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4.4 Statica delle barre inflessibili o non flesse

Convenzioni di notazione

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Orientamento

La sezione formula il problema ai limiti per le barre rettilinee sollecitate soltanto a trazione o compressione e lo applica alla colonna pesante e alla trave in calcestruzzo precompresso.

Nota editoriale sulle formule. Alcune etichette testuali e alcuni simboli risultano corrotti nella fonte digitale. Le formule sono conservate senza ricostruzioni congetturali.

Contenuti

  • 4.4.1 Il problema ai limiti

  • Ipotesi generali

  • Possibili condizioni ai limiti

  • Equazioni di equilibrio

  • Leggi costitutive

  • 4.4.2 Il problema della colonna pesante

  • Caso incastro-libero

  • Caso incastro-incastro

  • 4.4.3 Il problema della trave in cemento armato precompresso

4.4.1 Il problema ai limiti

Ipotesi generali

Studiamo mezzi curvilinei la cui configurazione di equilibrio è rettilinea e nei quali l’unico sforzo interno non nullo è lo sforzo normale. Ciò accade quando il mezzo è inflessibile e conserva la curvatura di riferimento nulla, oppure quando carichi e vincoli producono soltanto trazione o compressione e la configurazione rettilinea è stabile. Il problema ai limiti si riduce allora a un’equazione scalare e può essere analizzato anche per leggi costitutive non lineari o viscoelastiche.

Definizione 4.8 (Barre in trazione-compressione, senza flessione). In tutta questa sezione, consideriamo un mezzo curvilineo le cui configurazioni sono rettilinee. Indicando con $\mathbf{t}$ il suo vettore tangente, la configurazione di equilibrio si può esprimere come \(\mathbf{x}(x_3)=\mathbf{x}_{0}+\mathrm{s}(x_3)\mathbf{t} \quad \forall x_3 \in \mathcal{I}_{R}=\left(0, \ell_{R}\right)\) dove $\mathbf{x}_0$ è la posizione dell’estremo $x_3=0$. L’incognita cinematica è la funzione $x_3\mapsto s(x_3)$, che assegna l’ascissa curvilinea nella configurazione di equilibrio al punto materiale di coordinata $x_3$. Vale $s(0)=0$ e la lunghezza corrente della barra è $\ell=s(\ell_R)$. La deformazione estensionale soddisfa \(\mathrm{s}^{\prime}(x_3)=1+\varepsilon(x_3) \quad \forall x_3 \in\left(0, \ell_{R}\right)\) L’unico sforzo interno è lo sforzo normale, considerato funzione di $x_3$, \(\mathbf{R}(x_3)=N(x_3)\mathbf{t}, \quad M_2(x_3)=0 \quad \forall x_3 \in \mathcal{I}_{R}=\left(0, \ell_{R}\right)\) Le differenze essenziali rispetto ai fili trattati nella sezione precedente sono:

  1. si ammettono stati nei quali lo sforzo normale è negativo, cioè di compressione;
  2. si considerano soltanto configurazioni di equilibrio rettilinee.

    Possibili condizioni ai limiti

    I problemi differiscono soprattutto per le condizioni agli estremi. La barra

  3. può essere vincolata nel punto $\mathbf{x}_0$ oppure soggetta alla forza $\mathcal{F}_0\mathbf{t}$ in $x_3=0$;
  4. è soggetta a forze distribuite $x_3\mapsto\mathbf{q}_R(x_3)=q_R(x_3)\mathbf{t}$;
  5. può essere soggetta a forze concentrate $\mathcal{F}{x{3,i}}\mathbf{t}$ nei punti $x_{3,i}\in\mathbb{P}_R$;
  6. può essere vincolata nel punto $\mathbf{x}\ell=\mathbf{x}_0+\ell\mathbf{t}$ oppure soggetta alla forza $\mathcal{F}\ell\mathbf{t}$ in $x_3=\ell_R$. Le forze possono dipendere dalla posizione corrente $s(x_3)$ del punto di applicazione. Indichiamo con vincolato–vincolato, vincolato–libero, libero–vincolato e libero–libero i quattro casi: | | | | | | | — | — | — | — | — | | Tipo C.L. | fissata-fissata $=\mathrm{FF}$ | fissata-libera $=\mathrm{FL}$ | libera-fissata $=\mathrm{LF}$ | libera-libera $=\mathrm{LL}$ | | $x_3=0$ | $\mathbf{x}(0)=\mathbf{x}0$ | $\mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_0$ | $N^+(0) = -\mathcal{F}_0$ | $N^+(0) = -\mathcal{F}_0$ | | $x_3=\ell_R$ | $\mathbf{x}(\ell_R)=\mathbf{x}\ell$ | $N^-(\ell_R)=\mathcal{F}\ell$ | $\mathbf{x}(\ell_R)=\mathbf{x}\ell$ | $N^-(\ell_R)=\mathcal{F}_\ell$ | Tabella 4.3 — Condizioni agli estremi per i quattro tipi di problema.

