mathrm{R}}\right), \tag{6.16}\\ \overline{\mathrm{u}}(0)=0, \quad \overline{\mathrm{u}}^{\prime}\left(\ell_{\mathrm{R}}\right)=0, \end{array}\right.\) e \(\left\{\begin{array}{l} \mathrm{EI} \overline{\mathrm{w}}^{\prime \prime \prime \prime}(S)-\varrho_{\mathrm{R}} \mathrm{k} \overline{\mathrm{w}}(S)=0, \quad \forall S \in\left(0, \ell_{\mathrm{R}}\right), \tag{6.17}\\ \overline{\mathrm{w}}(0)=0, \quad \overline{\mathrm{w}}^{\prime \prime}(0)=0, \quad \overline{\mathrm{w}}\left(\ell_{\mathrm{R}}\right)=0, \quad \overline{\mathrm{w}}^{\prime \prime}\left(\ell_{\mathrm{R}}\right)=0. \end{array}\right.\) Il problema (6.16) governa i modi assiali; il problema (6.17) governa i modi flessionali. d) Mostriamo che $k>0$. Moltiplichiamo la (6.16) per $\bar{\mathrm{u}}$, la (6.17) per $\bar{\mathrm{w}}$, sommiamo e integriamo: \(0=\int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}}\left(-\mathrm{EA}^{\prime \prime}(S) \overline{\mathrm{u}}(S)+\mathrm{EI}^{\prime \prime \prime \prime}(S) \overline{\mathrm{w}}(S)\right) d S-\mathrm{k} \int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \varrho_{\mathrm{R}}\left(\overline{\mathrm{u}}(S)^{2}+\overline{\mathrm{w}}(S)^{2}\right) d S \tag{6.18}\) Integrando per parti il termine assiale otteniamo \(-\int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \mathrm{EA}^{\prime \prime}(S) \overline{\mathrm{u}}(S) d S=+\int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \mathrm{EA}^{\prime}(S)^{2} d S-\left[\mathrm{EA}^{\prime}(S) \overline{\mathrm{u}}(S)\right]_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}}\) I termini al bordo si annullano per le condizioni agli estremi. Integrando due volte per parti il termine flessionale otteniamo \(\begin{aligned} \int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \mathrm{El} \overline{\mathrm{w}}^{\prime \prime \prime \prime}(S) \overline{\mathrm{w}}(S) d S & =-\int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \mathrm{E} \mid \overline{\mathrm{w}}^{\prime \prime \prime}(S) \overline{\mathrm{w}}^{\prime}(S) d S+\left[\mathrm{EI} \overline{\mathrm{w}}^{\prime \prime \prime}(S) \overline{\mathrm{w}}(S)\right]_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \\ & =+\int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \mathrm{EI} \overline{\mathrm{w}}^{\prime \prime}(S)^{2} d S+\left[\mathrm{EI} \overline{\mathrm{w}}^{\prime \prime \prime}(S) \overline{\mathrm{w}}(S)\right]_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}}-\left[\mathrm{EI} \overline{\mathrm{w}}^{\prime \prime}(S) \overline{\mathrm{w}}^{\prime}(S)\right]_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \end{aligned}\) Anche qui i termini al bordo si annullano. Sostituendo nella (6.18) segue \(0=\int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}}\left(\mathrm{EA}^{\prime}(S)^{2}+\mathrm{El}^{\prime} \overline{\mathrm{w}}^{\prime \prime}(S)^{2}\right) d S-\mathrm{k} \int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \varrho_{\mathrm{R}}\left(\overline{\mathrm{u}}(S)^{2}+\overline{\mathrm{w}}(S)^{2}\right) d S\) Se $k\leq0$, la relazione imporrebbe $\bar{\mathrm{u}}=\bar{\mathrm{w}}=0$, assurdo. Quindi $k>0$. e) Poniamo $k=\Omega^{2}$ con $\Omega>0$. Dalla (6.15) segue \(\varphi(t)=\mathrm{A} \sin \left(\Omega t+\varphi_{0}\right),\) dove $A\neq0$ e $\varphi_{0}$ sono costanti. Il moto è armonico e $\Omega$ è la pulsazione propria. Possiamo ora riformulare il problema dei moti liberi.

