5.2 Il principio delle potenze virtuali

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Orientamento

La sezione definisce le potenze virtuali, enuncia il PPV e ne dimostra l’equivalenza con le equazioni locali di equilibrio.

Contenuti

5.2.1 Definizioni ed enunciato del PPV
5.2.2 Dalle equazioni locali di equilibrio al PPV
5.2.3 Dimostrazione dell’implicazione reciproca

Nota editoriale sulle formule. Alcune etichette testuali interne alle formule risultano corrotte nella fonte digitale. Sono conservate senza ricostruzioni congetturali; i pedici ripetuti ex sono stati ricondotti a un solo ex. Assumiamo che il mezzo continuo occupi la configurazione di equilibrio $s\mapsto\mathbf{x}(s)$. Cerchiamo una formulazione variazionale equivalente alle equazioni locali.

5.2.1 Definizioni ed enunciato del PPV

Il PPV confronta la potenza delle forze interne con quella delle forze esterne lungo ogni movimento virtuale ammesso.

Definizione 5.1 (Terminologia). Se il parametro $h$ è adimensionale, $\stackrel{}{\mathbf{a}}$ ha la dimensione di uno spostamento e le quantità seguenti hanno la dimensione di un lavoro. Se $h$ ha la dimensione del tempo, $\stackrel{}{\mathbf{a}}$ ha la dimensione di una velocità e le stesse quantità hanno la dimensione di una potenza. Il principio non dipende dalla scala scelta per $h$. Nel seguito adottiamo la terminologia della potenza virtuale, perché i campi virtuali sono derivate in $h=0$. Figura 5.1 - Mezzo curvilineo nella configurazione di equilibrio e, in grigio, una configurazione del movimento virtuale. Specifichiamo la regolarità dei campi virtuali. Nella formulazione generale ammettiamo campi regolari a tratti e un numero finito di discontinuità; nei problemi ai limiti, comportamento e vincoli restringeranno la classe ammissibile. Definizione 5.2 (Regolarità dei campi di velocità virtuale). I campi $s\mapsto\stackrel{}{\mathbf{a}}(s)$ e $s\mapsto\stackrel{}{\alpha_2}(s)$ sono regolari a tratti su $\mathcal{I}$ nel senso seguente:

sono definiti e continuamente differenziabili fuori da un insieme finito $\mathbb{S}^{*}$;

essi e le loro derivate ammettono limiti destro e sinistro nei punti di $\mathbb{S}^{*}$;

nel caso di una curva aperta ammettono limiti alle estremità;

soddisfano $\stackrel{}{\alpha_2}=\stackrel{}{\mathbf{a}}’\cdot\mathbf{n}$ in $\mathcal{I}\setminus\mathbb{S}^{}$. La classe dipende dalla configurazione $\mathbf{x}$, poiché gli eventuali punti angolosi appartengono a $\mathbb{S}^{}$. Indichiamo con $\mathcal{V}{\mathrm{tot}}(\mathbf{x})$ lo spazio vettoriale di questi campi. Le discontinuità di $\stackrel{*}{\mathbf{a}}$ rappresentano tagli virtuali. Fuori da $\mathbb{S}^{*}$ definiamo le velocità virtuali di deformazione mediante $\stackrel{*}{\varepsilon}(s)=\frac{d \stackrel{*}{\mathbf{a}}}{d s}(s) \cdot \mathbf{t}(s), \quad \stackrel{*}{\alpha_2}(s)=\frac{d \stackrel{*}{\mathbf{a}}}{d s}(s) \cdot \mathbf{n}(s), \quad \stackrel{*}{\kappa_2}(s)=\frac{d \stackrel{*}{\alpha_2}}{d s}(s) \quad \text {in} \quad \mathcal{I} \backslash \mathbb{S}^{*} \tag{5.2}$ Le forze concentrate agiscono in un insieme finito $\mathbb{P}$. Nei punti di discontinuità useremo salto e media. Se $\varphi$ ammette valori limite $\varphi^{-}$ e $\varphi^{+}$, definiamo $\left[\!\left[ \varphi \right]\!\right](s)=\varphi^{+}(s)-\varphi^{-}(s), \quad \quad\langle\varphi\rangle(s)=\frac{1}{2}\left(\varphi^{+}(s)+\varphi^{-}(s)\right). \tag{5.3}$ Per due campi $\varphi$ e $\psi$ valgono le identità $\left[\!\left[ \varphi \psi \right]\!\right]=\left[\!\left[ \varphi \right]\!\right]\langle\psi\rangle+\langle\varphi\rangle \left[\!\left[ \psi \right]\!\right], \quad \quad\langle\varphi \psi\rangle=\langle\varphi\rangle\langle\psi\rangle+\frac{1}{4} \left[\!\left[ \varphi \right]\!\right] \left[\!\left[ \psi \right]\!\right] \tag{5.4}$ Possiamo ora definire la potenza virtuale delle forze interne e quella delle forze esterne. Definizione 5.3 (Potenza virtuale di deformazione). Siano $\mathbf{R}=N\mathbf{t}+T_1\mathbf{n}$ e $M_2$ gli sforzi interni nella configurazione $s\mapsto\mathbf{x}(s)$. Per $\stackrel{*}{\mathbf{a}}\in\mathcal{V}{\mathrm{tot}}(\mathbf{x})$ definiamo $\mathrm{P}_{\mathrm{def}}[\mathbf{R}, M_2](\stackrel{*}{\mathbf{a}}):=\int_{\mathcal{I} \backslash \mathbb{S}^{*}}(N(s) \stackrel{*}{\varepsilon}(s)+M_2(s) \stackrel{*}{\kappa_2}(s)) d s+\sum_{\mathbb{S}^{*}}(\langle\mathbf{R}\rangle(s) \cdot \left[\!\left[ \stackrel{*}{\mathbf{a}} \right]\!\right](s)+\langle M_2\rangle(s) \left[\!\left[ \stackrel{*}{\alpha_2} \right]\!\right](s))$ La definizione ha tre conseguenze.

