Concordanza della notazione
Indice · Politica di notazione · Prefazione
Questa pagina registra il passaggio dalla notazione originaria delle note di Jean-Jacques Marigo a quella alternativa adottata nella presente traduzione italiana.
Corrispondenze
| Grandezza | Note originali | Questa edizione |
|---|---|---|
| Ascissa materiale | $S$ | $x_3$ |
| Spostamento dell’asse | $\boldsymbol{\xi}$ | $\mathbf{a}$; la traslazione rigida resta $\mathbf{c}$ |
| Componenti locali dello spostamento | $u,w$ | $a_3=\mathbf{a}\cdot\mathbf{t}{\mathrm R}$, $a_1=\mathbf{a}\cdot\mathbf{n}{\mathrm R}$ |
| Rotazione relativa della sezione | $\omega$ | $\alpha_2$ |
| Angolo tangente | $\alpha$ | $\vartheta$, distinto da $\alpha_2=\vartheta-\vartheta_{\mathrm R}$ |
| Estensione e flessione | $\varepsilon,\kappa$ | $\varepsilon,\kappa_2=\alpha_2’$ |
| Risultante interna | $\mathbf{R}=N\mathbf{t}+T\mathbf{n}$ | $\mathbf{R}=N\mathbf{t}+T_1\mathbf{n}$ |
| Momento flettente piano | $M$ | $M_2$ |
| Carico lineico | $\mathbf{f}$ | $\mathbf{q}$; densità materiale $\mathbf{q}_{\mathrm R}$ |
| Coefficiente di dilatazione termica | $a$ | $\alpha$; la temperatura resta $T$ |
| Intervallo materiale | $\mathbb{C}_{\mathrm R}$ | $\mathcal{I}{\mathrm R}$; $\mathcal{J}{\mathrm R}$ indica un sottointervallo |
Assi e segni
Le figure originali usano il piano $(\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2)$ con normale $\mathbf{e}_3$ e, per la trave diritta, asse lungo $\mathbf{e}_1$. Questi assi geometrici restano invariati. I pedici $3$ e $1$ di $a_3$ e $a_1$ identificano rispettivamente le componenti assiale e trasversale nella notazione alternativa; non rinominano gli assi disegnati nelle figure.
Per una trave diritta senza scorrimento, $\alpha_2=a_1’$ e $\kappa_2=a_1’’$. Le equazioni scalari di equilibrio sono
\[N'+q_t=0,\qquad T_1'+q_n=0,\qquad M_2'+T_1+m=0.\]Il segno positivo del taglio nell’ultima equazione segue dalla convenzione destrorsa. La densità di lavoro interno della riduzione piana senza scorrimento è $N\varepsilon+M_2\kappa_2$. Non invertiamo arbitrariamente i segni di momenti o curvature.
Per distinguere il prodotto vettoriale dalla sua componente scalare introduciamo
\[\mathbf{b}\mathbin{\wedge_2}\mathbf{c}:=(\mathbf{b}\wedge\mathbf{c})\cdot\mathbf{e}_3.\]Questa abbreviazione appartiene alla presente edizione. Vale anche se uno dei vettori ha una componente fuori dal piano. In particolare $\mathbf{t}\mathbin{\wedge_2}\mathbf{n}=1$, mentre $\mathbf{e}_3\wedge\mathbf{t}=\mathbf{n}$ è un’identità vettoriale.
Estensione non lineare e funzionali
Conserviamo $x_3$, ascissa materiale, $s$, ascissa corrente, e la mappa scalare $s=\mathrm{s}(x_3)$. Gli apici indicano la derivata rispetto all’argomento dichiarato; i punti sopra un simbolo indicano derivate temporali materiali. Le densità soddisfano $\mathbf{q}_{\mathrm R}(x_3)=s’(x_3)\mathbf{q}(s(x_3))$; analogamente per coppia e massa. Questi carichi lineici non sono le forze volumiche $\mathbf{b}$ o superficiali $\mathbf{s}$ della teoria tridimensionale.
L’angolo $\alpha_2=\vartheta-\vartheta_{\mathrm R}$ è una rotazione piana finita. Soltanto nella linearizzazione lo identifichiamo con la componente del vettore di rotazione infinitesima. Non introduciamo un vettore finito additivo di rotazione. Curvatura geometrica e deformazione di flessione restano distinte:
\[\varepsilon=s'-1,\qquad \kappa_2=\alpha_2',\qquad C=\frac{\vartheta'}{s'},\qquad C-C_{\mathrm R}=\frac{\kappa_2-\varepsilon C_{\mathrm R}}{1+\varepsilon}.\]Per piccoli spostamenti di un arco, $\varepsilon=a_3’-C_{\mathrm R}a_1$, $\alpha_2=a_1’+C_{\mathrm R}a_3$ e $\kappa_2=(a_1’+C_{\mathrm R}a_3)’$. Il parametro $\psi$ nella trave di Galileo è l’orientazione del carico, già chiamata $\omega$: è distinto dalla rotazione della sezione. Le pulsazioni $\Omega_n$ conservano il loro simbolo.
Nel richiamo tridimensionale usiamo $\mathbf{E}(\mathbf{u})=\operatorname{sym}\nabla\mathbf{u}$, $\mathbf{T}=\mathbb{C}\mathbf{E}$ e dati su $\partial_D\Omega$, $\partial_N\Omega$; nella formulazione debole compare il test $\boldsymbol{\varphi}$. I domini $\mathcal{C}{\mathrm{ad}}$, gli spazi delle variazioni $\mathcal{V}{\mathrm{ad}}$, i funzionali $\mathcal{P}$ e gli asterischi per le velocità virtuali conservano il significato dichiarato localmente. Un asterisco di variazione non indica una derivata temporale; in Appendice A l’asterisco che identifica un altro osservatore ha il significato dichiarato localmente.
Manteniamo esplicitamente la variante grafica $|\cdot|$ per la norma euclidea e conserviamo le norme degli spazi di funzioni. La notazione non trasferisce i teoremi lineari di esistenza e unicità ai problemi non lineari, dinamici o con contatto unilaterale.
Figure e limiti
Le 144 immagini originali sono conservate. I diagrammi con simboli rinominati hanno legende adiacenti: $\xi\mapsto\mathbf{a}$, $\alpha\mapsto\vartheta$, $\omega\mapsto\alpha_2$ oppure $\psi$ secondo il significato, $\mathbf{f}\mapsto\mathbf{q}$. Gli assi delle figure mantengono la convenzione geometrica originaria.
La revisione riguarda la notazione. Restano corruzioni matematiche della trascrizione precedente, fra cui le due formule segnalate in §3.4 e le variazioni dell’elastica in B.1.2; i passaggi interessati sono indicati localmente. Queste formule non sono rese verificate dal solo adattamento dei simboli.