    Proposizione 6.10 (Problemi di vibrazione libera). La ricerca dei piccoli moti liberi di un’asta elastica rettilinea si riduce a due problemi agli autovalori disaccoppiati: uno per i modi assiali $\bar{\mathrm{u}}$ e le pulsazioni $\Omega_{\mathrm{ex}}$, l’altro per i modi flessionali $\bar{\mathrm{w}}$ e le pulsazioni $\Omega_{\mathrm{fl}}$. Per i vincoli cerniera–appoggio: a) i modi assiali risolvono \(\left\{\begin{array}{l} \overline{\mathrm{u}} \not \equiv 0, \quad \Omega_{\mathrm{ex}}>0 \\ \mathrm{EA}^{\prime \prime}(S)+\varrho_{R} \Omega_{\mathrm{ex}}^{2} \overline{\mathrm{u}}(S)=0, \quad \forall S \in\left(0, \ell_{R}\right) \\ \overline{\mathrm{u}}(0)=0, \quad \overline{\mathrm{u}}^{\prime}(\ell)=0 \end{array}\right.\) b) i modi flessionali risolvono \(\left\{\begin{array}{l} \overline{\mathrm{w}} \not \equiv 0, \quad \Omega_{\mathrm{fl}}>0, \\ \mathrm{El} \overline{\mathrm{w}}^{\prime \prime \prime \prime}(S)-\varrho_{R} \Omega_{\mathrm{fl}}^{2} \overline{\mathrm{w}}(S)=0, \quad \forall S \in\left(0, \ell_{R}\right), \\ \overline{\mathrm{w}}(0)=\overline{\mathrm{w}}^{\prime \prime}(0)=0, \quad \overline{\mathrm{w}}(\ell)=\overline{\mathrm{w}}^{\prime \prime}(\ell)=0 \end{array}\right.\)

Dimostrazione. Sostituiamo nelle equazioni linearizzate un moto armonico $\mathrm{u}(S,t)=\bar{\mathrm{u}}(S)\sin(\Omega t)$, $\mathrm{w}(S,t)=\bar{\mathrm{w}}(S)\sin(\Omega t)$. L’indipendenza delle componenti tangenziale e normale separa le equazioni differenziali assiale e flessionale. Le condizioni cerniera–appoggio si trasferiscono direttamente alle ampiezze spaziali, fornendo i due problemi agli autovalori esposti. $\square$

  1. Vibrazioni assiali. Dall’equazione differenziale ricaviamo \(\overline{\mathrm{u}}(S)=A \cos \left(\frac{\Omega_{\mathrm{ex}} S}{\mathrm{c}_{0}}\right)+B \sin \left(\frac{\Omega_{\mathrm{ex}} S}{\mathrm{c}_{0}}\right),\) dove $c_{0}=\sqrt{EA/\varrho_{\mathrm{R}}}$ è la velocità delle onde assiali. Il vincolo in $S=0$ dà $A=0$; la condizione $\bar{\mathrm{u}}^{\prime}(\ell_{\mathrm{R}})=0$ determina le pulsazioni. \(B \sin \left(\frac{\Omega_{\mathrm{ex}} \ell_{\mathrm{R}}}{\mathrm{c}_{0}}\right)=0.\) Poiché $\bar{\mathrm{u}}\not\equiv0$, il coefficiente residuo non può annullarsi. Otteniamo così una famiglia numerabile.

    Proposizione 6.11 (Vibrazioni assiali). Per i vincoli cerniera–appoggio esiste una successione di modi assiali $(\bar{\mathrm{u}}{n},\Omega{\mathrm{ex},n})$, $n\in\mathbb{N}^{*}$: \(\overline{\mathrm{u}}_{n}(S)=\mathrm{U}_{n} \sin \left(n \pi \frac{S}{\ell_{R}}\right), \quad \Omega_{\mathrm{ex},n}=n \pi \sqrt{\frac{\mathrm{EA}}{\varrho_{R} \ell_{R}^{2}}}\) L’ampiezza $U_n$ è arbitraria.

Dimostrazione. La soluzione generale dell’equazione assiale è la combinazione di seno e coseno scritta sopra. La condizione in $S=0$ annulla il coefficiente del coseno; la condizione all’altro estremo e la non banalità del modo impongono l’annullamento del fattore trigonometrico e quantizzano la pulsazione. Sostituendo i valori ammessi si ottengono i modi dell’enunciato, determinati a meno dell’ampiezza $U_n$. $\square$

