1.4 Cinematica di un mezzo continuo curvilineo
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Orientamento
La sezione sviluppa 1.4.1 descrizione lagrangiana del movimento, 1.4.2 descrizione euleriana del movimento.
Contenuti
- 1.4.1 Descrizione lagrangiana del movimento
- 1.4.2 Descrizione euleriana del movimento
In questa sezione faremo “muovere continuamente” il mezzo curvilineo considerando cambi di configurazione che dipendono da un parametro reale. In dinamica, questo parametro sarà il tempo; in problemi detti quasi-statici, in cui il mezzo è sempre in una configurazione di equilibrio ma sotto sollecitazioni variabili, il parametro servirà per descrivere la storia del carico e delle configurazioni di equilibrio associate; nell’approccio variazionale infine si introdurrà un parametro per descrivere movimenti virtuali del mezzo. Per semplificare la presentazione, in tutta la prima parte tale parametro sarà indicato con $t$ e chiamato tempo, i suoi valori saranno gli istanti. Solo nella parte dedicata ai movimenti virtuali si adotteranno notazioni specifiche per distinguere bene i movimenti virtuali da quelli reali. Ad ogni istante, il mezzo continuo curvilineo occuperà quindi una posizione (reale o virtuale) che descriveremo come una curva parametrizzata. Sono possibili due opzioni per scegliere il parametro: la descrizione detta lagrangiana in cui si seguono i punti materiali nel loro movimento e la descrizione detta euleriana dove si descrive il movimento dal punto di vista dello spazio.
1.4.1 Descrizione lagrangiana del movimento
Si sceglie di seguire i punti materiali nel loro movimento. Per questo si introduce una configurazione detta di riferimento che serve a identificare i punti materiali, esattamente come fatto per descrivere le deformazioni nella sezione precedente. L’unica differenza è che qui si considerano, non una sola configurazione deformata, ma una famiglia di tali configurazioni parametrizzate dal tempo $t$. Consideriamo il caso in cui il mezzo continuo si muove nel piano e prendiamo come configurazione di riferimento una curva piana parametrizzata dalla sua ascissa curvilinea, indicata con $x_3$ per distinguerla dall’ascissa curvilinea $s$ nella configurazione “attuale”. La configurazione di riferimento corrisponde all’applicazione \(x_3 \mapsto \mathbf{x}_{\mathrm{R}}(x_3)\) i cui vettori tangente e normale, l’angolo tangente e la curvatura sono rispettivamente dati da \(\left\{\begin{array}{l} \mathbf{t}_{\mathrm{R}}(x_3)=\frac{d \mathbf{x}_{\mathrm{R}}}{d x_3}(x_3)=\cos \vartheta_{\mathrm{R}}(x_3) \mathbf{e}_{1}+\sin \vartheta_{\mathrm{R}}(x_3) \mathbf{e}_{2}, \\ \mathbf{n}_{\mathrm{R}}(x_3)=\mathbf{e}_{3} \wedge \mathbf{t}_{\mathrm{R}}(x_3)=-\sin \vartheta_{\mathrm{R}}(x_3) \mathbf{e}_{1}+\cos \vartheta_{\mathrm{R}}(x_3) \mathbf{e}_{2}, \\ \mathrm{C}_{\mathrm{R}}(x_3)=\frac{d \vartheta_{\mathrm{R}}}{d x_3}(x_3). \end{array}\right.