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2.2 Sforzi interni

Convenzioni di notazione

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Orientamento

La sezione sviluppa 2.2.1 definizione, 2.2.2 determinazione.

Contenuti

  • 2.2.1 Definizione
  • 2.2.2 Determinazione

2.2.1 Definizione

Consideriamo la trave di Galileo. Se nella situazione descritta a p. 37 si osserva una configurazione d’equilibrio che è praticamente orizzontale, ciò è dovuto all’esistenza di forze interne tra le “particelle” che garantiscono la coesione e fanno sì che si possa parlare di mezzo continuo. In assenza di tali forze di coesione, la trave si disgregherebbe e si vedrebbe solo un ammasso disordinato di particelle. In generale, è grazie a queste forze di coesione che si possono fabbricare oggetti che “stanno insieme”. La loro origine risale, su scala atomica, alle forze di interazione tra atomi. Il primo passo è quindi modellare tali sforzi interni nell’ambito dei mezzi continui curvilinei. Così come per la geometria, le deformazioni e gli sforzi esterni, ne postuleremo direttamente la forma senza tentare di dedurla dagli sforzi interni presenti nei “veri” oggetti tridimensionali, né tanto meno dal livello microscopico.

Definizione 2.1 (Ipotesi sugli sforzi interni). Dato che la configurazione del mezzo continuo curvilineo è $s \mapsto \mathbf{x}(s)$, si postula che al punto materiale di ascissa curvilinea $s$:

  1. ogni intorno di punti davanti al punto $s$ esercita su ogni intorno di punti dietro $s$ degli sforzi interni detti diretti
  2. applicati nel punto geometrico $\mathbf{x}(s)$,
  3. che dipendono dal punto $s$ ma non dagli intorni scelti,
  4. che si riducono a una forza $\mathbf{R}(s)$ e un momento $M(s) \mathbf{e}_3$. La forza $\mathbf{R}(s)$ è la forza interna e il momento $M(s)$ è detto momento flettente in $s$. La forza interna è un vettore che si decompone sulla base locale come \(\mathbf{R}(s)=N(s) \mathbf{t}(s)+T(s) \mathbf{n}(s) \tag{2.1}\) La componente $N(s)$ è lo sforzo normale e la componente $T(s)$ è lo sforzo tagliante in $s$.
  5. Inversamente, ogni intorno di punti dietro $s$ esercita su ogni intorno di punti davanti a $s$ degli sforzi interni detti reciproci che si riducono a una forza $\mathbf{R}^r(s)$ e a un momento $M^r(s) \mathbf{e}_3$ applicati nel punto geometrico $\mathbf{x}(s)$ e che dipendono da $s$ ma non dagli intorni scelti. Figura Gli sforzi interni reciproci a questo punto $s$ Figura Gli sforzi diretti interni a questo punto $s$ Questa modellazione degli sforzi interni adottata a priori necessita qualche commento.
  6. Occorre precisare la nozione di intorni davanti e dietro introdotti nell’ipotesi. Adotteremo le seguenti definizioni, che non sono le più generali ma sono sufficienti all’uso che faremo dell’ipotesi stessa: $\star$ Caso di un mezzo con estremità, cioè $\mathcal{I}=(0,\ell)$. Gli intorni davanti al punto $s$ sono gli intervalli aperti della forma $(s, s’’)$ e gli intorni dietro $s$ sono gli intervalli aperti della forma $(s’, s)$, con \(0 \leq s' < s < s'' \leq \ell\)
  7. Caso di un mezzo a curva chiusa, ossia $\mathcal{I}=[0, \ell)$. Si adotta una definizione che non privilegia la scelta (arbitraria) dell’origine della parametrizzazione. Sia $s_0 \in \mathcal{I}$ il punto di cui si vogliono definire gli intorni davanti e dietro. Si effettua il seguente cambio di parametro che lascia $\mathcal{I}$ invariato: \(s \mapsto \zeta= \begin{cases}s-s_{0} & \text{ se } s \geq s_{0} \\ s+\ell-s_{0} & \text{ se } s<s_{0}\end{cases}\) dove il punto $s_0$ diventa l’origine $\zeta=0$. Gli intorni davanti e dietro a $s_0$ sono, nella nuova parametrizzazione, gli intervalli aperti della forma $(0, \zeta’)$ e $(\zeta’’, \ell)$, con \(0<\zeta' \leq \zeta''<\ell\)
  8. Si tratta di un postulato e non di un risultato dimostrabile. L’ipotesi forte consiste nel supporre che le azioni di una parte sull’altra siano locali e si riducano a forze e momenti. Si potrebbero immaginare forme di interazione più complesse (momenti d’ordine superiore o interazioni non locali, ad esempio). Si valuterà la pertinenza solo in base alle conseguenze e alle previsioni ottenute da questa modellazione. Si osserva comunque che tale postulato è coerente con la modellazione degli sforzi esterni. Vedremo che è coerente anche con quanto adottato per la geometria e le deformazioni.
  9. Non adottiamo a priori il principio di azione e reazione, che consisterebbe nel postulare $\mathbf{R}^r = -\mathbf{R}$ e $M^r = -M$. Dimostreremo infatti che non è sempre vero.
  10. La definizione di forza interna e di momento flettente dipende dall’orientazione scelta per il mezzo curvilineo. Se si cambia orientazione, $\mathbf{R}$ e $M$ sono scambiati con $\mathbf{R}^r$ e $M^r$, e viceversa.
  11. La terminologia di sforzo normale per uno sforzo lungo la tangente del mezzo curvilineo può sembrare paradossale. Ha la sua legittimità di origine tridimensionale: infatti, reintroducendo le sezioni e considerando il mezzo tridimensionale, la tangente alla “linea neutra” è normale alla sezione trasversale e lo sforzo normale è la risultante delle forze superficiali normali alla sezione.

2.2.2 Determinazione

Figura Figura 2.1 - Il principio dell’introduzione dello sforzo interno: il mezzo continuo viene tagliato al punto $s$ e lo sforzo è imposto alle due estremità così creato Per determinare gli sforzi interni in pratica si usa la cosiddetta “metodologia delle sezioni di taglio”. Essa consiste in due fasi (cfr. Figura 2.1):

  1. Si considera un mezzo continuo curvilineo in equilibrio in una configurazione assegnata, soggetto a sforzi esterni;
  2. Si taglia il mezzo continuo in un punto arbitrario $s$ e si caricano i due estremi creati con gli sforzi interni corrispondenti: all’estremo a monte si applicano gli sforzi interni diretti, a valle quelli reciproci. Gli sforzi si calcolano in modo che le due parti rette ottenute siano esattamente nella stessa configurazione d’equilibrio di prima del taglio.

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