  1. Vibrazioni flessionali. La soluzione generale del problema (6.17) è \(\overline{\mathrm{w}}(S)=A \cos (\mathrm{k} S)+B \sin (\mathrm{k} S)+C \operatorname{ch}(\mathrm{k} S)+D \operatorname{sh}(\mathrm{k} S) \quad \text {- Sì.} \quad \mathrm{k}=\left(\frac{\varrho_{\mathrm{R}} \Omega_{\mathrm{fl}}^{2}}{\mathrm{El}}\right)^{1 / 4}.\) Le condizioni in $S=0$ danno \(A+C=0 \quad \text {e} \quad-A+C=0.\) quindi $A=C=0$. Le condizioni in $S=\ell_{\mathrm{R}}$ diventano \(B \sin \left(\mathrm{k} \ell_{\mathrm{R}}\right)+D \operatorname{sh}\left(\mathrm{k} \ell_{\mathrm{R}}\right)=0 \quad \text {e} \quad-B \sin \left(\mathrm{k} \ell_{\mathrm{R}}\right)+D \operatorname{sh}\left(\mathrm{k} \ell_{\mathrm{R}}\right)=0.\) Poiché $k>0$, segue $D=0$. La non banalità impone $B\neq0$ e quindi $\sin(k\ell_{\mathrm{R}})=0$, ossia $k=n\pi/\ell_{\mathrm{R}}$.

    Proposizione 6.12 (Vibrazioni flessionali). Per i vincoli cerniera–appoggio esiste una successione di modi flessionali $(\bar{\mathrm{w}}{n},\Omega{\mathrm{fl},n})$, $n\in\mathbb{N}^{*}$: \(\overline{\mathrm{w}}_{n}(S)=\mathrm{W}_{n} \sin \left(n \pi \frac{S}{\ell_{R}}\right), \quad \Omega_{\mathrm{fl},n}=n^{2} \pi^{2} \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\varrho_{R} \ell_{R}^{4}}}\) L’ampiezza $W_n$ è arbitraria.

Dimostrazione. La soluzione generale dell’equazione flessionale è una combinazione di funzioni trigonometriche e iperboliche. Le due condizioni in $S=0$ annullano i coefficienti $A$ e $C$; quelle in $S=\ell_R$, insieme con $k>0$, annullano $D$ e impongono $\sin(k\ell_R)=0$. Pertanto $k=n\pi/\ell_R$; sostituendo questo valore nella definizione di $k$ si ottengono le pulsazioni e i modi dichiarati. $\square$

  1. Osservazioni.
  2. Come in ogni problema agli autovalori, gli autovettori, qui i modi propri, sono determinati a meno di una costante moltiplicativa. L’autospazio associato a una pulsazione è bidimensionale se la pulsazione è insieme assiale e flessionale, altrimenti è unidimensionale.
  3. Ogni modo proprio produce un moto periodico. Il periodo del primo modo assiale è \(T_{\mathrm{ex} 1}=\frac{2 \pi}{\Omega_{\mathrm{ex} 1}}=\frac{2 \ell_{\mathrm{R}}}{\mathrm{c}_{0}}\) In generale, i periodi assiali sono proporzionali a $\ell_{\mathrm{R}}$, mentre quelli flessionali sono proporzionali a $\ell_{\mathrm{R}}^{2}$. Confrontando le pulsazioni dello stesso indice otteniamo \(\frac{\Omega_{\mathrm{fl},n}}{\Omega_{\mathrm{ex},n}}=n \pi \sqrt{\frac{\mathrm{I}}{\mathrm{~A} \ell_{\mathrm{R}}^{2}}}\) Se $D$ è una dimensione caratteristica della sezione, $I\sim D^{4}$ e $A\sim D^{2}$; pertanto \(\frac{\Omega_{\mathrm{fl},n}}{\Omega_{\mathrm{ex},n}} \sim n \frac{D}{\ell_{\mathrm{R}}}\) Per un’asta snella $D/\ell_{\mathrm{R}}\ll1$: le prime pulsazioni flessionali sono molto minori di quelle assiali. Diventano confrontabili soltanto per indici dell’ordine di $\ell_{\mathrm{R}}/D$.
  4. Nel modo di indice $n$, i punti $S=i\ell_{\mathrm{R}}/n$, $0\leq i\leq n$, sono nodi; i punti $S=(2i+1)\ell_{\mathrm{R}}/(2n)$, $0\leq i\leq n-1$, sono ventri. Figura Figura 6.9 — Secondo modo flessionale ($n=2$): $S=0$, $\ell_{\mathrm{R}}/2$ e $\ell_{\mathrm{R}}$ sono nodi; $S=\ell_{\mathrm{R}}/4$ e $3\ell_{\mathrm{R}}/4$ sono ventri.