Scriveremo sempre esplicitamente gli sforzi $\mathbf{R}$ e $M_2$ da cui dipende $\mathrm{P}_{\mathrm{def}}$.

Le variabili cinematiche coniugate allo sforzo normale e al momento flettente sono, rispettivamente, la deformazione estensionale e quella flessionale.

Lo sforzo di taglio compare esplicitamente soltanto nei contributi dovuti ai salti della velocità virtuale. Definizione 5.4 (Potenza virtuale delle forze esterne). Consideriamo densità lineari di forza e momento $(\mathbf{q},m)$, azioni concentrate $(\mathcal{F}{s_i},\mathcal{M}{s_i})$ nei punti $s_i\in\mathbb{P}$ e, per una curva aperta, azioni alle estremità. Definiamo $\begin{aligned} \mathrm{P}_{\mathrm{ext}}\left[\mathcal{F}_{0}, \mathcal{M}_{0}, \cdots\right](\stackrel{*}{\mathbf{a}}) & =\mathcal{F}_{0} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}(0)+\mathcal{M}_{0} \stackrel{*}{\alpha_2}+(0)+\int_{\mathcal{I} \backslash \mathbb{S}^{*}}(\mathbf{q}(s) \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}(s)+m(s) \stackrel{*}{\alpha_2}(s)) d s \\ & +\sum_{s_{i} \in \mathbb{P}}\left(\mathcal{F}_{s_{i}} \cdot\langle\stackrel{*}{\mathbf{a}}\rangle\left(s_{i}\right)+\mathcal{M}_{s_{i}}\langle\stackrel{*}{\alpha_2}\rangle\left(s_{i}\right)\right)+\mathcal{F}_{\ell} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}-(\ell)+\mathcal{M}_{\ell} \stackrel{*}{\alpha_2}-(\ell) \end{aligned}$

Ometteremo dall’indicazione di $\mathrm{P}_{\mathrm{ext}}$ l’elenco dei carichi quando non vi sia ambiguità.

Ogni forza compie potenza con la velocità del proprio punto di applicazione; ogni coppia con la corrispondente velocità di rotazione. I contributi si sommano.

Se il campo virtuale è discontinuo nel punto di applicazione di una forza concentrata, impieghiamo il suo valore medio.

Per una curva chiusa non compaiono contributi alle estremità. Enunciamo ora il principio. Proposizione 5.1 (Principio delle potenze virtuali). Consideriamo un mezzo curvilineo

nella configurazione $s\mapsto\mathbf{x}(s)$, con $s\in\mathcal{I}=(0,\ell)$ per una curva aperta oppure $s\in\mathcal{I}=[0,\ell)$ per una curva chiusa;

soggetto alle densità $(\mathbf{q},m)$, alle azioni concentrate nei punti di $\mathbb{P}$ e, quando esistono, alle azioni alle estremità. Gli sforzi interni $(\mathbf{R},M_2)$, continui in $\mathcal{I}\setminus\mathbb{P}$ e continui da sinistra nei punti di $\mathbb{P}$, soddisfano le equazioni locali di equilibrio se e solo se $\mathrm{P}_{\mathrm{def}}[\mathbf{R}, M_2](\stackrel{*}{\mathbf{a}})=\mathrm{P}_{\mathrm{ext}}(\stackrel{*}{\mathbf{a}}), \quad \forall \stackrel{*}{\mathbf{a}} \in \mathcal{V}_{t o t}(\mathbf{x}) \tag{5.5}$ All’equilibrio, dunque, le potenze virtuali delle forze interne ed esterne coincidono per ogni velocità virtuale.

Dimostrazione. Supponiamo dapprima soddisfatte le equazioni locali di equilibrio. Integrando per parti la potenza degli sforzi interni su ciascun intervallo di regolarità, le equazioni nel continuo annullano i termini integrali e le condizioni di salto e agli estremi trasformano i termini di bordo nella potenza delle azioni esterne: si ottiene (5.5). Viceversa, assumiamo (5.5). Scegliendo velocità virtuali a supporto compatto in un singolo intervallo, il lemma fondamentale del calcolo delle variazioni restituisce le equazioni di equilibrio nel continuo. Lasciando poi arbitrarie, una alla volta, le traslazioni e le rotazioni virtuali nei punti di discontinuità e agli estremi, si ricavano le condizioni di salto e le condizioni naturali al bordo. $\square$

5.2.2 Dalle equazioni locali di equilibrio al PPV

Poniamo $\mathbb{P}^{}=\mathbb{P}\cup\mathbb{S}^{}$. Questo insieme raccoglie i punti di discontinuità degli sforzi, del campo virtuale o delle sue derivate, nonché i punti angolosi della configurazione. Per la Proposizione 2.3, gli sforzi interni di un mezzo in equilibrio soddisfano le equazioni locali e le condizioni di salto.

