5.4 Proprietà energetiche degli stati di equilibrio dei sistemi conservativi
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Orientamento
La sezione estende il principio di stazionarietà dell’energia potenziale ai mezzi curvilinei elastici e ai suoi principali casi limite.
Contenuti
- 5.4.1 Mezzi curvilinei elastici estensibili e flessibili
- 5.4.2 Barre elastiche estensibili senza flessione
- 5.4.3 Caso dei fili elastici estensibili
- 5.4.4 Mezzi inestensibili
Nota editoriale sulle formule. Alcune etichette testuali interne alle formule risultano corrotte nella fonte digitale. Sono conservate senza ricostruzioni congetturali; i pedici ripetuti ex sono stati ricondotti a un solo ex.
Esaminiamo in quale misura le proprietà energetiche dei due esempi precedenti si estendano a problemi statici generali. Ciò avviene per i sistemi conservativi, nei quali le forze esterne derivano da un potenziale e il comportamento è elastico, anche nei casi limite. Trattiamo dapprima il caso generale di aste estensibili e flessibili, quindi i casi di inflessibilità, flessibilità perfetta e inestensibilità. Il procedimento resta lo stesso, ma le definizioni devono adattarsi quando il comportamento degenera.
5.4.1 Mezzi curvilinei elastici estensibili e flessibili
Procediamo in quattro passi:
- formuliamo il problema ai limiti assumendo carichi conservativi e comportamento elastico;
- definiamo le configurazioni cinematicamente ammissibili e la loro energia potenziale;
- calcoliamo la prima variazione dell’energia lungo movimenti virtuali cinematicamente ammissibili;
- ricaviamo dal PPV le proprietà energetiche.
Le ipotesi scelte sul carico e sulle condizioni agli estremi servono a rendere trasparente il procedimento. Altri sistemi conservativi si trattano ripetendo gli stessi passaggi con definizioni adattate.
1. Problema ai limiti e ipotesi
Consideriamo un mezzo curvilineo elastico, non necessariamente omogeneo, di lunghezza naturale $\ell_{\mathrm{R}}$ e curvatura naturale $C_{\mathrm{R}}$. La configurazione naturale $x_3\mapsto\mathbf{x}{\mathrm{R}}(x_3)$ è assunta come riferimento. Il comportamento è descritto dal potenziale elastico $(\varepsilon,\kappa_2)\mapsto\mathrm{W}{\mathrm{e}}(\varepsilon,\kappa_2)$. Le forze distribuite derivano dal potenziale di massa $\mathbf{y}\mapsto\Phi(\mathbf{y})$ e la densità lineare di momento è nulla: \(\mathbf{q}_{\mathrm{R}}(x_3)=-\varrho_{\mathrm{R}}(x_3) \nabla \Phi(\mathbf{x}(x_3)), \quad m_{\mathrm{R}}(x_3)=0.\) Sono inoltre applicati gli sforzi concentrati $(\mathcal{F}{i},\mathcal{M}{i})$ nei punti materiali $x_{3,i}$, con $1\leq i\leq n$; le forze concentrate sono carichi morti. All’estremo $x_3=0$ il mezzo è incastrato nel punto $\mathbf{x}{0}$ con orientamento $\vartheta{0}$, mentre all’estremo $x_3=\ell_{\mathrm{R}}$ agiscono $\mathcal{F}{\ell}$ e $\mathcal{M}{\ell}$. Per semplicità assumiamo che la configurazione di riferimento soddisfi già il vincolo di incastro: \(\mathbf{x}_{\mathrm{R}}(0)=\mathbf{x}_{0}, \quad \mathbf{x}_{\mathrm{R}}^{\prime}(0)=\cos \vartheta_{0} \mathbf{e}_{1}+\sin \vartheta_{0} \mathbf{e}_{2}.\) Il problema ai limiti consiste nel determinare la configurazione di equilibrio $x_3\mapsto\mathbf{x}(x_3)$ e gli sforzi interni $x_3\mapsto(\mathbf{R}(x_3),M_2(x_3))$ tali che \(\left.