Dipendenza dalle condizioni al contorno

Lo stesso procedimento vale per condizioni diverse agli estremi; cambiano soltanto le condizioni soddisfatte da $\bar{\mathrm{u}}$ e $\bar{\mathrm{w}}$ in $S=0$ e $S=\ell_{\mathrm{R}}$. | | | | | | — | — | — | — | | Incastro | Cerniera | Appoggio semplice | Estremo libero | | $\overline{\mathrm{u}}=0$ | $\overline{\mathrm{u}}=0$ | $\overline{\mathrm{u}}^{\prime}=0$ | $\overline{\mathrm{u}}^{\prime}=0$ | | $\overline{\mathrm{w}}=0$ | $\overline{\mathrm{w}}=0$ | $\overline{\mathrm{w}}=0$ | $\overline{\mathrm{w}}^{\prime \prime \prime}=0$ | | $\overline{\mathrm{w}}^{\prime}=0$ | $\overline{\mathrm{w}}^{\prime \prime}=0$ | $\overline{\mathrm{w}}^{\prime \prime}=0$ | $\overline{\mathrm{w}}^{\prime \prime}=0$ | Tabella 6.4 — Principali condizioni omogenee agli estremi. Vincoli diversi producono successioni diverse di pulsazioni e modi propri.

Esercizio 6.5. Per un’asta libera agli estremi, mostrare che le pulsazioni e i modi assiali coincidono con quelli del caso cerniera–appoggio. Per la flessione, mostrare invece che le pulsazioni proprie positive soddisfano \(\cos \left(\mathrm{k} \ell_{R}\right) \operatorname{ch}\left(\mathrm{k} \ell_{R}\right)=1 \quad \text {Dove?} \quad \mathrm{k}=\left(\frac{\varrho_{R} \Omega_{\mathrm{fl}}^{2}}{\mathrm{El}}\right)^{1 / 4}.\) Dedurre che esiste una successione numerabile di pulsazioni flessionali e determinare i modi associati.

6.5.2 Vibrazioni forzate e risonanza

Lo studio dei modi propri serve a due scopi principali:

  1. per il teorema spettrale, ogni moto dell’asta può essere decomposto nei modi propri;
  2. un’eccitazione alla frequenza propria può produrre risonanza, con crescita dell’ampiezza e possibile danneggiamento. Mostriamo decomposizione modale e risonanza in un esempio.

    Problema

    Consideriamo un’asta elastica omogenea di lunghezza $\ell_{\mathrm{R}}$ e densità lineare $\varrho_{\mathrm{R}}$, incernierata in $S=0$ e semplicemente appoggiata in $S=\ell_{\mathrm{R}}$. Inizialmente è ferma nella configurazione naturale $\mathbf{x}{\mathrm{R}}(S)=S\mathbf{e}{1}$. Per $t>0$ è soggetta alla densità uniforme di forza trasversale \(\mathbf{q}(S, t)=q \sin \left(\Omega_{1} t\right) \mathbf{e}_{2} \quad \text {- Sì.} \quad q>0 \quad \text {e} \quad \Omega_{1}=\pi^{2} \sqrt{\frac{\mathrm{EI}}{\varrho_{\mathrm{R}} \ell_{\mathrm{R}}^{4}}}.\) Figura Figura 6.10 — Problema di vibrazione forzata dell’asta. La forza oscilla alla prima pulsazione flessionale. Mostriamo che l’asta entra in risonanza e che la freccia cresce nel tempo. Studiamo soltanto la fase iniziale, nella quale la linearizzazione resta valida.

    Equazioni

    Poiché il carico è trasversale e consideriamo piccoli moti, trascuriamo la componente assiale e cerchiamo \(\mathbf{x}(S, t)=S \mathbf{e}_{1}+\mathrm{w}(S, t) \mathbf{e}_{2}, \quad(S, t) \in\left(0, \ell_{\mathrm{R}}\right) \times(0, \infty),\) Il campo deve soddisfare:

  3. le equazioni del moto;
  4. la legge costitutiva;
  5. le condizioni agli estremi;
  6. i dati iniziali. La linearizzazione usa tre approssimazioni:
  7. trascura gli spostamenti assiali;
  8. pone $|\mathbf{x}^{\prime}|\simeq1$ nell’equilibrio dei momenti;
  9. usa una legge elastica lineare e la deformazione flessionale linearizzata. Non occorre escludere le onde d’urto con un’ipotesi aggiuntiva. La rigidezza flessionale impone la continuità di $\mathrm{w}$ e $\mathrm{w}^{\prime}$; una discontinuità di rotazione avrebbe energia infinita: \(\left[\!\left[ \mathrm{w} \right]\!\right]=\left[\!\left[ \mathrm{w}^{\prime} \right]\!\right]=0.\) Per la compatibilità cinematica, anche la velocità trasversale è continua: \(\left[\!\left[ \dot{\mathrm{w}} \right]\!\right]=0,\) Ne segue il risultato seguente. Proposizione 6.13. In un’asta flessibile, la rigidezza flessionale impone la continuità di $\mathrm{w}$, $\mathrm{w}^{\prime}$ e $\dot{\mathrm{w}}$; non possono quindi propagarsi onde d’urto flessionali.

Dimostrazione. Un salto di $\mathrm{w}’$ concentrerebbe la curvatura e renderebbe infinita l’energia flessionale, quindi $[![\mathrm{w}’]!]=0$; la posizione richiede inoltre $[![\mathrm{w}]!]=0$. Applicando la compatibilità cinematica alla continuità di $\mathrm{w}$ lungo una discontinuità mobile otteniamo $[![\dot{\mathrm{w}}]!]+\dot S_o[![\mathrm{w}’]!]=0$, e dunque $[![\dot{\mathrm{w}}]!]=0$. Manca quindi il salto di velocità che definisce un’onda d’urto flessionale. $\square$

Eliminando $T$ e $M$, il problema si riduce alla sola freccia: \(\begin{cases}\mathrm{El}^{\prime \prime \prime \prime}(S, t)+\varrho_{\mathrm{R}} \ddot{\mathrm{w}}(S, t)=q \sin \left(\Omega_{1} t\right), & \forall S \in\left(0, \ell_{\mathrm{R}}\right), \forall t>0, \tag{6.19}\\ \mathrm{w}(0, t)=\mathrm{w}^{\prime \prime}(0, t)=\mathrm{w}\left(\ell_{\mathrm{R}}, t\right)=\mathrm{w}^{\prime \prime}\left(\ell_{\mathrm{R}}, t\right)=0, & \forall t>0, \\ \mathrm{w}(S, 0)=\dot{\mathrm{w}}(S, t)=0, & \forall S \in\left(0, \ell_{\mathrm{R}}\right).\end{cases}\) Rispetto al problema dei modi propri compaiono una forza distribuita, i dati iniziali e una dipendenza temporale non separata a priori.

Decomposizione modale

Il teorema spettrale, la cui dimostrazione esula dal corso, afferma che ogni funzione sufficientemente regolare può essere sviluppata nei modi flessionali del problema cerniera–appoggio: \(\phi(S)=\sum_{n=1}^{\infty} \mathrm{a}_{n} \sin \left(n \pi \frac{S}{\ell_{\mathrm{R}}}\right)\) I coefficienti sono determinati in modo univoco dall’ortogonalità dei seni: \(\mathrm{a}_{n}=\frac{\int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \phi(S) \sin \left(n \pi \frac{S}{\ell_{\mathrm{R}}}\right) d S}{\int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \sin ^{2}\left(n \pi \frac{S}{\ell_{\mathrm{R}}}\right) d S}=\frac{2}{\ell_{\mathrm{R}}} \int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \phi(S) \sin \left(n \pi \frac{S}{\ell_{\mathrm{R}}}\right) d S \tag{6.20}\) Applichiamo lo sviluppo alla soluzione, a ogni istante: \(\mathrm{w}(S, t)=\sum_{n=1}^{\infty} \mathrm{W}_{n}(t) \sin \left(n \pi \frac{S}{\ell_{\mathrm{R}}}\right)\) Le condizioni agli estremi sono soddisfatte automaticamente. Derivando termine a termine otteniamo \(\mathrm{Elw}^{\prime \prime \prime \prime}(S, t)+\varrho_{\mathrm{R}} \ddot{\mathrm{w}}(S, t)=\sum_{n=1}^{\infty} \varrho_{\mathrm{R}}\left(\Omega_{n}^{2} \mathrm{~W}_{n}(t)+\ddot{\mathrm{W}}_{n}(t)\right) \sin \left(n \pi \frac{S}{\ell_{\mathrm{R}}}\right)\) dove $\Omega_{n}=n^{2}\Omega_{1}$. Anche il carico uniforme ammette uno sviluppo modale; poiché \(\int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \sin \left(n \pi \frac{S}{\ell_{\mathrm{R}}}\right) d S=\frac{\ell_{\mathrm{R}}}{n \pi}\left(1-(-1)^{n}\right)\) segue \(q \sin \left(\Omega_{1} t\right)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\left(1-(-1)^{n}\right) q}{n \pi} \sin \left(\Omega_{1} t\right) \sin \left(n \pi \frac{S}{\ell_{\mathrm{R}}}\right)\) Identificando i coefficienti modali, il problema (6.19) equivale, per ogni $n$, a \(\left\{\begin{array}{l} n^{4} \Omega_{1}^{2} \mathrm{~W}_{n}(t)+\ddot{\mathrm{W}}_{n}(t)=\frac{2\left(1-(-1)^{n}\right) q}{n \pi \varrho_{\mathrm{R}}} \sin \left(\Omega_{1} t\right), \quad \forall t>0 \tag{6.21}\\ \mathrm{~W}_{n}(0)=\dot{\mathrm{W}}_{n}(0)=0 \end{array}\right.\)