Nota. Qui il PPV è un teorema equivalente alla definizione di equilibrio del capitolo 2. In altre impostazioni può essere assunto come principio fondamentale e usato per definire gli sforzi interni. Siano dunque $(\mathbf{R},M_2)$ campi di sforzo che soddisfano le equazioni locali e sia $\stackrel{}{\mathbf{a}}\in\mathcal{V}_{\mathrm{tot}}(\mathbf{x})$. Dall’equilibrio delle forze abbiamo $\mathbf{0}=\frac{d \mathbf{R}}{d s}(s)+\mathbf{q}(s), \quad \forall s \in \mathcal{I} \backslash \mathbb{P} \tag{5.6}$ Moltiplichiamo scalarmente per $\stackrel{}{\mathbf{a}}$ e integriamo sugli intervalli di regolarità: $0=\int_{(0, \ell) \backslash\left(\mathbb{P}^{*} \cap(0, \ell)\right)} \frac{d \mathbf{R}}{d s}(s) \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}(s) d s+\int_{\mathcal{I} \backslash \mathbb{S}^{*}} \mathbf{q}(s) \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}(s) d s \tag{5.7}$ Nel secondo integrale possiamo escludere gli insiemi finiti $\mathbb{P}$ e $\mathbb{S}^{}$ senza modificarne il valore. L’equilibrio dei momenti è $0=\frac{d M_2}{d s}(s)+T_1(s)+m(s), \quad \forall s \in \mathcal{I} \backslash \mathbb{P} \tag{5.8}$ Moltiplichiamo per $\stackrel{}{\alpha_2}$ e integriamo: $0=\int_{(0, \ell) \backslash\left(\mathbb{P}^{*} \cap(0, \ell)\right)} \frac{d M_2}{d s}(s) \stackrel{*}{\alpha_2}(s) d s+\int_{\mathcal{I} \backslash \mathbb{S}^{*}}(T_1(s)+m(s)) \stackrel{*}{\alpha_2}(s) d s \tag{5.9}$ Poiché i punti esclusi hanno misura nulla, i due integrali sono definiti su $\mathcal{I}\setminus\mathbb{S}^{}$. Sommando le relazioni precedenti otteniamo $0=\int_{(0, \ell) \backslash\left(\mathbb{P}^{*} \cap(0, \ell)\right)}\left(\frac{d \mathbf{R}}{d s}(s) \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}(s)+\frac{d M_2}{d s}(s) \stackrel{*}{\alpha_2}(s)\right) d s+\int_{\mathcal{I} \backslash \mathbb{S}^{*}}(T_1(s) \stackrel{*}{\alpha_2}(s)+\mathbf{q}(s) \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}(s)+m(s) \stackrel{*}{\alpha_2}(s)) d s$ Riscriviamo il primo integrando mediante la regola di derivazione del prodotto: $\frac{d \mathbf{R}}{d s}(s) \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}(s)+\frac{d M_2}{d s}(s) \stackrel{*}{\alpha_2}(s)=\frac{d}{d s}(\mathbf{R} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}+M_2 \stackrel{*}{\alpha_2})(s)-\mathbf{R}(s) \cdot \frac{d \stackrel{*}{\mathbf{a}}}{d s}(s)-M_2(s) \frac{d \stackrel{*}{\alpha_2}}{d s}(s)$ Integriamo quindi il termine di derivata totale su ciascun intervallo di regolarità e sommiamo i contributi: $\begin{aligned} 0 & =-\int_{\mathcal{I} \backslash \mathbb{S}^{*}}\left(\mathbf{R}(s) \cdot \frac{d \stackrel{*}{\mathbf{a}}}{d s}(s)+M_2(s) \frac{d \stackrel{*}{\alpha_2}}{d s}(s)\right) d s+(\mathbf{R} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}+M_2 \stackrel{*}{\alpha_2})^{+}(\ell)-(\mathbf{R} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}+M_2 \stackrel{*}{\alpha_2})^{-}(0) \\ & +\int_{\mathcal{I} \backslash \mathbb{S}^{*}}(T_1(s) \stackrel{*}{\alpha_2}(s)+\mathbf{q}(s) \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}(s)+m(s) \stackrel{*}{\alpha_2}(s)) d s-\sum_{s_{i} \in \mathbb{P}^{*} \cap(0, \ell)} \left[\!\left[ \mathbf{R} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}+M_2 \stackrel{*}{\alpha_2} \right]\!\right]\left(s_{i}\right) \tag{5.10} \end{aligned}$ Estendiamo il primo integrale a $\mathcal{I}\setminus\mathbb{S}^{}$, poiché i punti aggiunti hanno misura nulla. Dalla decomposizione $\mathbf{R}=N\mathbf{t}+T_1\mathbf{n}$ e dalle relazioni cinematiche $\stackrel{*}{\alpha_2}(s)=\frac{d \stackrel{*}{\mathbf{a}}}{d s}(s) \cdot \mathbf{n}(s), \quad \stackrel{*}{\varepsilon}(s)=\frac{d \stackrel{*}{\mathbf{a}}}{d s}(s) \cdot \mathbf{t}(s), \quad \stackrel{*}{\kappa_2}(s)=\frac{d \stackrel{*}{\alpha_2}}{d s}(s)$ segue $\mathbf{R}(s) \cdot \frac{d \stackrel{*}{\mathbf{a}}}{d s}(s)-T_1(s) \stackrel{*}{\alpha_2}(s)=N(s) \frac{d \stackrel{*}{\mathbf{a}}}{d s}(s) \cdot \mathbf{t}(s)+T_1(s) \frac{d \stackrel{*}{\mathbf{a}}}{d s}(s) \cdot \mathbf{n}(s)-T_1(s) \frac{d \stackrel{*}{\mathbf{a}}}{d s}(s) \cdot \mathbf{n}(s)=N(s) \stackrel{*}{\varepsilon}(s)$ La (5.10) diventa pertanto $\begin{aligned} 0 & =-\int_{\mathcal{I} \backslash \mathbb{S}^{*}}(N(s) \stackrel{*}{\varepsilon}(s)+M_2(s) \stackrel{*}{\kappa_2}(s)) d s+\int_{\mathcal{I} \backslash \mathbb{S}^{*}}(\mathbf{q}(s) \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}(s)+m(s) \stackrel{*}{\alpha_2}(s)) d s \\ & +(\mathbf{R} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}+M_2 \stackrel{*}{\alpha_2})^{-}(\ell)-(\mathbf{R} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}+M_2 \stackrel{*}{\alpha_2})^{+}(0)-\sum_{s_{i} \in \mathbb{P}^{*} \cap(0, \ell)} \left[\!\left[ \mathbf{R} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}+M_2 \stackrel{*}{\alpha_2} \right]\!\right]\left(s_{i}\right) \tag{5.11} \end{aligned}$ Usando la (5.4), riscriviamo i termini di salto nella forma $\left[\!\left[ \mathbf{R} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}+M_2 \stackrel{*}{\alpha_2} \right]\!\right]=\langle\mathbf{R}\rangle \cdot \left[\!\left[ \stackrel{*}{\mathbf{a}} \right]\!\right]+\langle M_2\rangle \left[\!\left[ \stackrel{*}{\alpha_2} \right]\!\right]+\left[\!\left[ \mathbf{R} \right]\!\right] \cdot\langle\stackrel{*}{\mathbf{a}}\rangle+\left[\!\left[ M_2 \right]\!\right]\langle\stackrel{*}{\alpha_2}\rangle.$ Distinguiamo le curve aperte da quelle chiuse.

