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2.4 Verifica dell’equilibrio con il metodo delle sezioni di taglio

Convenzioni di notazione

← 2.3 Condizioni di equilibrio di un mezzo continuo curvilineo · Indice · 2.5 Alcune proprietà generali degli sforzi interni →

Orientamento

La sezione sviluppa 2.4.1 caso dei mezzi curvilinei con estremità, 2.4.2 caso dei mezzi curvilinei a curva chiusa, 2.4.3 estensione agli assemblaggi di mezzi curvilinei.

Contenuti

  • 2.4.1 Caso dei mezzi curvilinei con estremità
  • Equilibrio globale dei momenti:
  • Equilibrio dei momenti su $(0,s)$:
  • 2.4.2 Caso dei mezzi curvilinei a curva chiusa
  • Equilibrio globale dei momenti:
  • Equilibrio dei momenti su $(s,\ell)$:
  • Equilibrio dei momenti su $(0,s)$:
  • 2.4.3 Estensione agli assemblaggi di mezzi curvilinei

Il caso delle curve chiuse richiede un trattamento particolare, per l’assenza di estremità. Presentiamo quindi prima il metodo delle sezioni di taglio per un mezzo curvilineo con due estremità e poi la sua estensione alle curve chiuse. Nel seguito della sezione, $\mathcal{J}\subset\mathcal{I}$ indica genericamente l’insieme dei punti di cui verifichiamo l’equilibrio. Verifichiamo dapprima l’equilibrio dell’intero mezzo curvilineo, poi quello di due famiglie di parti via via più piccole e infine quello di tutte le parti.

2.4.1 Caso dei mezzi curvilinei con estremità

La configurazione che supponiamo in equilibrio è $s\mapsto\mathbf{x}(s)$ con $s\in\mathcal{I}=(0,\ell)$. Supponiamo che il mezzo sia soggetto a

  1. una densità lineica di forze $s\mapsto\mathbf{q}(s)$;
  2. una densità lineica di coppie di momento $s\mapsto m(s)$;
  3. una forza e un momento, eventualmente nulli, a ciascuna estremità: $(\mathcal{F}{0},\mathcal{M}{0})$ in $s=0$ e $(\mathcal{F}{\ell},\mathcal{M}{\ell})$ in $s=\ell$;
  4. eventualmente, una famiglia di forze e coppie concentrate, escluse le estremità, indicizzate mediante l’ascissa curvilinea $s_i$ del punto di applicazione: $(\mathcal{F}{s_i},\mathcal{M}{s_i})$ indica la forza e il momento dello sforzo concentrato applicato nel punto geometrico $\mathbf{x}(s_i)$. Indichiamo con $\mathbb{P}$ l’insieme di questi punti, che può essere vuoto ma che supponiamo finito: $\mathbb{P}=\varnothing\quad$ oppure $\quad\mathbb{P}={s_1,\cdots,s_n}\quad$ (insieme dei punti soggetti a sforzi esterni concentrati).
  5. Equilibrio globale: poniamo $\mathcal{J}=\mathcal{I}$. La condizione di equilibrio richiede che la risultante e il momento risultante di tutti gli sforzi esterni agenti sul mezzo curvilineo siano nulli. Dall’equilibrio delle forze otteniamo \(\text { Equilibrio globale delle forze } \quad: \quad \mathbf{0}=\mathcal{F}_{0}+\int_{0}^{\ell} \mathbf{q}(s) d s+\sum_{s_{i} \in \mathbb{P}} \mathcal{F}_{s_{i}}+\mathcal{F}_{\ell} \tag{2.2}\) Per scrivere l’equilibrio dei momenti possiamo calcolarli rispetto a un punto qualsiasi del piano. Scegliendo $\mathbf{x}(0)$ otteniamo

Equilibrio globale dei momenti:

\(\begin{aligned} 0 & =\mathcal{M}_{0}+\int_{0}^{\ell} m(s) d s+\int_{0}^{\ell}(\mathbf{x}(s)-\mathbf{x}(0)) \mathbin{\wedge_2} \mathbf{q}(s) d s \tag{2.3}\\ & +\sum_{s_{i} \in \mathbb{P}} \mathcal{M}_{s_{i}}+\sum_{s_{i} \in \mathbb{P}}\left(\mathbf{x}\left(s_{i}\right)-\mathbf{x}(0)\right) \mathbin{\wedge_2} \mathcal{F}_{s_{i}}+\mathcal{M}_{\ell}+(\mathbf{x}(\ell)-\mathbf{x}(0)) \mathbin{\wedge_2} \mathcal{F}_{\ell} \end{aligned}\) Figura Figura 2.2 - Il carico di tutto o parte del mezzo curvilineo si è assunto in equilibrio nella configurazione rappresentata: in verde chiaro, densità lineare di forze e momenti; in verde scuro, forze e momenti alle estremità; in rosso, forze e momenti puntuali; in blu, forze interne.

  1. Equilibrio degli intervalli $(s,\ell)$: poniamo $\mathcal{J}=(s,\ell)$ con $s\in\mathcal{I}$. Questa parte è soggetta:
  2. in $s$, all’azione della parte a monte del mezzo, quindi, per definizione, alla forza $\mathbf{R}^{r}(s)$ e al momento $M^{r}(s)$;
  3. su $(s,\ell)$, alla densità lineica di forze $\mathbf{q}$ e di momenti $m$;
  4. nei punti $s_i$ appartenenti a $\mathbb{P}\cap(s,\ell)$, ai corrispondenti sforzi concentrati;
  5. in $\ell$, alla forza $\mathcal{F}{\ell}$ e al momento $\mathcal{M}{\ell}$. Scrivendo l’equilibrio delle forze otteniamo \(\text { Equilibrio delle forze su }(s, \ell) \quad: \quad \mathbf{0}=\mathbf{R}^{r}(s)+\int_{s}^{\ell} \mathbf{q}(\tilde{s}) d \tilde{s}+\sum_{s_{i} \in \mathbb{P} \cap(s, \ell)} \mathcal{F}_{s_{i}}+\mathcal{F}_{\ell} \tag{2.4}\) Calcolando i momenti rispetto al punto $\mathbf{x}(s)$, dalla condizione di equilibrio dei momenti otteniamo Equilibrio dei momenti su $(s,\ell)$: \(\begin{aligned} 0 & =M^{r}(s)+\int_{s}^{\ell} m(\tilde{s}) d \tilde{s}+\int_{s}^{\ell}(\mathbf{x}(\tilde{s})-\mathbf{x}(s)) \mathbin{\wedge_2} \mathbf{q}(\tilde{s}) d \tilde{s} \tag{2.5}\\ & +\sum_{s_{i} \in \mathbb{P} \cap(s, \ell)} \mathcal{M}_{s_{i}}+\sum_{s_{i} \in \mathbb{P} \cap(s, \ell)}\left(\mathbf{x}\left(s_{i}\right)-\mathbf{x}(s)\right) \mathbin{\wedge_2} \mathcal{F}_{s_{i}}+\mathcal{M}_{\ell}+(\mathbf{x}(\ell)-\mathbf{x}(s)) \mathbin{\wedge_2} \mathcal{F}_{\ell} \end{aligned}\) Queste relazioni di equilibrio forniscono quindi gli sforzi interni $s\mapsto\mathbf{R}^{r}(s)$ e $s\mapsto M^{r}(s)$ in funzione degli sforzi esterni e della configurazione di equilibrio.
  6. Equilibrio degli intervalli $(0,s)$: poniamo $\mathcal{J}=(0,s)$ con $s\in\mathcal{I}$. Questa parte è soggetta:
  7. in 0, alla forza $\mathcal{F}{0}$ e al momento $\mathcal{M}{0}$;
  8. su $(0,s)$, alla densità lineica di forze $\mathbf{q}$ e di momenti $m$;
  9. nei punti $s_i$ appartenenti a $\mathbb{P}\cap(0,s)$, ai corrispondenti sforzi concentrati;
  10. in $s$, all’azione della parte a valle del mezzo e, per definizione, alla forza $\mathbf{R}(s)$ e al momento $M(s)$. Scrivendo l’equilibrio delle forze otteniamo \(\text { Equilibrio delle forze su }(0, s) \quad: \quad \mathbf{0}=\mathcal{F}_{0}+\int_{0}^{s} \mathbf{q}(\tilde{s}) d \tilde{s}+\sum_{s_{i} \in \mathbb{P} \cap(0, s)} \mathcal{F}_{s_{i}}+\mathbf{R}(s) \tag{2.6}\) Calcolando i momenti rispetto al punto $\mathbf{x}(s)$, dalla condizione di equilibrio dei momenti otteniamo