    Equazioni di equilibrio

    In ogni caso, lo sforzo normale deve soddisfare le equazioni locali di equilibrio \(\left\{\begin{array}{l} \frac{dN}{d x_3}(x_3)+q_R(x_3)=0 \quad \forall x_3 \in (0, \ell_R) \setminus \mathbb{P}_R \tag{4.10}\\ \left[\!\left[ N \right]\!\right] (x_{3,i}) + \mathcal{F}_{x_{3,i}} = 0 \quad \forall x_{3,i} \in \mathbb{P}_R. \end{array}\right.\)

    Leggi costitutive

    Considereremo leggi costitutive elastiche e viscoelastiche.

    4.4.2 Il problema della colonna pesante

    Consideriamo una colonna omogenea a sezione costante di area $A$, costituita da un materiale di densità $\rho_m$ e soggetta alla gravità uniforme $\mathbf{g}=-g\mathbf{e}_2$, con $g>0$. Non agiscono forze concentrate. Studiamo diverse condizioni agli estremi e diverse leggi costitutive. Poniamo $\mathbf{t}=\epsilon\mathbf{e}_2$, con $\epsilon=+1$ per una colonna orientata verso l’alto e $\epsilon=-1$ per una colonna orientata verso il basso.

    Caso incastro-libero

    La colonna è vincolata in $\mathbf{O}$ all’estremo $x_3=0$ e libera all’altro estremo. Il caso libero–vincolato si tratta allo stesso modo, invertendo l’orientamento. L’equazione di equilibrio e la condizione al bordo in $x_3=\ell_R$ sono \(N'(x_3)-\epsilon \rho_m A g = 0 \quad \forall x_3\in(0, \ell_R), \quad N(\ell_R)=0.\) L’equilibrio determina lo sforzo normale indipendentemente dalla legge costitutiva: \(N(x_3) = -\epsilon \rho_m A g (\ell_R - x_3) \qquad \forall x_3 \in (0, \ell_R).\) La distribuzione coincide con quella di una colonna rigida: la sezione di coordinata $x_3$ sostiene il peso del tratto compreso fra essa e l’estremo libero. La colonna è ovunque tesa se $\epsilon=-1$ e ovunque compressa se $\epsilon=+1$. La legge costitutiva interviene soltanto nel calcolo della configurazione $x_3\mapsto s(x_3)$. Per un materiale elastico, la prova di trazione–compressione uniaxiale fornisce la legge costitutiva (cfr. sezione 3.3.2) \(N = N_{ex}(\varepsilon) = w_{ex}'(\varepsilon)A\) Di conseguenza, tenendo conto della condizione al bordo in $x_3=0$, la configurazione d’equilibrio deve soddisfare \(w_{ex}'(s'(x_3)-1) = -\epsilon \rho_m g (\ell_R-x_3) \qquad \forall x_3\in(0, \ell_R), \quad s(0)=0\) La possibilità di risolvere la relazione dipende dalla monotonia della legge sforzo–deformazione. Se $w_{ex}’$ è strettamente crescente, è invertibile e determina un unico valore di $s’(x_3)$. Se non è monotona, come può avvenire nei materiali a memoria di forma, a uno stesso sforzo possono corrispondere più deformazioni; torneremo su questo caso nella sezione 5.5.2. Nel caso monotono basta invertire la legge e integrare: \(s(x_3) = x_3 + \int_0^x_3 (w_{ex}')^{-1}\left(-\epsilon \frac{\rho_m g}{E} (\ell_R - \zeta)\right)d\zeta\) Ad esempio, prendendo una legge elastica lineare $w_{ex}(\varepsilon)=\frac{1}{2} E \varepsilon^2$, si ottiene \(s(x_3) = x_3 - \frac{1}{2}\epsilon \rho_m g (2\ell_R - x_3) x_3\) In particolare, la lunghezza della colonna pesante all’equilibrio è \(\frac{\ell}{\ell_R} = 1 - \epsilon \frac{\rho_m g \ell_{R}}{2E}\) Compare, come per il filo pesante, il rapporto adimensionale $\rho_mg\ell_R/E$, in genere piccolo per le colonne e i materiali dell’ingegneria civile.