Curva aperta. Per $\mathcal{I}=(0,\ell)$ le condizioni alle estremità sono $\mathbf{R}^{+}(0)=-\mathcal{F}_{0}, \quad M_2^{+}(0)=-\mathcal{M}_{0}, \quad \mathbf{R}^{-}(\ell)=\mathcal{F}_{\ell}, \quad M_2^{-}(\ell)=\mathcal{M}_{\ell} \tag{5.12}$ mentre le condizioni di salto nei punti di $\mathbb{P}$ sono $\left[\!\left[ \mathbf{R} \right]\!\right]\left(s_{i}\right)=-\mathcal{F}_{s_{i}}, \quad \left[\!\left[ M_2 \right]\!\right]\left(s_{i}\right)=-\mathcal{M}_{s_{i}}, \quad \forall s_{i} \in \mathbb{P} \tag{5.13}$ Poiché gli sforzi possono saltare soltanto in $\mathbb{P}$ e i campi virtuali soltanto in $\mathbb{S}^{}$, otteniamo $\sum_{s_{i} \in \mathbb{P}^{*} \cap(0, \ell)} \left[\!\left[ \mathbf{R} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}+M_2 \stackrel{*}{\alpha_2} \right]\!\right]\left(s_{i}\right)=\sum_{s_{i} \in \mathbb{S}^{*}}(\langle\mathbf{R}\rangle \cdot \left[\!\left[ \stackrel{*}{\mathbf{a}} \right]\!\right]+\langle M_2\rangle \left[\!\left[ \stackrel{*}{\alpha_2} \right]\!\right])\left(s_{i}\right)-\sum_{s_{i} \in \mathbb{P}}\left(\mathcal{F}_{s_{i}} \cdot\langle\stackrel{*}{\mathbf{a}}\rangle\left(s_{i}\right)+\mathcal{M}_{s_{i}}\langle\stackrel{*}{\alpha_2}\rangle\left(s_{i}\right)\right). \tag{5.14}$ Sostituendo le (5.12) e (5.14) nella (5.11) ricaviamo $$ \begin{aligned} & \int_{\mathcal{I} \backslash \mathbb{S}^{}}(N(s) \stackrel{}{\varepsilon}(s)+M_2(s) \stackrel{}{\kappa_2}(s)) d s+\sum_{s_{i} \in \mathbb{S}^{}}(\langle\mathbf{R}\rangle \cdot \left[!\left[ \stackrel{}{\mathbf{a}} \right]!\right]+\langle M_2\rangle \left[!\left[ \stackrel{}{\alpha_2} \right]!\right])\left(s_{i}\right)
= & \int_{\mathcal{I} \backslash \mathbb{S}^{}}(\mathbf{q}(s) \cdot \stackrel{}{\mathbf{a}}(s)+m(s) \stackrel{}{\alpha_2}(s)) d s+\sum_{s_{i} \in \mathbb{P}}\left(\mathcal{F}{s{i}} \cdot\langle\stackrel{}{\mathbf{a}}\rangle\left(s_{i}\right)+\mathcal{M}_{s_{i}}\langle\stackrel{}{\alpha_2}\rangle\left(s_{i}\right)\right) \tag{5.15}

& \mathcal{F}{0} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}(0)+\mathcal{M}{0} \stackrel{}{\alpha_2}+(0)+\mathcal{F}_{\ell} \cdot \stackrel{}{\mathbf{a}}-(\ell)+\mathcal{M}{\ell} \stackrel{*}{\alpha_2}-(\ell) \end{aligned} $Il primo membro è la potenza virtuale di deformazione e il secondo è la potenza virtuale delle forze esterne. Poiché $\stackrel{*}{\mathbf{a}}$ è arbitrario,$ \mathrm{P}{\mathrm{def}}\mathbf{R}, M_2=\mathrm{P}{\mathrm{ext}}(\stackrel{*}{\mathbf{a}}), \quad \forall \stackrel{*}{\mathbf{a}} \in \mathcal{V}{\mathrm{tot}}(\mathbf{x}) $$ che è il PPV.

Curva chiusa. Per $\mathcal{I}=[0,\ell)$ vale $(\mathbf{R} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}+M_2 \stackrel{*}{\alpha_2})^{+}(0)-(\mathbf{R} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}+M_2 \stackrel{*}{\alpha_2})^{-}(\ell)=\left[\!\left[ \mathbf{R} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}+M_2 \stackrel{*}{\alpha_2} \right]\!\right](0)$ e la seconda riga della (5.11) si raccoglie in una somma di salti. Usando la (5.13) otteniamo $\sum_{s_{i} \in \mathbb{P}^{*}} \left[\!\left[ \mathbf{R} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}+M_2 \stackrel{*}{\alpha_2} \right]\!\right]\left(s_{i}\right)=\sum_{s_{i} \in \mathbb{S}^{*}}(\langle\mathbf{R}\rangle \cdot \left[\!\left[ \stackrel{*}{\mathbf{a}} \right]\!\right]+\langle M_2\rangle \left[\!\left[ \stackrel{*}{\alpha_2} \right]\!\right])\left(s_{i}\right)-\sum_{s_{i} \in \mathbb{P}}\left(\mathcal{F}_{s_{i}} \cdot\langle\stackrel{*}{\mathbf{a}}\rangle\left(s_{i}\right)+\mathcal{M}_{s_{i}}\langle\stackrel{*}{\alpha_2}\rangle\left(s_{i}\right)\right)$ La sostituzione nella (5.11) fornisce $\begin{aligned} & \int_{\mathcal{I} \backslash \mathbb{S}^{*}}(N(s) \stackrel{*}{\varepsilon}(s)+M_2(s) \stackrel{*}{\kappa_2}(s)) d s+\sum_{s_{i} \in \mathbb{S}^{*}}(\langle\mathbf{R}\rangle \cdot \left[\!\left[ \stackrel{*}{\mathbf{a}} \right]\!\right]+\langle M_2\rangle \left[\!\left[ \stackrel{*}{\alpha_2} \right]\!\right])\left(s_{i}\right) \\ = & \int_{\mathcal{I} \backslash \mathbb{S}^{*}}(\mathbf{q}(s) \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}(s)+m(s) \stackrel{*}{\alpha_2}(s)) d s+\sum_{s_{i} \in \mathbb{P}}\left(\mathcal{F}_{s_{i}} \cdot\langle\stackrel{*}{\mathbf{a}}\rangle\left(s_{i}\right)+\mathcal{M}_{s_{i}}\langle\stackrel{*}{\alpha_2}\rangle\left(s_{i}\right)\right) \tag{5.16} \end{aligned}$ che coincide con il PPV per una curva chiusa.
5.2.3 Dimostrazione dell’implicazione reciproca