\begin{array}{ll} \text {Equazioni di equilibrio} &:\left\{\begin{array}{lll} \mathbf{R}^{\prime}(x_3)-\boxed{\varrho_{\mathrm{R}}(x_3) \nabla \Phi(\mathbf{x}(x_3))=\mathbf{0}} & \text {in} & \mathcal{I}_{\mathrm{R}} \backslash \mathbb{P}_{\mathrm{R}} \\ M_2^{\prime}(x_3)+\left\|\mathbf{x}^{\prime}(x_3)\right\| T_1(x_3)=0 & \text {in} & \mathcal{I}_{\mathrm{R}} \backslash \mathbb{P}_{\mathrm{R}} \\ \left[\!\left[ \mathbf{R} \right]\!\right]\left(x_{3,i}\right)+\boxed{\mathcal{F}_{i}}=\mathbf{0} & \text {Su} & \mathbb{P}_{\mathrm{R}} \\ \left[\!\left[ M_2 \right]\!\right]\left(x_{3,i}\right)+\mathcal{M}_{i}=0 & \text {Su} & \mathbb{P}_{\mathrm{R}} \end{array}\right. \\ \text {condizioni di limite} &: \begin{cases}\mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_{0}, & \vartheta(0)=\vartheta_{0} \\ \mathbf{R}\left(\ell_{\mathrm{R}}\right)=\boxed{\mathcal{F}_{\ell}}, & M_2\left(\ell_{\mathrm{R}}\right)=\mathcal{M}_{\ell}\end{cases} \\ \text {reporti di portamento} &: \end{array} \right\rvert\, \begin{aligned} & N(x_3)=\frac{\partial \mathrm{W}_{\mathrm{e}}}{\partial \varepsilon}(\varepsilon(x_3), \kappa_2(x_3)), \quad M_2(x_3)=\frac{\partial \mathrm{W}_{\mathrm{e}}}{\partial \kappa_2}(\varepsilon(x_3), \kappa_2(x_3)) \end{aligned}\) Qui $\mathcal{I}{\mathrm{R}}=(0,\ell{\mathrm{R}})$, $\mathbb{P}{\mathrm{R}}={x{3,1},\ldots,x_{3,n}}$ e l’apice indica la derivata rispetto a $x_3$. I termini evidenziati sono i dati che rendono il sistema conservativo. Per il seguito conviene riscrivere il vincolo di orientamento nella forma \(\mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_{0}, \quad \mathbf{x}^{\prime}(0) \cdot \mathbf{n}_{0}=0 \quad \text {— sì,} \quad \mathbf{n}_{0}=-\sin \vartheta_{0} \mathbf{e}_{1}+\cos \vartheta_{0} \mathbf{e}_{2}. \tag{5.31}\)
Osservazione. Per un mezzo chiuso le condizioni agli estremi sono sostituite da condizioni di periodicità.
2. Configurazioni cinematicamente ammissibili ed energia potenziale
Sono cinematicamente ammissibili le configurazioni che soddisfano i vincoli cinematici agli estremi e gli eventuali vincoli interni, quali inestensibilità o inflessibilità. Devono inoltre avere energia potenziale finita. Per una configurazione $x_3\mapsto\tilde{\mathbf{x}}(x_3)$ l’energia potenziale totale è la somma dell’energia elastica e dell’energia potenziale dei carichi conservativi: \((\text {Totale}) \quad \mathcal{P}_{\mathrm{tot}}(\tilde{\mathbf{x}})=\mathcal{P}_{\text {E' un'altra cosa.}}(\tilde{\mathbf{x}})+\mathcal{P}_{\text {ex}}(\tilde{\mathbf{x}})\) con \(\text {(energia elastica)} \quad \mathcal{P}_{\mathrm{ela}}(\tilde{\mathbf{x}})=\int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \mathrm{~W}_{\mathrm{e}}(\tilde{\varepsilon}(x_3), \tilde{\kappa_2}(x_3)) d x_3\) e dove l’energia potenziale dei carichi conservativi è \(\mathcal{P}_{\mathrm{ext}}(\tilde{\mathbf{x}})=\int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \varrho_{\mathrm{R}}(x_3) \Phi(\tilde{\mathbf{x}}(x_3)) d x_3-\sum_{i=1}^{n}\left(\mathcal{F}_{i} \cdot \tilde{\mathbf{x}}\left(x_{3,i}\right)+\mathcal{M}_{i} \tilde{\alpha_2}\left(x_{3,i}\right)\right)-\left(\mathcal{F}_{\ell} \cdot \tilde{\mathbf{x}}\left(\ell_{\mathrm{R}}\right)+\mathcal{M}_{\ell} \tilde{\alpha_2}\left(\ell_{\mathrm{R}}\right)\right)\) Le quantità $\tilde{\alpha_2}$, $\tilde{\varepsilon}$ e $\tilde{\kappa_2}$ sono, rispettivamente, la rotazione e le deformazioni estensionale e flessionale associate a $\tilde{\mathbf{x}}$. Il potenziale di un momento morto $\mathcal{M}$ è l’opposto del prodotto tra il momento e la rotazione nel punto di applicazione; la costante additiva è scelta in modo che il potenziale si annulli nella configurazione di riferimento. L’energia potenziale totale è dunque un funzionale, nel senso dell’Appendice B. Per il problema considerato, le configurazioni cinematicamente ammissibili sono quelle di energia finita che soddisfano l’incastro in $x_3=0$: \(\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}=\left\{x_3 \mapsto \tilde{\mathbf{x}}(x_3): \mathcal{P}_{\mathrm{tot}}(\tilde{\mathbf{x}})<+\infty, \quad \tilde{\mathbf{x}}(0)=\mathbf{x}_{0}, \quad \tilde{\mathbf{x}}^{\prime}(0) \cdot \mathbf{n}_{0}=0\right\}\) La regolarità minima richiesta dipende dalla crescita del potenziale elastico e del potenziale delle forze esterne. Esempio 5.1 (Regolarità nel problema della mensola di Galileo). Per la mensola di Galileo della sezione 4.5.3, con configurazione naturale rettilinea, potenziale elastico quadratico e carico morto all’estremo, l’energia potenziale assume la forma \(\mathcal{P}_{\mathrm{ela}}(\tilde{\mathbf{x}})=\int_{0}^{\ell_{R}}\left(\frac{1}{2} \mathrm{EA}\left(\left\|\tilde{\mathbf{x}}^{\prime}(x_3)\right\|-1\right)^{2}+\frac{1}{2} \mathrm{El}^{\prime}(x_3)^{2}\right) d x_3+\mathcal{F} \cdot \tilde{\mathbf{x}}\left(\ell_{R}\right)\) Fra le configurazioni che soddisfano l’incastro, hanno energia finita quelle per cui $\tilde{x}{1}^{\prime}$, $\tilde{x}{2}^{\prime}$ e $\tilde{\vartheta}^{\prime}$ sono quadrato integrabili. L’analisi funzionale mostra che $x_3\mapsto\tilde{\mathbf{x}}(x_3)$ e $x_3\mapsto\tilde{\vartheta}(x_3)$ sono allora continue su $[0,\ell_{\mathrm{R}}]$. La rigidezza flessionale impedisce salti della tangente. Se l’insieme delle configurazioni di energia finita è uno spazio vettoriale, come accade nei casi usuali, la forma (5.31) mostra che $\mathcal{C}{\mathrm{ad}}$ è uno spazio affine; è uno spazio vettoriale quando $\mathbf{x}{0}=\mathbf{0}$. Introduciamo lo spostamento rispetto alla configurazione di riferimento: \(\tilde{\mathbf{x}}(x_3)=\mathbf{x}_{\mathrm{R}}(x_3)+\tilde{\mathbf{a}}(x_3).\) Poiché la configurazione di riferimento soddisfa l’incastro, lo spostamento deve verificare \(\tilde{\mathbf{a}}(0)=\mathbf{0}, \quad \tilde{\mathbf{a}}^{\prime}(0) \cdot \mathbf{n}_{0}=0.\) Definiamo lo spazio degli spostamenti cinematicamente ammissibili mediante \(\mathcal{V}_{\mathrm{ad}}=\left\{x_3 \mapsto \tilde{\mathbf{a}}(x_3): \mathcal{P}_{\mathrm{tot}}(\tilde{\mathbf{a}})<+\infty, \quad \tilde{\mathbf{a}}(0)=\mathbf{0}, \quad \tilde{\mathbf{a}}^{\prime}(0) \cdot \mathbf{n}_{0}=0\right\}\) L’insieme $\mathcal{V}{\mathrm{ad}}$ è uno spazio vettoriale: se $\tilde{\mathbf{a}},\mathbf{a}\in\mathcal{V}{\mathrm{ad}}$, allora $\tilde{\lambda}\tilde{\mathbf{a}}+\lambda\mathbf{a}\in\mathcal{V}{\mathrm{ad}}$ per ogni $\tilde{\lambda},\lambda\in\mathbb{R}$. Pertanto \(\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}=\mathbf{x}_{\mathrm{R}}+\mathcal{V}_{\mathrm{ad}},\) e $\mathcal{V}{\mathrm{ad}}$ è lo spazio vettoriale associato allo spazio affine $\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}$.