\) Un punto materiale è identificato dalla sua ascissa curvilinea $x_3$ nella configurazione di riferimento. Durante il moto il mezzo occupa, a ogni istante, una configurazione rappresentata da una curva piana. Nella descrizione lagrangiana manteniamo come parametro l’ascissa curvilinea di riferimento $x_3$, che in generale non coincide con l’ascissa curvilinea della configurazione corrente. Il simbolo $t$ denota il tempo o, più in generale, un parametro cinematico che descrive l’evoluzione della configurazione. La posizione del mezzo all’istante $t$ è data dall’applicazione \((x_3, t) \mapsto \mathbf{x}(x_3, t)\) dove $\mathbf{x}(x_3, t)$ indica la posizione all’istante $t$ del punto materiale che si trova all’ascissa curvilinea $x_3$ nella configurazione di riferimento. Utilizzando (1.6) e tenendo $x_{3,0}$ come punto origine, l’ascissa curvilinea all’istante $t$ del punto che nella configurazione di riferimento si trova in $x_3$ si scrive \(\mathrm{s}(x_3, t)=\int_{x_{3,0}}^{x_3}\left\|\mathbf{x}^{\prime}\left(x_3^{*}, t\right)\right\| d x_3^{*} \tag{1.30}\) dove l’apice indica la derivata parziale rispetto a $x_3$, cioè \(\mathbf{x}^{\prime}(x_3, t):=\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial x_3}(x_3, t).\) Si ha quindi \(\mathrm{s}^{\prime}(x_3, t)=\left\|\mathbf{x}^{\prime}(x_3, t)\right\|. \tag{1.31}\) I vettori unitari tangente e normale, l’angolo tangente e la curvatura sono anch’essi funzioni di $x_3$ e $t$: \(\left\{\begin{array}{l} \mathbf{t}(x_3, t)=\frac{\mathbf{x}^{\prime}(x_3, t)}{\left\|\mathbf{x}^{\prime}(x_3, t)\right\|}=\cos \vartheta(x_3, t) \mathbf{e}_{1}+\sin \vartheta(x_3, t) \mathbf{e}_{2}, \tag{1.32}\\ \mathbf{n}(x_3, t)=\mathbf{e}_{3} \wedge \mathbf{t}(x_3, t)=-\sin \vartheta(x_3, t) \mathbf{e}_{1}+\cos \vartheta(x_3, t) \mathbf{e}_{2}, \\ \mathrm{C}(x_3, t)=\frac{\vartheta^{\prime}(x_3, t)}{\left\|\mathbf{x}^{\prime}(x_3, t)\right\|} \end{array}\right.\) Introducendo la rotazione tra la configurazione di riferimento e quella attuale, si ha \(\alpha_2(x_3, t):=\vartheta(x_3, t)-\vartheta_{\mathrm{R}}(x_3, t) \tag{1.33}\) La velocità $\mathbf{v}$ dei punti materiali si ottiene derivando la posizione rispetto al tempo a $x_3$ fissato, cioè \(\mathbf{v}(x_3, t)=\dot{\mathbf{x}}(x_3, t):=\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}(x_3, t) \tag{1.34}\) Notando che $\mathbf{x}=\mathbf{x}{\mathrm{R}}+\mathbf{a}$, si ha $\mathbf{v}=\dot{\mathbf{a}}$ e la velocità risulta anche la velocità di spostamento: \(\mathbf{v}(x_3, t)=\dot{\mathbf{x}}(x_3, t)=\dot{\mathbf{a}}(x_3, t) \tag{1.35}\) L’accelerazione $\gamma$ dei punti materiali si ottiene derivando la velocità rispetto al tempo a $x_3$ fissato, cioè calcolando la derivata seconda della posizione rispetto al tempo, \(\gamma(x_3, t)=\dot{\mathbf{v}}(x_3, t)=\ddot{\mathbf{x}}(x_3, t)=\ddot{\mathbf{a}}(x_3, t) \tag{1.36}\) Se l’origine dell’ascissa curvilinea rimane fissa nel tempo, $\dot{\mathrm{s}}(x_3,t)$ rappresenta la velocità di variazione della lunghezza del tratto compreso tra l’origine e il punto materiale $x_3$. Nella descrizione lagrangiana questa quantità si collega al campo di velocità e alla configurazione del mezzo all’istante $t$. Derivando (1.31) rispetto al tempo e usando (1.34), otteniamo \(\dot{\mathrm{s}}^{\prime}=\frac{\mathbf{x}^{\prime}\cdot \dot{\mathbf{x}}^{\prime}}{\left\|\mathbf{x}^{\prime}\right\|}=\dot{\mathbf{x}}^{\prime} \cdot \mathbf{t} = \mathbf{v}^{\prime} \cdot \mathbf{t}\) È sufficiente integrare rispetto a $x_3$ per ottenere \(\dot{\mathrm{s}}(x_3, t)=\int_{x_{3,0}}^x_3 \mathbf{v}^{\prime}(x_3^*, t)\cdot \mathbf{t}(x_3^*, t)\ d x_3^*\) Notiamo che poiché $\mathrm{s}^{\prime} = 1 + \varepsilon$, si ha $\dot{\mathrm{s}}^{\prime} = \dot{\varepsilon}$ e si ottiene quindi l’espressione della velocità di deformazione di estensione: \(\dot{\varepsilon}(x_3, t)=\mathbf{v}^{\prime}(x_3, t) \cdot \mathbf{t}(x_3, t) \tag{1.37}\) La derivata temporale dell’angolo tangente, $\dot{\vartheta}$, è la velocità angolare. Poiché $\vartheta=\vartheta{\mathrm{R}}+\alpha_2$, si ha $\dot{\vartheta}=\dot{\alpha_2}$. Salvo i moti di corpo rigido, la velocità angolare dipende dal punto $x_3$; $\dot{\alpha_2}(x_3,t)$ rappresenta la velocità angolare istantanea del riferimento locale $(\mathbf{t},\mathbf{n})$ attorno all’asse $\mathbf{e}_{3}$. Dalla (1.32) otteniamo \(\dot{\mathbf{t}} = \dot{\alpha_2} \mathbf{n}, \quad \dot{\mathbf{n}} = -\dot{\alpha_2} \mathbf{t} \tag{1.38}\) ma anche \(\dot{\mathbf{t}} = \frac{\dot{\mathbf{x}}^{\prime}}{\left\|\mathbf{x}^{\prime}\right\|}-\frac{\mathbf{x}^{\prime} \cdot \dot{\mathbf{x}}^{\prime}}{\left\|\mathbf{x}^{\prime}\right\|^{3}} \mathbf{x}^{\prime} = \frac{1}{\left\|\mathbf{x}^{\prime}\right\|} \left( \mathbf{v}^{\prime} - (\mathbf{v}^{\prime}\cdot \mathbf{t})\mathbf{t} \right) = \frac{\mathbf{v}^{\prime} \cdot \mathbf{n}}{\left\|\mathbf{x}^{\prime}\right\|} \mathbf{n}\) e confrontando si deduce l’espressione della velocità di rotazione in funzione della derivata spaziale della velocità: \(\dot{\alpha_2}(x_3, t) = \frac{\mathbf{v}^{\prime}(x_3, t) \cdot \mathbf{n}(x_3, t)}{\left\|\mathbf{x}^{\prime}(x_3, t)\right\|} \tag{1.39}\) Derivando rispetto a $x_3$ ricaviamo la velocità di deformazione di flessione: $\dot{\kappa_2}=\dot{\alpha_2}^{\prime}$.