Equilibrio dei momenti su $(0,s)$:

\(\begin{aligned} 0 & =\mathcal{M}_{0}+(\mathbf{x}(0)-\mathbf{x}(s)) \mathbin{\wedge_2} \mathcal{F}_{0}+\int_{0}^{s} m(\tilde{s}) d \tilde{s}+\int_{0}^{s}(\mathbf{x}(\tilde{s})-\mathbf{x}(s)) \mathbin{\wedge_2} \mathbf{q}(\tilde{s}) d \tilde{s} \tag{2.7}\\ & +\sum_{s_{i} \in \mathbb{P} \cap(0, s)} \mathcal{M}_{s_{i}}+\sum_{s_{i} \in \mathbb{P} \cap(0, s)}\left(\mathbf{x}\left(s_{i}\right)-\mathbf{x}(s)\right) \mathbin{\wedge_2} \mathcal{F}_{s_{i}}+M(s) \end{aligned}\)

Osservazione 2.1. Se scegliamo l’origine $\mathbf{O}$ del riferimento per calcolare i momenti, l’equazione di equilibrio dei momenti si scrive \(\begin{aligned} 0 & =\mathcal{M}_{0}+\mathbf{x}(0) \mathbin{\wedge_2} \mathcal{F}_{0}+\int_{0}^{s} m(\tilde{s}) d \tilde{s}+\int_{0}^{s} \mathbf{x}(\tilde{s}) \mathbin{\wedge_2} \mathbf{q}(\tilde{s}) d \tilde{s} \\ & +\sum_{s_{i} \in \mathbb{P} \cap(0, s)} \mathcal{M}_{s_{i}}+\sum_{s_{i} \in \mathbb{P} \cap(0, s)} \mathbf{x}\left(s_{i}\right) \mathbin{\wedge_2} \mathcal{F}_{s_{i}}+\mathbf{x}(s) \mathbin{\wedge_2} \mathbf{R}(s)+M(s) \tag{2.8} \end{aligned}\) che, tenendo conto della (2.6), è equivalente alla (2.7). Queste relazioni di equilibrio forniscono quindi la distribuzione degli sforzi interni $s\mapsto\mathbf{R}(s)$ e $s\mapsto M(s)$ in funzione degli sforzi esterni e della configurazione di equilibrio.