3. Prima variazione dell’energia potenziale
Il passaggio essenziale consiste nel calcolare la variazione dell’energia potenziale lungo piccoli movimenti virtuali attorno a una configurazione ammissibile. Usiamo la derivata direzionale di un funzionale, introdotta nell’Appendice B. Sia $x_3\mapsto\mathbf{x}(x_3)$ una configurazione cinematicamente ammissibile, parametrizzata mediante l’ascissa curvilinea di riferimento. Consideriamo un movimento virtuale, parametrizzato da $h$ vicino a zero, le cui configurazioni siano tutte cinematicamente ammissibili. La configurazione virtuale può essere descritta sia mediante l’ascissa $s$ della configurazione $\mathbf{x}$, sia mediante l’ascissa materiale $x_3$, come $x_3\mapsto\mathbf{x}{h}\circ\mathrm{s}(x_3)$. Nel seguito passeremo fra le due descrizioni. Le due parametrizzazioni del movimento virtuale sono \(\begin{gathered} \hline \text {parametrizzazione per} s: s \mapsto \mathbf{x}_{h}(s), \quad \text {parametrizzazione per} x_3: x_3 \mapsto \mathbf{x}_{h} \circ \mathrm{s}(x_3), \\ \mathrm{s}(x_3)=\int_{0}^{x_3}\left\|\mathbf{x}^{\prime}(\zeta)\right\| d \zeta. \end{gathered}\) Osservazione. La configurazione $x_3\mapsto\mathbf{x}(x_3)$ non deve essere di equilibrio: il calcolo vale per ogni configurazione ammissibile. Poiché $\mathcal{C}{\mathrm{ad}}$ è affine, scegliamo il movimento virtuale \(\mathbf{x}_{h} \circ \mathrm{s}(x_3)=\mathbf{x}(x_3)+h \stackrel{*}{\mathbf{a}} \circ \mathrm{s}(x_3) \quad \text {— sì,} \quad \stackrel{*}{\mathbf{a}} \circ \mathrm{s} \in \mathcal{V}_{\mathrm{ad}}\) Per ogni $h\in\mathbb{R}$ risulta $\mathbf{x}{h}\circ\mathrm{s}\in\mathcal{C}{\mathrm{ad}}$. La velocità virtuale $\stackrel{*}{\mathbf{a}}$ possiede la regolarità richiesta e soddisfa le condizioni dell’incastro. Calcoliamo $\mathcal{P}{\mathrm{Tot.}}(\mathbf{x}{h}\circ\mathrm{s})$ e la sua derivata in $h=0$. Le deformazioni presenti nel potenziale elastico sono misurate rispetto alla configurazione naturale $x_3\mapsto\mathbf{x}{\mathrm{R}}(x_3)$, non rispetto alla configurazione $x_3\mapsto\mathbf{x}(x_3)$. Occorre quindi distinguere le due descrizioni. Indichiamo con $\varepsilon{h}^{\mathrm{R}}$, $\alpha_{2,h}^{\mathrm{R}}$ e $\kappa_{2,h}^{\mathrm{R}}$ la deformazione estensionale, la rotazione e la deformazione flessionale della configurazione virtuale rispetto a $\mathbf{x}_{\mathrm{R}}$. Per definizione, \(\left\{\begin{array}{l} \varepsilon_{h}^{\mathrm{R}}(x_3):=\left\|\left(\mathbf{x}_{h} \circ \mathrm{s}\right)^{\prime}(x_3)\right\|-1=\left\|\frac{d \mathbf{x}_{h}}{d s}(s)\right\| \frac{d \mathrm{s}}{d x_3}(x_3)-1=\left(1+\varepsilon_{h}(s)\right) \frac{d \mathrm{s}}{d x_3}(x_3)-1 \tag{5.32}\\ \alpha_{2,h}^{\mathrm{R}}(x_3):=\vartheta_{h} \circ \mathrm{s}(x_3)-\vartheta_{\mathrm{R}}(x_3)=\alpha_{2,h} \circ \mathrm{s}(x_3)+\alpha_2(x_3) \\ \kappa_{2,h}^{\mathrm{R}}(x_3):=\frac{d \alpha_{2,h}^{\mathrm{R}}}{d x_3}(x_3)=\frac{d \vartheta_{h}}{d s}(s) \frac{d \mathrm{s}}{d x_3}(x_3)-\mathrm{C}_{\mathrm{R}}(x_3)=\kappa_{2,h}(s) \frac{d \mathrm{s}}{d x_3}(x_3)+\kappa_2(x_3) \end{array}\right.\) Calcoliamo separatamente le variazioni dei due contributi all’energia potenziale.