La dimostrazione può essere omessa in una prima lettura. Assumiamo che gli sforzi $(\mathbf{R},M_2)$ abbiano la regolarità richiesta e soddisfino il PPV. In entrambi i casi, aperto e chiuso, possiamo scrivere $\int_{\mathcal{I} \backslash \mathbb{S}^{*}}\left(N(s) \mathbf{t}(s) \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}^{\prime}(s)+M_2(s) \stackrel{*}{\alpha_2}^{\prime}(s)\right) d s+\sum_{s_{i} \in \mathbb{S}^{*}}(\langle\mathbf{R}\rangle \cdot \left[\!\left[ \stackrel{*}{\mathbf{a}} \right]\!\right]+\langle M_2\rangle \left[\!\left[ \stackrel{*}{\alpha_2} \right]\!\right])\left(s_{i}\right)=\mathrm{P}_{\mathrm{ext}}(\stackrel{*}{\mathbf{a}}), \quad \forall \stackrel{*}{\mathbf{a}} \in \mathcal{V}_{\mathrm{tot}}(\mathbf{x}) \tag{5.17}$ dove $\stackrel{}{\alpha_2}=\stackrel{}{\mathbf{a}}’\cdot\mathbf{n}$ e l’apice denota la derivata rispetto a $s$. Scegliamo ora un campo di velocità rigido: $\stackrel{*}{\mathbf{a}}(s)=\mathbf{c}+\stackrel{*}{\alpha_2} \mathbf{e}_{3} \wedge \mathbf{x}(s), \quad \mathbf{c} \in \mathbb{R}^{2}, \quad \stackrel{*}{\alpha_2} \in \mathbb{R}.$ Esso soddisfa $\stackrel{}{\mathbf{a}}’\cdot\mathbf{t}=0$ e $\stackrel{}{\alpha_2}(s)=\stackrel{}{\alpha_2}$. La (5.17) implica quindi che la potenza delle forze esterne sia nulla. $0=\left(\sum_{s_{i} \in \mathbb{P} \cup\{0, \ell\}} \mathcal{F}_{s_{i}}+\int_{\mathcal{I}} \mathbf{q}(s) d s\right) \cdot \mathbf{c}+\left(\sum_{s_{i} \in \mathbb{P} \cup\{0, \ell\}}\left(\mathcal{M}_{s_{i}}+\mathbf{x}\left(s_{i}\right) \mathbin{\wedge_2} \mathcal{F}_{s_{i}}\right)+\int_{\mathcal{I}}(m(s)+\mathbf{x}(s) \mathbin{\wedge_2} \mathbf{q}(s)) d s\right) \stackrel{*}{\alpha_2}$ Poiché l’identità vale per ogni $\mathbf{c}\in\mathbb{R}^2$ e ogni $\stackrel{}{\alpha_2}\in\mathbb{R}$, risultante e momento risultante dei carichi esterni sono nulli. Il capitolo 2 garantisce allora l’esistenza di una distribuzione $(\tilde{\mathbf{R}},\tilde{M}_2)$ che soddisfa le equazioni locali e quindi, per la Proposizione 5.1, il PPV. $\mathrm{P}_{\mathrm{def}}[\tilde{\mathbf{R}}, \tilde{M}_2]\left(\stackrel{*}{\mathbf{a}}^{\prime}\right)=\mathrm{P}_{\mathrm{ext}}(\stackrel{*}{\mathbf{a}}), \quad \forall \stackrel{*}{\mathbf{a}} \in \mathcal{V}_{\mathrm{tot}}(\mathbf{x})$ Sottraendo questa identità dalla (5.17) e ponendo $\delta N=N-\tilde{N}, \quad \delta M_2=M_2-\tilde{M}_2$ otteniamo $\int_{\mathcal{I} \backslash \mathbb{S}^{*}}\left(\delta N \stackrel{*}{\mathbf{a}}^{\prime} \cdot \mathbf{t}+\delta M_2\left(\stackrel{*}{\mathbf{a}}^{\prime} \cdot \mathbf{n}\right)^{\prime}\right)(s) d s+\sum_{s_{i} \in \mathbb{S}^{*}}\left(\langle\delta \mathbf{R}\rangle \cdot \left[\!\left[ \stackrel{*}{\mathbf{a}} \right]\!\right]+\langle\delta M_2\rangle \left[\!\left[ \stackrel{*}{\mathbf{a}}^{\prime} \cdot \mathbf{n} \right]\!\right]\right)\left(s_{i}\right)=0, \quad \forall \stackrel{*}{\mathbf{a}} \in \mathcal{V}_{\mathrm{tot}}(\mathbf{x}) \tag{5.18}$ Resta da caratterizzare i campi $\delta\mathbf{R}$ e $\delta M_2$. Distinguiamo ancora curve aperte e chiuse.