  1. Equilibrio di tutti gli intervalli $(s^{\prime},s^{\prime\prime})$ con $0\leq s^{\prime}<s^{\prime\prime}\leq\ell$: mostriamo che le condizioni di equilibrio (2.2)–(2.7), ottenute in precedenza, sono sufficienti ad assicurare l’equilibrio di qualsiasi intervallo. Poniamo quindi $\mathcal{J}=(s^{\prime},s^{\prime\prime})$. Questa parte è soggetta:
  2. in $s^{\prime}$, all’azione della parte a monte del mezzo e quindi alla forza $\mathbf{R}^{r}(s^{\prime})$ e al momento $M^{r}(s^{\prime})$;
  3. su $(s^{\prime},s^{\prime\prime})$, alla densità lineica di forze $\mathbf{q}$ e di momenti $m$;
  4. nei punti $s_i$ appartenenti a $\mathbb{P}\cap(s^{\prime},s^{\prime\prime})$, ai corrispondenti sforzi concentrati;
  5. in $s^{\prime\prime}$, all’azione della parte a valle del mezzo e quindi alla forza $\mathbf{R}(s^{\prime\prime})$ e al momento $M(s^{\prime\prime})$. Qui usiamo il fatto che, per ipotesi, gli sforzi interni sono locali e non dipendono dagli intorni a monte o a valle considerati. Di conseguenza, gli sforzi esercitati in $s^{\prime}$ dopo il taglio in quel punto non dipendono dall’eventuale taglio anche in $s^{\prime\prime}$, e viceversa. Sono necessariamente gli stessi che abbiamo calcolato scrivendo l’equilibrio di $(s^{\prime},\ell)$: $\mathbf{R}^{r}(s^{\prime})$ e $M^{r}(s^{\prime})$, dati dalle (2.4) e (2.5). Lo stesso vale per gli sforzi in $s^{\prime\prime}$. Calcolando la risultante delle forze otteniamo \(\text { Risultante delle forze su }\left(s^{\prime}, s^{\prime \prime}\right)=\mathbf{R}^{r}\left(s^{\prime}\right)+\int_{s^{\prime}}^{s^{\prime \prime}} \mathbf{q}(\tilde{s}) d \tilde{s}+\sum_{s_{i} \in \mathbb{P} \cap\left(s^{\prime}, s^{\prime \prime}\right)} \mathcal{F}_{s_{i}}+\mathbf{R}\left(s^{\prime \prime}\right)\) Sommando la (2.4), con $s=s^{\prime}$, alla (2.6), con $s=s^{\prime\prime}$, e sottraendo la (2.2), otteniamo \(\mathbf{0}=\mathbf{R}^{r}\left(s^{\prime}\right)+\int_{s^{\prime}}^{s^{\prime \prime}} \mathbf{q}(\tilde{s}) d \tilde{s}+\sum_{s_{i} \in \mathbb{P} \cap\left(s^{\prime}, \ell\right)} \mathcal{F}_{s_{i}}+\sum_{s_{i} \in \mathbb{P} \cap\left(0, s^{\prime \prime}\right)} \mathcal{F}_{s_{i}}-\sum_{s_{i} \in \mathbb{P}} \mathcal{F}_{s_{i}}+\mathbf{R}\left(s^{\prime \prime}\right)\) Poiché $\sum_{s_i\in\mathbb{P}\cap(s^{\prime},\ell)}\mathcal{F}{s_i}+\sum{s_i\in\mathbb{P}\cap(0,s^{\prime\prime})}\mathcal{F}{s_i}-\sum{s_i\in\mathbb{P}}\mathcal{F}{s_i}=\sum{s_i\in\mathbb{P}\cap(s^{\prime},s^{\prime\prime})}\mathcal{F}_{s_i}$, la risultante delle forze su $(s^{\prime},s^{\prime\prime})$ è nulla. Procedendo allo stesso modo per il momento risultante e usando le (2.3), (2.5) e (2.7), otteniamo che anche il momento è nullo; lasciamo la verifica dei segni come esercizio. Pertanto $(s^{\prime},s^{\prime\prime})$ è in equilibrio. Esercizio 2.2. Verificare che il momento risultante di tutti gli sforzi esterni agenti sull’intervallo $(s^{\prime},s^{\prime\prime})$ è nullo quando sono soddisfatte le (2.2)–(2.7).

2.4.2 Caso dei mezzi curvilinei a curva chiusa

Consideriamo ora il caso in cui il mezzo continuo non ha bordo. La configurazione che supponiamo in equilibrio è $s\mapsto\mathbf{x}(s)$ con $s\in\mathcal{I}=[0,\ell)$ e $\mathbf{x}(0)=\mathbf{x}(\ell)$. Per gli sforzi esterni, la differenza essenziale rispetto ai mezzi curvilinei aperti è che, non essendoci estremità, non vi sono azioni a esse applicate. Indichiamo con $\mathbb{P}$ l’insieme, eventualmente vuoto, dei punti di $\mathcal{I}$ sui quali agiscono sforzi esterni concentrati; osserviamo però che $s=0$ può essere uno di questi punti, come nella Figura 2.3.

  1. Equilibrio globale: poniamo $\mathcal{J}=\mathcal{I}$. Dall’equilibrio delle forze otteniamo \(\text { Equilibrio globale delle forze } \quad: \quad \mathbf{0}=\int_{0}^{\ell} \mathbf{q}(s) d s+\sum_{s_{i} \in \mathbb{P}} \mathcal{F}_{s_{i}} \tag{2.9}\) mentre dall’equilibrio dei momenti calcolati rispetto al punto $\mathbf{x}(0)$ otteniamo

Equilibrio globale dei momenti:

\(0=\int_{0}^{\ell}(m(s)+(\mathbf{x}(s)-\mathbf{x}(0)) \mathbin{\wedge_2} \mathbf{q}(s)) d s+\sum_{s_{i} \in \mathbb{P}}\left(\mathcal{M}_{s_{i}}+\left(\mathbf{x}\left(s_{i}\right)-\mathbf{x}(0)\right) \mathbin{\wedge_2} \mathcal{F}_{s_{i}}\right) \tag{2.10}\)

  1. Equilibrio degli intervalli $(s,\ell)$: poniamo $\mathcal{J}=(s,\ell)$ con $s\in\mathcal{I}=[0,\ell)$. Questa parte ${ }^{3}$ è soggetta:
  2. in $s$, alla forza $\mathbf{R}^{r}(s)$ e al momento $M^{r}(s)$;
  3. su $(s,\ell)$, alla densità lineica di forze $\mathbf{q}$ e di momenti $m$;
  4. nei punti $s_i$ appartenenti a $\mathbb{P}\cap(s,\ell)$, ai corrispondenti sforzi concentrati;
  5. in $\ell$, agli sforzi esercitati dagli intorni a valle di 0, cioè dagli intervalli del tipo $(0,h)$, e quindi alla forza $\mathbf{R}(0)$ e al momento $M(0)$. Scrivendo l’equilibrio delle forze otteniamo \(\text { Equilibrio delle forze su }(s, \ell) \quad: \quad \mathbf{0}=\mathbf{R}^{r}(s)+\int_{s}^{\ell} \mathbf{q}(\tilde{s}) d \tilde{s}+\sum_{s_{i} \in \mathbb{P} \cap(s, \ell)} \mathcal{F}_{s_{i}}+\mathbf{R}(0) \tag{2.11}\) Calcolando i momenti rispetto al punto $\mathbf{x}(s)$, dalla condizione di equilibrio dei momenti otteniamo

Equilibrio dei momenti su $(s,\ell)$:

\(\begin{aligned} 0 & =M^{r}(s)+\int_{s}^{\ell}(m(\tilde{s})+(\mathbf{x}(\tilde{s})-\mathbf{x}(s)) \mathbin{\wedge_2} \mathbf{q}(\tilde{s})) d \tilde{s} \tag{2.12}\\ & +\sum_{s_{i} \in \mathbb{P} \cap(s, \ell)}\left(\mathcal{M}_{s_{i}}+\left(\mathbf{x}\left(s_{i}\right)-\mathbf{x}(s)\right) \mathbin{\wedge_2} \mathcal{F}_{s_{i}}\right)+M(0)+(\mathbf{x}(0)-\mathbf{x}(s)) \mathbin{\wedge_2} \mathbf{R}(0) \end{aligned}\)

Nota. 1. Quando $s=0$, lo studio dell’equilibrio di $(0,\ell)$ differisce da quello svolto per l’equilibrio globale, perché il punto $s=0$ non appartiene più al dominio studiato. Figura (i) L’intero mezzo con i carichi applicati; qui $\mathcal{I}=[0,\ell)$ e $\mathbb{P}={0,s_1}$. Figura (ii) La parte a monte $(0,s)$ con i carichi applicati dopo il taglio del mezzo nei punti 0 e $s$. Figura Figura 2.3 - Mezzo curvilineo chiuso con forze concentrate in $s=0$. (iii) La parte a valle $(s,\ell)$ con i carichi applicati dopo il taglio del mezzo nei punti 0 e $s$. Queste relazioni di equilibrio forniscono quindi gli sforzi interni $s\mapsto\mathbf{R}^{r}(s)$ e $s\mapsto M^{r}(s)$ in funzione degli sforzi esterni, della configurazione di equilibrio e degli sforzi interni $\mathbf{R}(0)$ e $M(0)$. In particolare, scrivendo la (2.11) in $s=0$ otteniamo \(\mathbf{R}^{r}(0)+\mathbf{R}(0)=-\int_{0}^{\ell} \mathbf{q}(\tilde{s}) d \tilde{s}-\sum_{s_{i} \in \mathbb{P} \cap(0, \ell)} \mathcal{F}_{s_{i}}\) Tenendo conto della (2.9), deduciamo che \(\mathbf{R}^{r}(0)+\mathbf{R}(0)= \begin{cases}\mathbf{0} & \text { se } 0 \notin \mathbb{P} \\ \mathcal{F}_{0} & \text { altrimenti }\end{cases}\) Analogamente, scrivendo la (2.12) in $s=0$ e tenendo conto della (2.10), otteniamo \(M^{r}(0)+M(0)= \begin{cases}\mathbf{0} & \text { se } 0 \notin \mathbb{P} \\ \mathcal{M}_{0} & \text { altrimenti }\end{cases}\) Ritroviamo qui il risultato generale enunciato in P-2.1: il principio di azione e reazione si applica in $s=0$ soltanto se in quel punto non agisce alcuno sforzo esterno concentrato.