a) Variazione dell’energia elastica
Con le notazioni precedenti, l’energia elastica della configurazione virtuale è \(\mathcal{P}_{\mathrm{ela}}\left(\mathbf{x}_{h} \circ \mathrm{s}\right)=\int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \mathrm{~W}_{\mathrm{e}}\left(\varepsilon_{h}^{\mathrm{R}}(x_3), \kappa_{2,h}^{\mathrm{R}}(x_3)\right) d x_3\) Deriviamo rispetto a $h$ in $h=0$. Dalle definizioni (5.32) e dalle velocità virtuali $\stackrel{}{\varepsilon}$ e $\stackrel{}{\kappa_2}$ segue \(\left.\frac{d}{d h}\left(\varepsilon_{h}^{\mathrm{R}}(x_3)\right)\right|_{h=0}=\stackrel{*}{\varepsilon}(s) \frac{d \mathrm{s}}{d x_3}(x_3),\left.\quad \frac{d}{d h}\left(\kappa_{2,h}^{\mathrm{R}}(x_3)\right)\right|_{h=0}=\stackrel{*}{\kappa_2}(s) \frac{d \mathrm{s}}{d x_3}(x_3)\) Derivando sotto il segno di integrale e applicando la regola della catena otteniamo \(\begin{aligned} \mathcal{P}_{\mathrm{ela}}^{\prime}(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\mathbf{a}} \circ \mathrm{s}) &:=\left.\frac{d}{d h}\left(\mathcal{P}_{\mathrm{ela}}\left(\mathbf{x}_{h} \circ \mathrm{s}\right)\right)\right|_{h=0} \\ & =\int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}}\left(\frac{\partial \mathrm{w}_{\mathrm{e}}}{\partial \varepsilon}(\varepsilon(x_3), \kappa_2(x_3)) \stackrel{*}{\varepsilon} \circ \mathrm{s}(x_3)+\frac{\partial \mathrm{w}_{\mathrm{e}}}{\partial \kappa_2}(\varepsilon(x_3), \kappa_2(x_3)) \stackrel{*}{\kappa_2} \circ \mathrm{s}(x_3)\right) \frac{d \mathrm{s}}{d x_3}(x_3) d x_3 \\ & =\int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}}(N(x_3) \stackrel{*}{\varepsilon} \circ \mathrm{s}(x_3)+M_2(x_3) \stackrel{*}{\kappa_2} \circ \mathrm{s}(x_3)) \frac{d \mathrm{s}}{d x_3}(x_3) d x_3 \end{aligned}\) Qui lo sforzo normale e il momento flettente associati alla configurazione $\mathbf{x}$ sono dati dalla legge costitutiva \(N=\frac{\partial \mathrm{w}_{\mathrm{e}}}{\partial \varepsilon}(\varepsilon, \kappa_2), \quad M_2=\frac{\partial \mathrm{w}_{\mathrm{e}}}{\partial \kappa_2}(\varepsilon, \kappa_2).\) Passando dalla variabile $x_3$ alla variabile $s=\mathrm{s}(x_3)$, e indicando ancora con $N(s)$ e $M_2(s)$ gli sforzi nella descrizione euleriana, otteniamo \(\mathcal{P}_{\mathrm{ela}}^{\prime}(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\mathbf{a}} \circ \mathrm{s})=\int_{0}^{\ell}(N(s) \stackrel{*}{\varepsilon}(s)+M_2(s) \stackrel{*}{\alpha_2}(s)) d s=\mathrm{P}_{\mathrm{def}}[N, M_2](\stackrel{*}{\mathbf{a}})\) Abbiamo così dimostrato una proprietà valida per ogni configurazione e ogni velocità virtuale ammissibili. Proposizione 5.7. La prima variazione dell’energia elastica lungo un movimento virtuale ammissibile è uguale alla potenza virtuale degli sforzi interni associati alla configurazione: \(\mathcal{P}_{\mathrm{ela}}^{\prime}(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\mathbf{a}} \circ \mathrm{s})=\int_{0}^{\ell}(N(s) \stackrel{*}{\varepsilon}(s)+M_2(s) \stackrel{*}{\alpha_2}(s)) d s\)