1.4.2 Descrizione euleriana del movimento
Nella descrizione euleriana, la configurazione del mezzo a ogni istante è una curva parametrizzata dalla propria ascissa curvilinea, \((s, t) \mapsto \mathbf{x}(s, t)\) I vettori unitari tangente e normale, l’angolo tangente e la curvatura si deducono allora da (1.8)-(1.10): \(\left\{\begin{array}{l} \mathbf{t}(s, t)=\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial s}(s, t)=\cos \vartheta(s, t) \mathbf{e}_{1}+\sin \vartheta(s, t) \mathbf{e}_{2} \tag{1.40}\\ \mathbf{n}(s, t)=\mathbf{e}_{3} \wedge \mathbf{t}(s, t)=-\sin \vartheta(s, t) \mathbf{e}_{1}+\cos \vartheta(s, t) \mathbf{e}_{2} \\ \mathrm{C}(s, t)=\frac{\partial \vartheta}{\partial s}(s, t) \end{array}\right.\) Si perde così il riferimento ai punti materiali; da un istante all’altro, il punto geometrico di ascissa curvilinea $s$ corrisponde in generale a due diversi punti materiali. Per recuperare questo riferimento ai punti materiali, bisogna fornire (oltre alla configurazione euleriana $\mathbf{x}$) la velocità di estensione euleriana, cioè l’applicazione \((s, t) \mapsto v(s, t)\) che dà la velocità di estensione del mezzo nel punto di ascissa curvilinea $s$ all’istante $t$. Infatti, se si identifica un punto materiale tramite la sua ascissa curvilinea $x_3$ nella configurazione del mezzo all’istante $t_0$ fissato come riferimento temporale, allora l’ascissa curvilinea di quel punto all’istante $t$ sarà $\mathrm{s}(x_3, t)$, soluzione dell’equazione differenziale \(\frac{\partial \mathrm{s}}{\partial t}(x_3, t)=v(\mathrm{s}(x_3, t), t), \quad \mathrm{s}(x_3, t_{0})=x_3\) Risolta questa equazione, nota $\mathrm{s}(x_3, t)$, si può così ricostruire l’evoluzione della posizione dei punti materiali del mezzo curvilineo con l’applicazione \((x_3, t) \mapsto \mathbf{x}(\mathrm{s}(x_3, t), t)\) Si noti che $\partial v / \partial s$ rappresenta la velocità euleriana di deformazione di estensione. La velocità di estensione euleriana serve anche a definire il campo euleriano delle velocità: \(\mathbf{v}(s, t)=\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}(s, t)+v(s, t) \mathbf{t}(s, t) \tag{1.41}\) $\mathbf{v}(s,t)$ rappresenta dunque la velocità del punto materiale che occupa l’ascissa curvilinea $s$ all’istante $t$. In generale, si usa $v$ per definire la cosiddetta derivata materiale: \(\frac{D}{D t}:=\frac{\partial}{\partial t}+v \frac{\partial}{\partial s} \quad \text{ (derivata materiale) } \tag{1.42}\) Questa derivata serve a descrivere l’evoluzione rispetto al tempo di quantità associate a un punto materiale. Quindi, se $Q(x_3, t)$ e $q(s, t)$ denotano rispettivamente i campi lagrangiano ed euleriano associati a una stessa grandezza fisica, questi due campi sono collegati da \(Q(x_3, t)=q(s(x_3, t), t)\) Derivando rispetto al tempo $t$ con il punto materiale $x_3$ fissato in entrambi i membri della relazione sopra, si ottiene \(\dot{Q}(x_3, t)=\frac{D q}{D t}(s, t)\)
Esercizio 1.3. Mostrare che il campo di velocità euleriana è la derivata materiale della posizione e che la velocità di estensione euleriana è la derivata materiale dell’ascissa curvilinea, cioè \(\mathbf{v}=\frac{D \mathbf{x}}{D t}, \quad v=\frac{D s}{D t}\) Si definisce così l’accelerazione euleriana come la derivata materiale della velocità euleriana: \(\gamma=\frac{D \mathbf{v}}{D t} \tag{1.43}\) e la velocità di rotazione euleriana è la derivata materiale dell’angolo tangente, ovvero $\frac{D \vartheta}{D t}$. Partendo dalla (1.40) e calcolando la derivata materiale di $\mathbf{t}$ si ottiene \(\frac{D \vartheta}{D t} \mathbf{n}=\frac{D \mathbf{t}}{D t}=\frac{D}{D t}\left(\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial s}\right)=\frac{\partial^{2} \mathbf{x}}{\partial s \partial t}+v \frac{\partial^{2} \mathbf{x}}{\partial s^{2}}=\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial s}-\frac{\partial v}{\partial s} \mathbf{t}\) Proiettando nel riferimento locale ( $\mathbf{t}, \mathbf{n}$ ), si ottengono le espressioni della velocità euleriana di rotazione e della velocità di deformazione di estensione in termini della derivata spaziale della velocità euleriana: \(\frac{D \vartheta}{D t}=\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial s} \cdot \mathbf{n}, \quad \frac{\partial v}{\partial s}=\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial s} \cdot \mathbf{t} \tag{1.44}\)
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