Soluzione

I coefficienti di indice pari sono nulli. Per gli indici dispari maggiori di uno, una soluzione particolare è $c_n\sin(\Omega_{1}t)$, con \(\left((2 n+1)^{4}-1\right) \mathrm{c}_{n}=\frac{4 q}{(2 n+1) \pi \varrho_{\mathrm{R}} \Omega_{1}^{2}},\) Le condizioni iniziali danno \(\mathrm{W}_{2 n+1}(t)=\mathrm{a}_{n} \cos \left((2 n+1)^{2} \Omega_{1} t\right)+\mathrm{b}_{n} \sin \left((2 n+1)^{2} \Omega_{1} t\right)+\mathrm{c}_{n} \sin \left(\Omega_{1} t\right)\) ossia \(\text {Per} n \in \mathbb{N}_{*}: \quad \mathrm{W}_{2 n+1}(t)=\frac{4 q}{\left((2 n+1)^{4}-1\right)(2 n+1) \pi \varrho_{\mathrm{R}} \Omega_{1}^{2}}\left(\sin \left(\Omega_{1} t\right)-\frac{\sin \left((2 n+1)^{2} \Omega_{1} t\right)}{(2 n+1)^{2}}\right)\) Questi coefficienti sono periodici e limitati; la loro ampiezza decresce come $n^{-5}$. Per il primo modo l’equazione è risonante: \(\left\{\begin{array}{l} \Omega_{1}^{2} \mathrm{~W}_{1}(t)+\ddot{\mathrm{W}}_{1}(t)=\frac{4 q}{\pi \varrho_{\mathrm{R}}} \sin \left(\Omega_{1} t\right), \quad \forall t>0, \\ \mathrm{~W}_{1}(0)=\dot{\mathrm{W}}_{1}(0)=0, \end{array}\right.\) Il termine forzante è soluzione dell’equazione omogenea; una soluzione particolare è quindi proporzionale a $t\cos(\Omega_{1}t)$, con \(c_{0}=-\frac{2 q}{\pi \varrho_{R} \Omega_{1}}\) La soluzione generale è $\mathrm{W}{1}(t)=\mathrm{a}{0} \cos \left(\Omega_{1} t\right)+\mathrm{b}{0} \sin \left(\Omega{1} t\right)-\frac{2 q}{\pi \varrho_{\mathrm{R}} \Omega_{1}} t \cos \left(\Omega_{1} t\right)$, e i dati iniziali determinano \(\mathrm{W}_{1}(t)=\frac{2 q}{\pi \varrho_{\mathrm{R}} \Omega_{1}^{2}}\left(\sin \left(\Omega_{1} t\right)-\Omega_{1} t \cos \left(\Omega_{1} t\right)\right)\) Figura Figura 6.11 — Evoluzione del coefficiente $W_{1}(t)$ del primo modo; $T_{1}=2\pi/\Omega_{1}$ è il suo periodo.

Conclusioni

L’inviluppo dell’ampiezza cresce linearmente nel tempo, con scala temporale data dal periodo $T_{1}=2\pi/\Omega_{1}$. La crescita illimitata è una conseguenza del modello lineare. Dopo alcuni periodi, quando l’ampiezza non è più piccola, la linearizzazione perde validità e l’accoppiamento con gli spostamenti assiali non può più essere trascurato. Nel sistema reale l’ampiezza resta finita, ma può diventare sufficiente a produrre danni.

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