Curva aperta. Dimostriamo in tre passaggi che $\delta\mathbf{R}=\mathbf{0}$ e $\delta M_2=0$. Scegliamo anzitutto $\stackrel{*}{\mathbf{a}}(s)=\int_{0}^{s}\left(\int_{0}^{\zeta} \delta M_2(\sigma) d \sigma\right) \mathbf{n}(\zeta) d \zeta^{2}$ Questo campo è continuo e regolare a tratti, con derivata $\stackrel{*}{\mathbf{a}}^{\prime}(s)=\left(\int_{0}^{s} \delta M_2(\zeta) d \zeta\right) \mathbf{n}(s)$ La velocità virtuale estensionale è nulla, mentre $\stackrel{*}{\alpha_2}(s)=\stackrel{*}{\mathbf{a}^{\prime}}(s) \cdot \mathbf{n}(s)=\int_{0}^{s} \delta M_2(\zeta) d \zeta$ è continua e soddisfa $\stackrel{}{\alpha_2}’=\delta M_2$ fuori da $\mathbb{P}$. La (5.18) dà $\int_{\mathcal{I}} \delta M_2(s)^{2} d s=0$ Nota. Il campo può essere moltiplicato per una costante avente le dimensioni necessarie. Ne segue $\delta M_2=0$ quasi ovunque e, per la regolarità assunta, ovunque. $\int_{\mathcal{I} \backslash \mathbb{S}^{*}} \delta N(s) \mathbf{t}(s) \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}^{\prime}(s) d s+\sum_{s_{i} \in \mathbb{S}^{*}}\langle\delta \mathbf{R}\rangle\left(s_{i}\right) \cdot \left[\!\left[ \stackrel{*}{\mathbf{a}} \right]\!\right]\left(s_{i}\right)=0, \quad \forall \stackrel{*}{\mathbf{a}} \in \mathcal{V}_{\mathrm{tot}}(\mathbf{x}) \tag{5.19}$ Scegliamo ora $\stackrel{*}{\mathbf{a}}(s)=\int_{0}^{s} \delta N(\zeta) \mathbf{t}(\zeta) d \zeta.^{3}$ Questo campo è continuo e regolare a tratti, con $\stackrel{}{\mathbf{a}}’=\delta N\mathbf{t}$. La (5.18) fornisce $\int_{\mathcal{I}} \delta N(s)^{2} d s=0$ Pertanto $\delta N=0$ quasi ovunque e la (5.19) si riduce a $\sum_{s_{i} \in \mathbb{S}^{*}}\langle\delta \mathbf{R}\rangle\left(s_{i}\right) \cdot \left[\!\left[ \stackrel{*}{\mathbf{a}} \right]\!\right]\left(s_{i}\right)=0, \quad \forall \stackrel{*}{\mathbf{a}} \in \mathcal{V}_{\mathrm{tot}} \tag{5.20}$ Sia infine $s_0\in(0,\ell)$ arbitrario e scegliamo $\stackrel{*}{\mathbf{a}}(s)=\varphi(s)\langle\delta \mathbf{R}\rangle\left(s_{0}\right) \quad \text {— sì,} \quad \varphi(s)= \begin{cases}0 & \text {S} s<s_{0} \\ 1 & \text {se non}\end{cases}$ Il campo salta soltanto in $s_0$. Sostituendolo nella (5.20) otteniamo $\langle\delta\mathbf{R}\rangle(s_0)=\mathbf{0}$. L’arbitrarietà di $s_0$ e la continuità da sinistra concludono la dimostrazione per la curva aperta.