Dimostrazione. Applichiamo la regola della catena all’energia elastica lungo $h\mapsto\mathbf{x}_h$. Le identità (5.32) trasformano le derivate delle deformazioni nelle velocità virtuali $\stackrel{}{\varepsilon}$ e $\stackrel{}{\kappa_2}$; la legge costitutiva identifica i coefficienti con $N$ e $M_2$. Il cambiamento di variabile $s=\mathrm{s}(x_3)$ fornisce l’integrale dell’enunciato. $\square$
b) Variazione dell’energia potenziale dei carichi conservativi
Per la configurazione virtuale vale \(\begin{aligned} \mathcal{P}_{\mathrm{ext}}\left(\mathbf{x}_{h} \circ \mathrm{s}\right)= & \int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \varrho_{\mathrm{R}}(x_3) \Phi\left(\mathbf{x}_{h} \circ \mathrm{s}(x_3)\right) d x_3-\sum_{i=1}^{n}\left(\mathcal{F}_{i} \cdot \mathbf{x}_{h} \circ \mathrm{s}\left(x_{3,i}\right)+\mathcal{M}_{i} \alpha_{2,h}^{\mathrm{R}}\left(x_{3,i}\right)\right) \\ & -\mathcal{F}_{\ell} \cdot \mathbf{x}_{h} \circ \mathrm{s}\left(\ell_{\mathrm{R}}\right)-\mathcal{M}_{\ell} \alpha_{2,h}^{\mathrm{R}}\left(\ell_{\mathrm{R}}\right) \end{aligned}\) Deriviamo $\mathcal{P}{\mathrm{ext}}(\mathbf{x}{h}\circ\mathrm{s})$ rispetto a $h$ in $h=0$. Poiché \(\left.\frac{d}{d h}\left(\mathbf{x}_{h} \circ \mathrm{s}(x_3)\right)\right|_{h=0}=\stackrel{*}{\mathbf{a}} \circ \mathrm{s}(x_3)=\stackrel{*}{\mathbf{a}}(s),\left.\quad \frac{d}{d h}\left(\alpha_{2,h}^{\mathrm{R}}(x_3)\right)\right|_{h=0}=\stackrel{*}{\alpha_2} \circ \mathrm{s}(x_3)=\stackrel{*}{\alpha_2}(s)=\frac{d \stackrel{*}{\mathbf{a}}}{d s}(s) \cdot \mathbf{n}(s)\) derivando sotto il segno di integrale otteniamo \(\begin{aligned} \left.\mathcal{P}_{\text {ex}}^{\prime}(\mathbf{x}) \stackrel{*}{\mathbf{a}} \circ \mathrm{s}\right)= & \int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \varrho_{\mathrm{R}}(x_3) \nabla \Phi(\mathbf{x}(x_3)) \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}} \circ \mathrm{s}(x_3) d x_3 \\ & -\sum_{i=1}^{n}\left(\mathcal{F}_{i} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}\left(s_{i}\right)+\mathcal{M}_{i} \stackrel{*}{\alpha_2}\left(s_{i}\right)\right)-\mathcal{F}_{\ell} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}(\ell)-\mathcal{M}_{\ell} \stackrel{*}{\alpha_2}(\ell) \end{aligned}\)
Osservazione. Per la regolarità delle velocità virtuali ammissibili, la potenza degli sforzi interni contiene soltanto la potenza dello sforzo normale nella deformazione estensionale e quella del momento flettente nella deformazione flessionale. Riscriviamo l’integrale mediante la densità di forza $\mathbf{q}{\mathrm{R}}(x_3)$ per unità di lunghezza di riferimento: \(\int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \varrho_{\mathrm{R}}(x_3) \nabla \Phi(\mathbf{x}(x_3)) \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}} \circ \mathrm{s}(x_3) d