  1. Equilibrio degli intervalli $(0,s)$: poniamo $\mathcal{J}=(0,s)$ con $s\in(0,\ell)$. Questa parte è soggetta:
  2. in 0, alla forza $\mathbf{R}^{r}(0)$ e al momento $M^{r}(0)$;
  3. su $(0,s)$, alla densità lineica di forze $\mathbf{q}$ e di momenti $m$;
  4. nei punti $s_i\in\mathbb{P}\cap(0,s)$, ai corrispondenti sforzi concentrati;
  5. in $s$, all’azione della parte a valle del mezzo e quindi alla forza $\mathbf{R}(s)$ e al momento $M(s)$. Scrivendo l’equilibrio delle forze otteniamo \(\mathbf{0}=\mathbf{R}^{r}(0)+\int_{0}^{s} \mathbf{q}(\tilde{s}) d \tilde{s}+\sum_{s_{i} \in \mathbb{P} \cap(0, s)} \mathcal{F}_{s_{i}}+\mathbf{R}(s)\) Tenendo conto della relazione tra $\mathbf{R}^{r}(0)$ e $\mathbf{R}(0)$, possiamo anche scrivere \(\text { Equilibrio delle forze su }(0, s) \quad: \quad \mathbf{0}=-\mathbf{R}(0)+\int_{0}^{s} \mathbf{q}(\tilde{s}) d \tilde{s}+\sum_{s_{i} \in \mathbb{P} \cap[0, s)} \mathcal{F}_{s_{i}}+\mathbf{R}(s) \tag{2.13}\) Calcolando i momenti rispetto al punto $\mathbf{x}(s)$, dalla condizione di equilibrio dei momenti otteniamo \(\begin{aligned} 0 & =M^{r}(0)+(\mathbf{x}(0)-\mathbf{x}(s)) \mathbin{\wedge_2} \mathbf{R}^{r}(0)+\int_{0}^{s}(m(\tilde{s})+(\mathbf{x}(\tilde{s})-\mathbf{x}(s)) \mathbin{\wedge_2} \mathbf{q}(\tilde{s})) d \tilde{s} \\ & +\sum_{s_{i} \in \mathbb{P} \cap(0, s)}\left(\mathcal{M}_{s_{i}}+\left(\mathbf{x}\left(s_{i}\right)-\mathbf{x}(s)\right) \mathbin{\wedge_2} \mathcal{F}_{s_{i}}\right)+M(s) \end{aligned}\) Tenendo conto della relazione tra $(\mathbf{R}^{r}(0),M^{r}(0))$ e $(\mathbf{R}(0),M(0))$, possiamo anche scrivere

Equilibrio dei momenti su $(0,s)$:

\(\begin{aligned} 0 & =-M(0)-(\mathbf{x}(0)-\mathbf{x}(s)) \mathbin{\wedge_2} \mathbf{R}(0)+\int_{0}^{s}(m(\tilde{s})+(\mathbf{x}(\tilde{s})-\mathbf{x}(s)) \mathbin{\wedge_2} \mathbf{q}(\tilde{s})) d \tilde{s} \tag{2.14}\\ & +\sum_{s_{i} \in \mathbb{P} \cap[0, s)}\left(\mathcal{M}_{s_{i}}+\left(\mathbf{x}\left(s_{i}\right)-\mathbf{x}(s)\right) \mathbin{\wedge_2} \mathcal{F}_{s_{i}}\right)+M(s) \end{aligned}\) Queste relazioni di equilibrio forniscono quindi la distribuzione degli sforzi interni $s\mapsto\mathbf{R}(s)$ e $s\mapsto M(s)$, per $s\neq0$, in funzione degli sforzi esterni, della configurazione di equilibrio e di $(\mathbf{R}(0),M(0))$. A questo stadio $\mathbf{R}(0)$ e $M(0)$ rimangono dunque indeterminati.