Curva chiusa. I primi due campi usati sopra non sono periodici. Inoltre gli sforzi di equilibrio di una curva chiusa sono determinati soltanto a meno di un vettore costante $\mathbf{R}0$ e di un momento costante $M{2,0}$. Adattiamo quindi la costruzione e indichiamo con una barra la media lungo $\mathcal{I}$: $\bar{\varphi}:=\frac{1}{\ell} \int_{0}^{\ell} \varphi(s) d s$ Nota. Vale la stessa osservazione dimensionale fatta nel caso aperto. Definiamo $\stackrel{*}{\varepsilon}(s)=\delta N(s)-\mathbf{R}_{0} \cdot \mathbf{t}(s), \quad \stackrel{*}{\kappa_2}(s) \ell^{2}=\delta M_2(s)-M_{2,0}+\mathbf{x}(s) \mathbin{\wedge_2} \mathbf{R}_{0}{ }^{4} \tag{5.21}$ Scegliamo $\mathbf{R}0$ e $M{2,0}$ affinché le medie seguenti siano nulle: $\overline{\stackrel{*}{\kappa_2}}=0, \quad \overline{\stackrel{*}{\varepsilon} \mathbf{t}-\stackrel{*}{\kappa_2} \mathbf{e}_{3} \wedge \mathbf{x}}=\mathbf{0}. \tag{5.22}$ Mostriamo che la (5.22) determina tali costanti. La prima condizione fornisce $M_{2,0}=\overline{\delta M_2}+\overline{\mathbf{x}} \mathbin{\wedge_2} \mathbf{R}_{0} \tag{5.23}$ La seconda conduce a un sistema lineare in $\mathbf{R}0$: $\overline{\mathbf{R}_{0} \cdot \mathbf{t} \mathbf{t}}+\overline{\mathbf{R}_{0} \cdot \mathbf{y} \mathbf{y}}=\overline{\delta N \mathbf{t}}-\overline{\delta M_2 \mathbf{r}} \quad \text {— sì,} \quad \ell \mathbf{r}=\mathbf{e}_{3} \wedge(\mathbf{x}-\overline{\mathbf{x}})$ Per dimostrarne l’invertibilità, consideriamo il sistema omogeneo $\overline{\mathbf{R}_{0} \cdot \mathbf{t} \mathbf{t}}+\overline{\mathbf{R}_{0} \cdot \mathbf{r} \mathbf{r}}=\mathbf{0} \quad \Longrightarrow \quad \mathbf{R}_{0}=\mathbf{0}$ Moltiplicando scalarmente per $\mathbf{R}_0$ otteniamo $\overline{\left(\mathbf{R}_{0} \cdot \mathbf{t}\right)^{2}+\left(\mathbf{R}_{0} \cdot \mathbf{r}\right)^{2}}=0$ L’integrale può annullarsi soltanto se $\mathbf{R}_0\cdot\mathbf{t}=\mathbf{R}_0\cdot\mathbf{r}=0$. Queste condizioni implicano $\mathbf{R}_0=\mathbf{0}$; la scelta di $\mathbf{R}_0$ e $M{2,0}$ è quindi unica. Integrando $\stackrel{}{\kappa_2}$ otteniamo la velocità virtuale di rotazione, a meno di una costante: $\stackrel{*}{\alpha_2}(s)=\stackrel{*}{\alpha}_{2,0}+\int_{0}^{s} \stackrel{*}{\kappa_2}(\zeta) d \zeta=\frac{1}{\ell^{2}} \int_{0}^{s}\left(\delta M_2(\zeta)-M_{2,0}+\mathbf{x}(\zeta) \mathbin{\wedge_2} \mathbf{R}_{0}\right) d \zeta$ Poiché $\overline{\stackrel{}{\kappa_2}}=0$, il campo $\stackrel{}{\alpha_2}$ è periodico. Integrando $\stackrel{}{\mathbf{a}}’=\stackrel{}{\varepsilon}\mathbf{t}+\stackrel{}{\alpha_2}\mathbf{n}$ otteniamo $\stackrel{*}{\mathbf{a}}(s)=\stackrel{*}{\mathbf{a}}_{0}+\int_{0}^{s}(\stackrel{*}{\varepsilon}(\zeta) \mathbf{t}(\zeta)+\stackrel{*}{\alpha_2}(\zeta) \mathbf{n}(\zeta)) d \zeta$ La seconda condizione della (5.22) implica $\stackrel{*}{\mathbf{a}}(\ell) / \ell-\stackrel{*}{\mathbf{a}}(0) \ell=\overline{\stackrel{*}{\varepsilon} \mathbf{t}+\stackrel{*}{\alpha_2} \mathbf{n}}=\overline{\stackrel{*}{\varepsilon} \mathbf{t}+\stackrel{*}{\alpha_2} \mathbf{e}_{3} \wedge \mathbf{x}^{\prime}}=\overline{\stackrel{*}{\varepsilon} \mathbf{t}+\left(\stackrel{*}{\alpha_2} \mathbf{e}_{3} \wedge \mathbf{x}\right)^{\prime}-\stackrel{*}{\kappa_2} \mathbf{e}_{3} \wedge \mathbf{x}}=\overline{\stackrel{*}{\varepsilon} \mathbf{t}-\stackrel{*}{\kappa_2} \mathbf{e}_{3} \wedge \mathbf{x}}=\mathbf{0}$ dove abbiamo usato la periodicità di $\stackrel{}{\alpha_2}$ e $\mathbf{x}$. Anche $\stackrel{}{\mathbf{a}}$ è dunque periodico. Nota. Il fattore $\ell^2$ in (5.21) rende compatibili le dimensioni di $\stackrel{}{\kappa_2}$ e $\stackrel{}{\varepsilon}$. Sostituendo la (5.21) nella (5.18) e usando la notazione di media otteniamo $0=\overline{\delta N^{*} \stackrel{*}{\varepsilon}+\delta M_2^{*} \stackrel{*}{\kappa_2}}=\overline{\stackrel{*}{\varepsilon}^{2}+\stackrel{*}{\varepsilon} \mathbf{t} \cdot \mathbf{R}_{0}+\ell^{2} \stackrel{*}{\kappa_2}^{2}+\stackrel{*}{\kappa_2} M_{2,0}-\stackrel{*}{\kappa_2} \mathbf{x} \mathbin{\wedge_2} \mathbf{R}_{0}}=\overline{\stackrel{*}{\varepsilon} 2+\ell^{2} \stackrel{*}{\kappa_2^{2}}}$ Le (5.22)–(5.23) annullano i termini misti. Segue $\stackrel{}{\varepsilon}=\stackrel{}{\kappa_2}=0$ e quindi $\delta N=\mathbf{R}_{0} \cdot \mathbf{t}, \quad \delta M_2=M_{2,0}-\mathbf{x} \mathbin{\wedge_2} \mathbf{R}_{0} \tag{5.24}$ Per continuità, le relazioni valgono in tutto il dominio. Esse soddisfano automaticamente le condizioni (5.22), perciò $\mathbf{R}0$ e $M{2,0}$ rappresentano l’indeterminazione propria della curva chiusa. Sostituendo nella (5.18) otteniamo, per ogni campo virtuale, \(\begin{aligned} 0 & =\int_{\mathcal{I} \backslash \mathbb{S}^{*}}\left(\mathbf{R}_{0} \cdot \mathbf{t} \stackrel{*}{\mathbf{a}}^{\prime} \cdot \mathbf{t}+\delta M_2\left(\stackrel{*}{\mathbf{a}}^{\prime} \cdot \mathbf{n}\right)^{\prime}\right) d s+\sum_{\mathbb{S}^{*}}\left(\langle\delta \mathbf{R}\rangle \cdot \left[\!\left[ \stackrel{*}{\mathbf{a}} \right]\!\right]+\delta M_2 \left[\!\left[ \stackrel{*}{\mathbf{a}}^{\prime} \cdot \mathbf{n} \right]\!\right]\right) \\ & =\int_{\mathcal{I} \backslash \mathbb{S}^{*}}\left(\mathbf{R}_{0} \cdot \mathbf{t} \stackrel{*}{\mathbf{a}}^{\prime} \cdot \mathbf{t}+\mathbf{R}_{0} \cdot \mathbf{n} \stackrel{*}{\mathbf{a}}^{\prime} \cdot \mathbf{n}+\left(\delta M_2 \stackrel{*}{\mathbf{a}}^{\prime} \cdot \mathbf{n}\right)^{\prime}\right) d s+\sum_{\mathbb{S}^{*}}\left(\langle\delta \mathbf{R}\rangle \cdot \left[\!\left[ \stackrel{*}{\mathbf{a}} \right]\!\right]+\left[\!\left[ \delta M_2 \stackrel{*}{\mathbf{a}}^{\prime} \cdot \mathbf{n} \right]\!\right]\right) \\ & =\int_{\mathcal{I} \backslash \mathbb{S}^{*}} \mathbf{R}_{0} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}^{\prime} d s+\sum_{\mathbb{S}^{*}}\langle\delta \mathbf{R}\rangle \cdot \left[\!\left[ \stackrel{*}{\mathbf{a}} \right]\!\right]+\int_{\mathcal{I} \backslash \mathbb{S}^{*}}\left(\delta M_2 \stackrel{*}{\mathbf{a}}^{\prime} \cdot \mathbf{n}\right)^{\prime} d s+\sum_{\mathbb{S}^{*}} \left[\!\left[ \delta M_2 \stackrel{*}{\mathbf{a}}^{\prime} \cdot \mathbf{n} \right]\!\right] \tag{5.25} \end{aligned}\) Abbiamo integrato per parti il termine con $\delta M_2$ e usato $\delta M_2’=-\mathbf{R}0\cdot\mathbf{n}$. Per una curva chiusa vale $\int_{\mathcal{I} \backslash \mathbb{S}^{*}} \varphi^{\prime}(s) d s+\sum_{\mathbb{S}^{*}} \left[\!\left[ \varphi \right]\!\right]\left(s_{i}\right)=0$ Questa identità elimina dalla (5.25) i termini con $\delta M_2$ e conduce a $\sum_{s_{i} \in \mathbb{S}^{*}}\left(\langle\delta \mathbf{R}\rangle\left(s_{i}\right)-\mathbf{R}_{0}\right) \cdot \left[\!\left[ \stackrel{*}{\mathbf{a}} \right]\!\right]\left(s_{i}\right)=0, \quad \forall \stackrel{*}{\mathbf{a}} \in \mathcal{V}_{\mathrm{tot}}(\mathbf{x}) \tag{5.26}$ Scegliendo un campo virtuale con un solo salto arbitrario deduciamo $\langle\delta\mathbf{R}\rangle=\mathbf{R}_0$ e quindi $\delta\mathbf{R}=\mathbf{R}_0$. Abbiamo pertanto $M_2=\tilde M_2+M{2,0}-\mathbf{x}\mathbin{\wedge_2}\mathbf{R}_0$ e $\mathbf{R}=\tilde{\mathbf{R}}+\mathbf{R}_0$. Questi sono precisamente i campi che soddisfano le equazioni locali per una curva chiusa. Proposizione 5.2 (Conseguenze del PPV). Il principio si scrive $\int_{\mathcal{I} \backslash \mathbb{S}^{*}}(N \stackrel{*}{\varepsilon}+M_2 \stackrel{*}{\kappa_2}) d s+\sum_{\mathbb{S}^{*}}(\langle\mathbf{R}\rangle \cdot \left[\!\left[ \stackrel{*}{\mathbf{a}} \right]\!\right]+\langle M_2\rangle \left[\!\left[ \stackrel{*}{\alpha_2} \right]\!\right])=\mathrm{P}_{\mathrm{ext}}(\stackrel{*}{\mathbf{a}}), \quad \forall \stackrel{*}{\mathbf{a}} \in \mathcal{V}_{t o t}(\mathbf{x})$