x_3=-\int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \mathbf{q}_{\mathrm{R}}(x_3) \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}} \circ \mathrm{s}(x_3) d x_3\) La densità $\mathbf{q}(s)$ per unità di lunghezza nella configurazione corrente soddisfa \(\mathbf{q}_{\mathrm{R}}(x_3)=\mathbf{q}(s) \frac{d \mathrm{s}}{d x_3}(x_3)\) Cambiando variabile da $x_3$ a $s$ segue \(\int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \varrho_{\mathrm{R}}(x_3) \nabla \Phi(\mathbf{x}(x_3)) \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}} \circ \mathrm{s}(x_3) d x_3=-\int_{0}^{\ell} \mathbf{q}(s) \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}(s) d s\) Pertanto \(\mathcal{P}_{\mathrm{ext}}^{\prime}(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\mathbf{a}} \circ \mathrm{s})=-\int_{0}^{\ell} \mathbf{q}(s) \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}(s) d s-\sum_{i=1}^{n}\left(\mathcal{F}_{i} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}\left(s_{i}\right)+\mathcal{M}_{i} \stackrel{*}{\alpha_2}\left(s_{i}\right)\right)-\mathcal{F}_{\ell} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}(\ell)-\mathcal{M}_{\ell} \stackrel{*}{\alpha_2}(\ell)\) Qui $s_i=\mathrm{s}(x{3,i})$. Confrontando il membro destro con la definizione della potenza virtuale delle forze esterne, mancano soltanto i termini all’estremo vincolato $s=0$. Essi si annullano perché ogni velocità virtuale ammissibile soddisfa $\stackrel{}{\mathbf{a}}(0)=\mathbf{0}$ e $\stackrel{}{\alpha_2}(0)=0$. Ne segue la proprietà fondamentale seguente. Proposizione 5.8. La prima variazione dell’energia potenziale dei carichi conservativi lungo un movimento virtuale ammissibile è l’opposto della potenza virtuale delle forze esterne: \(\mathcal{P}_{\text {ex}}^{\prime}(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\mathbf{a}} \circ \mathrm{s})=-\mathrm{P}_{\text {ex}}(\stackrel{*}{\mathbf{a}})\)
Dimostrazione. Deriviamo lungo il movimento virtuale l’energia potenziale delle forze di massa e dei carichi concentrati. Poiché $\mathbf{q}R=-\varrho_R\nabla\Phi$ e $\mathbf{q}_R(x_3)=\mathbf{q}(s)\,d\mathrm{s}/d x_3$, il contributo distribuito diventa l’opposto della corrispondente potenza esterna. I contributi concentrati hanno lo stesso segno; quelli all’estremo vincolato si annullano per l’ammissibilità cinematica. Resta esattamente $-\mathrm{P}{\mathrm{ext}}$. $\square$
Sommando i due contributi otteniamo \(\mathcal{P}_{\mathrm{tot}}^{\prime}(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\mathbf{a}} \circ \mathrm{s})=\mathrm{P}_{\mathrm{def}}[N, M_2](\stackrel{*}{\mathbf{a}})-\mathrm{P}_{\mathrm{ext}}(\stackrel{*}{\mathbf{a}}), \quad \forall \mathbf{x} \in \mathcal{C}_{\mathrm{ad}}, \quad \forall \stackrel{*}{\mathbf{a}} \circ \mathrm{s} \in \mathcal{V}_{\mathrm{ad}} \tag{5.33}\)
4. Proprietà energetiche degli stati di equilibrio
Enunciamo il risultato fondamentale.
