Concordanza della notazione con Paroni
Fonte: Roberto Paroni, Scienza delle Costruzioni. Elementi di teoria dell’elasticità lineare, UNITEXT 143, Springer, 2022, ISBN 978-88-470-4019-9, DOI 10.1007/978-88-470-4020-5. I riferimenti seguenti indicano sezioni ed equazioni del libro.
Corrispondenze
| Grandezza | Paroni | Questa edizione |
|---|---|---|
| Vettori e prodotti | §1.1: grassetto, prodotto scalare $\mathbf{b}\cdot\mathbf{c}$, vettoriale $\mathbf{b}\wedge\mathbf{c}$ | Stesse convenzioni; la componente scalare del prodotto vettoriale è distinta sotto. |
| Riferimento e deformazione del corpo | §2.2: $\mathbf{x}\in\Omega$, deformazione $\mathbf{f}(\mathbf{x})$ | Manteniamo la curva $\mathbf{x}{\mathrm R}(S)$ e la posizione corrente $\mathbf{x}(S)$, legate da $\mathbf{f}(\mathbf{x}{\mathrm R}(S))=\mathbf{x}(S)$. |
| Spostamento tridimensionale | §2.2.1, (2.7): $\mathbf{u}=\mathbf{f}-\mathbf{x}$ | $\mathbf{u}$ resta un vettore del modello tridimensionale, distinto dalla componente scalare $u$ della trave. |
| Spostamento dell’asse | §2.9, (2.50): $\mathbf{a}(x_3)=\mathbf{u}(0,0,x_3)$ | $\mathbf{a}(S)=\mathbf{x}(S)-\mathbf{x}_{\mathrm R}(S)$ sostituisce $\boldsymbol{\xi}$, anche nelle variazioni e forme modali. La traslazione rigida è $\mathbf{c}$. |
| Componenti dello spostamento | §2.9: $a_1,a_2,a_3$ nella base cartesiana | Per gli archi conserviamo gli scalari $u=\mathbf{a}\cdot\mathbf{t}{\mathrm R}$ e $w=\mathbf{a}\cdot\mathbf{n}{\mathrm R}$. Il collegamento cartesiano è precisato sotto. |
| Rotazione di sezione | §2.9, (2.50)–(2.53): vettore infinitesimo $\boldsymbol{\alpha}$ | $\alpha_2$ sostituisce la rotazione relativa $\omega$ di Marigo, con l’estensione finita precisata sotto. |
| Angolo tangente | Non coincide con la rotazione di sezione | $\vartheta$, già $\alpha$ di Marigo; $\alpha_2=\vartheta-\vartheta_{\mathrm R}$. |
| Estensione e flessione | §2.9, (2.53)–(2.57): $\varepsilon=a_3’$, $\kappa_2=\alpha_2’=a_1’’$ per Bernoulli–Navier | $\varepsilon=s’-1$, $\kappa=\alpha_2’$; coincidono nel limite della trave diritta infinitesima. |
| Risultante interna | §3.5: $\mathbf{R}$, componenti $T_1,T_2,N$ | $\mathbf{R}=N\mathbf{t}+T\mathbf{n}$; $T$ è un taglio locale, non il tensore $\mathbf{T}$. |
| Momento interno | §3.5: $\mathbf{M}$, componenti $M_1,M_2,M_t$ | $M$ è la componente normale al piano, corrispondente a $M_2$ nella riduzione sotto. |
| Carico lineico | §3.5, (3.19): $\mathbf{q}$ | $\mathbf{q}$ sostituisce $\mathbf{f}$; componenti $q_1,q_2,q_t,q_n$, densità materiale $\mathbf{q}_{\mathrm R}$. |
| Coppia lineica | §3.5, (3.20): $\mathbf{m}$ | $m$ è la componente normale al piano. |
| Dilatazione termica | §5.6: coefficiente $\alpha$, temperatura $T$ | $\alpha_{\mathrm{th}}$ sostituisce il coefficiente $a$ di Marigo; il pedice lo distingue dalla rotazione. La temperatura resta $T$. |
| Intervalli | §2.9: asse $(0,\ell)$ | $\mathcal{I}{\mathrm R}$ sostituisce $\mathbb{C}{\mathrm R}$; $\mathcal{J}_{\mathrm R}$ è un sottointervallo materiale. $\mathbb{C}$ resta disponibile per il tensore elastico. |
Assi e segni
Le figure di Marigo usano il piano $(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2)$ con normale $\mathbf{e}_3$ e asse della trave diritta lungo $\mathbf{e}_1$. Paroni pone l’asse lungo $\mathbf{e}_3$. Manteniamo gli assi dei singoli problemi e indichiamo con un apice $P$ quelli del libro. La corrispondenza destrorsa è
\[\mathbf{e}_3^P=\mathbf{e}_1,\qquad \mathbf{e}_1^P=\mathbf{e}_2,\qquad \mathbf{e}_2^P=\mathbf{e}_3.\]Per la trave di riferimento diritta, $x_3^P=S$ e
\[\mathbf{a}=u\mathbf{e}_3^P+w\mathbf{e}_1^P,\qquad a_3^P=u,\quad a_1^P=w,\quad a_2^P=0,\qquad \boldsymbol{\alpha}=\alpha_2\mathbf{e}_2^P.\]L’assenza di scorrimento di Bernoulli–Navier implica $\alpha_2=w’$ e $\kappa=\kappa_2^P=w’’$. Inoltre $T_1^P=T$, $N^P=N$, $M_2^P=M$, con le altre componenti nulle. Le (3.19)–(3.21) del libro danno pertanto
\[N'+q_t=0,\qquad T'+q_n=0,\qquad M'+T+m=0.\]Il segno positivo del taglio nell’ultima equazione segue dalla permutazione destrorsa. La densità di lavoro interno della riduzione piana senza scorrimento (§4.2 Paroni) è $N\varepsilon+M\kappa$. Non invertiamo arbitrariamente i segni di momenti o curvature.