Il PPV non dipende dalla legge costitutiva.

È equivalente alle equazioni locali di equilibrio e determina gli sforzi interni una volta assegnati la configurazione e i carichi.

Prima di introdurre comportamento e vincoli non determina la configurazione di equilibrio.

Esso mostra che deformazione estensionale e deformazione flessionale sono coniugate, rispettivamente, allo sforzo normale e al momento flettente.

Lo sforzo di taglio non ha una deformazione regolare coniugata; compare nel lavoro dei salti normali e deve quindi essere incluso nei modelli di discontinuità.

Dimostrazione. La decomposizione $\mathbf{R}=N\mathbf{t}+T_1\mathbf{n}$ e le identità cinematiche $\stackrel{}{\varepsilon}=\stackrel{}{\mathbf{a}}’\cdot\mathbf{t}$, $\stackrel{}{\alpha_2}=\stackrel{}{\mathbf{a}}’\cdot\mathbf{n}$ e $\stackrel{}{\kappa_2}=\stackrel{}{\alpha_2}’$ trasformano la potenza interna nella forma esposta. L’equivalenza con le equazioni locali segue dalla Proposizione 5.1. La formula non contiene alcuna legge costitutiva; identifica direttamente le coppie coniugate $(N,\stackrel{}{\varepsilon})$ e $(M_2,\stackrel{}{\kappa_2})$. Il termine $T_1$ si cancella nella parte regolare e resta nei contributi concentrati associati ai salti normali. Le cinque conclusioni discendono quindi dalla medesima identità. $\square$

Esercizio 5.3 (Cambio delle variabili di deformazione). Definiamo le misure alternative $\tilde{\varepsilon}=\varepsilon+\frac{1}{2} \varepsilon^{2}, \quad \tilde{\kappa_2}=\mathrm{C}-\mathrm{C}_{R}=\frac{\kappa_2-\varepsilon \mathrm{C}_{R}}{1+\varepsilon}$ dove $\mathrm{C}_{R}$ e $\mathrm{C}$ sono le curvature della configurazione di riferimento e di quella deformata. Definiamo $\tilde N$ e $\tilde M_2$ imponendo l’invarianza della potenza: $\tilde{N} \tilde{\varepsilon}+\tilde{M}_2 \tilde{\kappa_2}=N \stackrel{*}{\varepsilon}+M_2 \stackrel{*}{\kappa_2}, \quad \forall(\stackrel{*}{\varepsilon}, \stackrel{*}{\kappa_2}).$ Determinare $\tilde N$ e $\tilde M_2$ e verificare che $\tilde{N}=\frac{N}{1+\varepsilon}+\frac{M_2 C}{(1+\varepsilon)^{2}}, \quad \tilde{M}_2=(1+\varepsilon) M_2$ Queste quantità non coincidono in generale con lo sforzo normale e il momento flettente di Cauchy. Ripetere il calcolo usando $(\tilde\varepsilon,\kappa_2)$ come variabili di deformazione. Determinare infine le grandezze coniugate a $(\varepsilon,\tilde\kappa_2)$.

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