  1. Equilibrio degli intervalli $(s^{\prime},s^{\prime\prime})$ con $0\leq s^{\prime}<s^{\prime\prime}\leq\ell$: mostriamo che le condizioni di equilibrio (2.9)–(2.12), ottenute in precedenza, sono sufficienti ad assicurare l’equilibrio di qualsiasi intervallo di questo tipo. Poniamo quindi $\mathcal{J}=(s^{\prime},s^{\prime\prime})$. Questa parte è soggetta:
  2. in $s^{\prime}$, all’azione della parte a monte del mezzo e quindi alla forza $\mathbf{R}^{r}(s^{\prime})$ e al momento $M^{r}(s^{\prime})$;
  3. su $(s^{\prime},s^{\prime\prime})$, alla densità lineica di forze $\mathbf{q}$ e di momenti $m$;
  4. nei punti $s_i$ appartenenti a $\mathbb{P}\cap(s^{\prime},s^{\prime\prime})$, ai corrispondenti sforzi concentrati;
  5. in $s^{\prime\prime}$, all’azione della parte a valle del mezzo e quindi alla forza $\mathbf{R}(s^{\prime\prime})$ e al momento $M(s^{\prime\prime})$. Calcolando la risultante delle forze otteniamo \(\text { Risultante delle forze su }\left(s^{\prime}, s^{\prime \prime}\right)=\mathbf{R}^{r}\left(s^{\prime}\right)+\int_{s^{\prime}}^{s^{\prime \prime}} \mathbf{q}(\tilde{s}) d \tilde{s}+\sum_{s_{i} \in \mathbb{P} \cap\left(s^{\prime}, s^{\prime \prime}\right)} \mathcal{F}_{s_{i}}+\mathbf{R}\left(s^{\prime \prime}\right)\) Sommando la (2.11), con $s=s^{\prime}$, alla (2.13), con $s=s^{\prime\prime}$, e sottraendo la (2.9), otteniamo \(\mathbf{0}=\mathbf{R}^{r}(0)+\mathbf{R}(0)+\mathbf{R}^{r}\left(s^{\prime}\right)+\int_{s^{\prime}}^{s^{\prime \prime}} \mathbf{q}(\tilde{s}) d \tilde{s}+\sum_{s_{i} \in \mathbb{P} \cap\left(s^{\prime}, \ell\right)} \mathcal{F}_{s_{i}}+\sum_{s_{i} \in \mathbb{P} \cap\left(0, s^{\prime \prime}\right)} \mathcal{F}_{s_{i}}-\sum_{s_{i} \in \mathbb{P}} \mathcal{F}_{s_{i}}+\mathbf{R}\left(s^{\prime \prime}\right)\) Poiché $\sum_{s_i\in\mathbb{P}\cap(s^{\prime},\ell)}\mathcal{F}{s_i}+\sum{s_i\in\mathbb{P}\cap(0,s^{\prime\prime})}\mathcal{F}{s_i}-\sum{s_i\in\mathbb{P}}\mathcal{F}{s_i}=\sum{s_i\in\mathbb{P}\cap(s^{\prime},s^{\prime\prime})}\mathcal{F}_{s_i}$, la risultante delle forze su $(s^{\prime},s^{\prime\prime})$ è nulla. Procedendo allo stesso modo per il momento risultante e usando le (2.3), (2.5) e (2.7), otteniamo che anche il momento è nullo; lasciamo la verifica dei segni come esercizio. Pertanto $(s^{\prime},s^{\prime\prime})$ è in equilibrio.

    Esercizio 2.3. Verificare che il momento risultante di tutti gli sforzi esterni agenti sull’intervallo $(s^{\prime},s^{\prime\prime})$ è nullo quando sono soddisfatte le (2.2)–(2.7).

2.4.3 Estensione agli assemblaggi di mezzi curvilinei

Esercizio 2.4. Applicare il metodo delle sezioni di taglio a un telaio a forma di $T$, soggetto al peso proprio e vincolato alla base in modo da rendere possibile l’equilibrio globale, con le altre due estremità libere. Determinare gli sforzi interni nel nodo indicato nella figura seguente. Figura

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