Per distinguere il prodotto vettoriale dalla sua componente scalare introduciamo
\[\mathbf{b}\mathbin{\wedge_2}\mathbf{c}:=(\mathbf{b}\wedge\mathbf{c})\cdot\mathbf{e}_3.\]Questa abbreviazione appartiene alla presente edizione. Vale anche se uno dei vettori ha una componente fuori dal piano. In particolare $\mathbf{t}\mathbin{\wedge_2}\mathbf{n}=1$, mentre $\mathbf{e}_3\wedge\mathbf{t}=\mathbf{n}$ è un’identità vettoriale.
Estensione non lineare e funzionali
Conserviamo $S$, ascissa materiale, $s$, ascissa corrente, e la mappa scalare $s=\mathrm{s}(S)$. Gli apici indicano la derivata rispetto all’argomento dichiarato; i punti sopra un simbolo indicano derivate temporali materiali. Le densità soddisfano $\mathbf{q}_{\mathrm R}(S)=s’(S)\mathbf{q}(s(S))$; analogamente per coppia e massa. Questi carichi lineici non sono le forze volumiche $\mathbf{b}$ o superficiali $\mathbf{s}$ del libro.
L’angolo $\alpha_2=\vartheta-\vartheta_{\mathrm R}$ è una rotazione piana finita. Soltanto nella linearizzazione lo identifichiamo con la componente del vettore infinitesimo di Paroni. Non introduciamo un vettore finito additivo di rotazione. Curvatura geometrica e deformazione di flessione restano distinte:
\[\varepsilon=s'-1,\qquad \kappa=\alpha_2',\qquad C=\frac{\vartheta'}{s'},\qquad C-C_{\mathrm R}=\frac{\kappa-\varepsilon C_{\mathrm R}}{1+\varepsilon}.\]Per piccoli spostamenti di un arco, $\varepsilon=u’-C_{\mathrm R}w$, $\alpha_2=w’+C_{\mathrm R}u$ e $\kappa=(w’+C_{\mathrm R}u)’$. Il parametro $\psi$ nella trave di Galileo è l’orientazione del carico, già chiamata $\omega$: è distinto dalla rotazione della sezione. Le pulsazioni $\Omega_n$ conservano il loro simbolo.
Paroni usa $\mathbf{E}(\mathbf{u})=\operatorname{sym}\nabla\mathbf{u}$, $\mathbf{T}=\mathbb{C}\mathbf{E}$ e dati su $\partial_D\Omega$, $\partial_N\Omega$ (§6.1, (6.1)); nella formulazione debole (6.3) compare il test $\boldsymbol{\varphi}$. I domini $\mathcal{C}{\mathrm{ad}}$, gli spazi delle variazioni $\mathcal{V}{\mathrm{ad}}$, i funzionali $\mathcal{P}$ e gli asterischi per le velocità virtuali delle dispense restano estensioni curvilinee, non convenzioni attribuite al libro. Un asterisco di variazione non indica una derivata temporale; in Appendice A l’asterisco che identifica un altro osservatore ha il significato dichiarato localmente.
| Manteniamo esplicitamente la variante grafica $|\cdot|$ per la norma euclidea, coincidente con $ | \cdot | $ di Paroni (§1.1), e conserviamo le norme degli spazi di funzioni. La notazione non trasferisce i teoremi lineari di esistenza e unicità ai problemi non lineari, dinamici o con contatto unilaterale. |
Figure e limiti
Le 144 immagini originali sono conservate. I diagrammi con simboli rinominati hanno legende adiacenti: $\xi\mapsto\mathbf{a}$, $\alpha\mapsto\vartheta$, $\omega\mapsto\alpha_2$ oppure $\psi$ secondo il significato, $\mathbf{f}\mapsto\mathbf{q}$. Gli assi delle figure mantengono la convenzione geometrica originaria.
La revisione riguarda la notazione. Restano corruzioni matematiche della trascrizione precedente, fra cui le due formule segnalate in §3.4 e le variazioni dell’elastica in B.1.2; i passaggi interessati sono indicati localmente. Queste formule non sono rese verificate dal solo adattamento dei simboli.