    Caso incastro-incastro

    La colonna è vincolata in $\mathbf{O}$ per $x_3=0$ e nel punto $\mathbf{x}\ell=\ell\mathbf{e}_2$ per $x_3=\ell_R$. Possiamo limitarci a $\epsilon=+1$, poiché il caso opposto si ottiene invertendo l’orientamento $x_3\mapsto\ell_R-x_3$. L’equazione di equilibrio resta \(N'(x_3) - \rho_m A g = 0 \qquad \forall x_3 \in (0, \ell_R)\) ma non c’è più una condizione al bordo sulla forza. Il sistema è ora iperstatico: l’equilibrio non determina esattamente la ripartizione degli sforzi normali ma solo \(N(x_3) = N_0 + \rho_m A g x_3 \qquad \forall x_3 \in (0, \ell_R)\) e la costante $N_0$ resta da individuare. Per determinarla occorrono la legge di comportamento e le condizioni di vincolo. Nel caso elastico lineare $N{ex}(\varepsilon)=EA\varepsilon$: \(s'(x_3) = 1 + \frac{N_0}{EA} + \frac{\rho_m g}{E} x_3 \qquad \forall x_3 \in (0, \ell_R)\) Le condizioni richiedono $s(0)=0$ e $s(\ell_R)=\ell$; quindi $\int_0^{\ell_R} s’(x_3)d x_3 = \ell$, uguaglianza da cui si ricava $N_0$: \(N_0 = EA\left( \frac{\ell}{\ell_R} - 1 \right) - \frac{1}{2}\rho_m A g \ell_R\) Sostituendo, la ripartizione degli sforzi normali è determinata completamente: \(N(x_3) = EA \left(\frac{\ell}{\ell_R} - 1 \right) - \frac{1}{2}\rho_m A g (\ell_R - 2x_3) \qquad \forall x_3 \in (0, \ell_R)\) Si ricava poi la configurazione di equilibrio con una semplice integrazione: \(s(x_3) = \frac{x_3}{\ell_R}\ell - \frac{\rho_m g}{2E}x_3(\ell_R - x_3)\) Se $\ell=\ell_R$, cioè se la distanza fra gli estremi coincide con la lunghezza naturale, la distribuzione dello sforzo normale non dipende dal modulo di Young. Riassumendo: Nel caso vincolato–vincolato la colonna è iperstatica, ma la legge costitutiva e la compatibilità determinano la distribuzione degli sforzi interni.

    4.4.3 Il problema della trave in cemento armato precompresso

    Il calcestruzzo è molto usato nelle costruzioni per il costo contenuto e la facilità di posa, ma possiede una resistenza a trazione assai minore di quella a compressione. La precompressione riduce le trazioni in esercizio mediante cavi d’acciaio preventivamente tesi. La tecnica fu sviluppata da Eugène Freyssinet a partire dal 1928. Lo scorrimento viscoso del calcestruzzo riduce nel tempo la tensione nei trefoli e quindi la precompressione. Analizziamo questo effetto per una trave rettilinea sollecitata soltanto assialmente. Descriveremo le varie fasi del procedimento supponendo che:

  7. i cavi d’acciaio sono linearmente elastici, con modulo di Young $E_a$;
  8. il calcestruzzo è viscoelastico secondo il modello di Zener, con modulo istantaneo $E_b^0$, modulo differito $E_b^\infty$ e tempo caratteristico $\tau$;
  9. il cavo d’acciaio, di sezione circolare, è disposto lungo il centro geometrico della sezione; $A_a$ e $A_b$ sono le aree dell’acciaio e del calcestruzzo. Figura Cavo di precompressione. Figura Trave in calcestruzzo precompresso. Si tratta di calcolare le tensioni nell’acciaio e nel cemento durante le diverse fasi della fabbricazione e dopo la messa in esercizio.
  10. Messa in tensione del cavo. Il cavo d’acciaio ha lunghezza naturale $\ell_R^a$. La forza $N_p$ lo allunga fino alla lunghezza $\ell_R^b$. Indicando con $\bar\varepsilon$ la predeformazione, \(\bar{\varepsilon} = \frac{N_p}{E_a A_a}, \quad \ell_R^b = (1+\bar{\varepsilon})\ell_R^a \tag{4.11}\)
  11. Getto del calcestruzzo. Il calcestruzzo viene colato attorno all’acciaio mantenuto sotto la forza $N_p$. Dopo l’indurimento è inizialmente scarico e la sua lunghezza naturale è $\ell_R^b$. Figura Figura 4.10 — Tensione del cavo e getto del calcestruzzo.
  12. Compressione iniziale del calcestruzzo. Rimuoviamo la forza esterna che tende il cavo. L’acciaio tende a recuperare la lunghezza naturale $\ell_R^a$, ma l’aderenza con il calcestruzzo ne impedisce il completo rilassamento e comprime il calcestruzzo. Indichiamo con $N_a^0$, $N_b^0$ e $\ell_0$ gli sforzi nell’acciaio e nel calcestruzzo e la lunghezza della trave al termine della fase. Poiché la trave è libera e non agiscono forze esterne, \(N_a^0+N_b^0=0.\) La legge di elasticità dell’acciaio e la legge elastica istantanea del calcestruzzo (valida in questa fase, che dura breve tempo) danno \(N_a^0=E_a A_a \left( \frac{\ell_0}{\ell_R^a}-1 \right), \quad N_b^0 = E_b^0 A_b \left( \frac{\ell_0}{\ell_R^b}-1 \right)\) Combinando queste tre relazioni (e tenendo conto della (4.11)), si ottengono le quantità richieste: \(\ell_0 = \frac{1+\frac{N_p}{E_a A_a}}{1+\frac{N_p}{E_a A_a+E_b^0 A_b}} \ell_R^b, \qquad N_b^0 = -N_a^0 = -\frac{E_b^0 A_b}{E_a A_a + E_b^0 A_b + N_p} N_p \tag{4.12}\) In pratica, poiché l’acciaio deve restare elastico durante la pre-tensione, la deformazione $\bar{\varepsilon}$ non può superare qualche $10^{-3}$. Si possono quindi trascurare le variazioni di lunghezza e, trascurando $N_p$ rispetto a $E_a A_a + E_b^0 A_b$, la tensione di compressione nel calcestruzzo vale \(\sigma_b^0 \approx -\frac{E_b^0\bar{\varepsilon}}{1+ \frac{E_b^0 A_b}{E_a A_a}}\) Figura Figura 4.11 — Compressione istantanea del calcestruzzo e successiva perdita di precompressione per scorrimento viscoso.
  13. Scorrimento viscoso del calcestruzzo. Anche in assenza di forze esterne, il calcestruzzo compresso si deforma nel tempo. Nel modello di Zener, l’evoluzione dello sforzo normale è legata a quella della lunghezza mediante \(N_b(t)+ \tau \dot{N}_b(t) = E_b^\infty A_b \varepsilon(t) + \tau E_b^0 A_b \dot{\varepsilon}(t), \quad \varepsilon(t)=\frac{\ell(t)}{\ell_R^b}-1\) con condizioni iniziali come appena calcolato, \(N_b(0)=N_b^0, \qquad \ell(0) = \ell_0\) Poiché la trave è libera e l’acciaio viene considerato elastico, \(N_a(t)+N_b(t) = 0, \qquad N_a(t) = E_a A_a \left(\frac{\ell(t)}{\ell_R^a}-1\right)\) Sostituendo $\ell(t)$ in funzione di $N_b(t)$ e sostituendo nella legge di Zener, si ottiene l’equazione differenziale per $N_b(t)$: \((E_a A_a + E_b^\infty A_b + N_p) N_b(t) + (E_a A_a + E_b^0 A_b + N_p) \tau \dot{N}_b(t) = - E_b^\infty A_b N_p \tag{4.13}\) La soluzione, tenendo conto della condizione iniziale, è \(N_b(t) = N_b^\infty + (N_b^0 - N_b^\infty) \exp(-t/ \tau_*)\) dove $N_b^0$ è dato dalla (4.12), mentre lo sforzo differito $N_b^\infty$ e il tempo caratteristico $\tau_*$ valgono \(N_b^\infty = -\frac{E_b^\infty A_b}{E_a A_a + E_b^\infty A_b + N_p} N_p, \quad \tau_* = \frac{E_a A_a + E_b^0 A_b + N_p}{E_a A_a + E_b^\infty A_b + N_p} \tau \tag{4.14}\) Se si trascura $N_p$ rispetto a $E_a A_a + E_b^\infty A_b$, la tensione differita di compressione del calcestruzzo vale \(\sigma_b^\infty \approx -\frac{E_b^\infty \bar{\varepsilon}}{1 + \frac{E_b^\infty A_b}{E_a A_a}}\) Confrontando con lo sforzo istantaneo $\sigma_b^0$ e usando $E_b^\infty<E_b^0$, otteniamo $|\sigma_b^\infty|<|\sigma_b^0|$: lo scorrimento viscoso riduce la compressione prodotta dai cavi e quindi il margine rispetto alla fessurazione per trazione. Valutiamo gli ordini di grandezza. Il rapporto $A_a/A_b$ fra le aree di acciaio e calcestruzzo non supera in genere il $2$–$3\%$; il rapporto $E_b^0/E_b^\infty$ può raggiungere $3$, mentre $E_a/E_b^0$ è circa $5$. Gli acciai ad alta resistenza consentono predeformazioni di pochi millesimi. Ponendo $E_b^0=4\times10^{10}\,\mathrm{Pa}$, $E_b^0/E_b^\infty=3$, $E_a/E_b^0=5$, $A_a/A_b=2\%$ e $\bar\varepsilon=3\times10^{-3}$, si ottiene \(\sigma_b^0 = -10,9\,\mathrm{MPa},\quad \sigma_b^\infty = -9,2\,\mathrm{MPa}\) cioè una perdita di precompressione del 15\% a causa del fluage.

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