Proposizione 5.9 (Teorema dell’energia potenziale per mezzi elastici soggetti a carichi conservativi). La configurazione $x_3\mapsto\mathbf{x}(x_3)$ e gli sforzi interni $x_3\mapsto(N(x_3),M_2(x_3))$ risolvono il problema ai limiti, con la legge costitutiva elastica assegnata, se e solo se la configurazione è cinematicamente ammissibile e rende stazionaria l’energia potenziale rispetto a ogni velocità virtuale cinematicamente ammissibile: \(x_3 \mapsto \mathbf{x}(x_3) \in \mathcal{C}_{a d}, \quad \mathcal{P}_{\mathrm{tot}}^{\prime}(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\mathbf{a}} \circ \mathrm{s})=0, \quad \forall \stackrel{*}{\mathbf{a}} \circ \mathrm{s} \in \mathcal{V}_{a d}\) e \(N(x_3)=\frac{\partial \mathrm{W}_{\mathrm{e}}}{\partial \varepsilon}(\varepsilon(x_3), \kappa_2(x_3)), \quad M_2(x_3)=\frac{\partial \mathrm{W}_{\mathrm{e}}}{\partial \kappa_2}(\varepsilon(x_3), \kappa_2(x_3))\)
Dimostrazione. Per l’implicazione diretta Sia $\mathbf{x}$ una configurazione di equilibrio e siano $N,M_2$ gli sforzi associati dalla legge costitutiva. La configurazione è cinematicamente ammissibile. Per ogni velocità virtuale ammissibile il PPV dà \(\mathrm{P}_{\mathrm{def}}[N, M_2](\stackrel{*}{\mathbf{a}})=\mathrm{P}_{\mathrm{ext}}(\stackrel{*}{\mathbf{a}}), \quad \forall \stackrel{*}{\mathbf{a}} \circ \mathrm{s} \in \mathcal{V}_{\mathrm{ad}}\) Usando (5.33) otteniamo \(\mathcal{P}_{\mathrm{tot}}^{\prime}(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\mathbf{a}} \circ \mathrm{s})=0, \quad \forall \stackrel{*}{\mathbf{a}} \circ \mathrm{s} \in \mathcal{V}_{\mathrm{ad}}\) che è la condizione di stazionarietà. Per l’implicazione inversa Sia $\mathbf{x}$ una configurazione cinematicamente ammissibile che rende stazionaria l’energia potenziale, e siano $N,M_2$ gli sforzi associati dalla legge costitutiva. Dalla (5.33) segue \(\mathrm{P}_{\mathrm{def}}[N, M_2](\stackrel{*}{\mathbf{a}})=\mathrm{P}_{\mathrm{ext}}(\stackrel{*}{\mathbf{a}}), \quad \forall \stackrel{*}{\mathbf{a}} \circ \mathrm{s} \in \mathcal{V}_{\mathrm{ad}} \tag{5.34}\) Non possiamo applicare direttamente il reciproco del PPV, perché (5.34) vale soltanto per le velocità in $\mathcal{V}{\mathrm{ad}}$, non per tutte quelle di $\mathcal{V}{\mathrm{Tot.}}(\mathbf{x})$. La forza tagliante $T_1$ non compare nella formulazione iniziale. La definiamo e mostriamo direttamente che $(N,T_1,M_2)$ soddisfa le equazioni di equilibrio e le condizioni agli estremi. Adottiamo la descrizione euleriana: tutti i campi, compresi gli sforzi interni, dipendono da $s\in\mathcal{I}=(0,\ell)$ e l’apice indica la derivata rispetto a $s$. Espandendo (5.34) otteniamo \(0=-\int_{0}^{\ell}(N \stackrel{*}{\varepsilon}+M_2 \stackrel{*}{\kappa_2}) d s+\int_{0}^{\ell} \mathbf{q} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}} d s+\sum_{i=1}^{n}\left(\mathcal{F}_{i} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}\left(s_{i}\right)+\mathcal{M}_{i} \stackrel{*}{\alpha_2}\left(s_{i}\right)\right)+\mathcal{F}_{\ell} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}(\ell)+\mathcal{M}_{\ell} \stackrel{*}{\alpha_2}(\ell)\) Poiché $\stackrel{}{\varepsilon}=\stackrel{}{\mathbf{a}}^{\prime}\cdot\mathbf{t}$, $\stackrel{}{\alpha_2}=\stackrel{}{\mathbf{a}}^{\prime}\cdot\mathbf{n}$ e $\stackrel{}{\kappa_2}=\stackrel{}{\alpha_2}^{\prime}$, segue $0=-\int_{0}^{\ell}\left(N \stackrel{}{\mathbf{a}}^{\prime} \cdot \mathbf{t}+M_2\left(\stackrel{}{\mathbf{a}}^{\prime} \cdot \mathbf{n}\right)^{\prime}\right) d s+\int_{0}^{\ell} \mathbf{q} \cdot \stackrel{}{\mathbf{a}} d s+\sum_{i=1}^{n}\left(\mathcal{F}_{i} \cdot \stackrel{}{\mathbf{a}}\left(s_{i}\right)+\mathcal{M}{i} \stackrel{*}{\alpha_2}\left(s{i}\right)\right)+\mathcal{F}{\ell} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}(\ell)+\mathcal{M}{\ell} \stackrel{}{\alpha_2}(\ell)$. L’uguaglianza vale per ogni velocità virtuale regolare che soddisfa $\stackrel{}{\mathbf{a}}(0)=\mathbf{0}$ e $\stackrel{}{\mathbf{a}}^{\prime}(0)\cdot\mathbf{n}(0)=0$. Integrando per parti il termine contenente $M_2(\stackrel{}{\mathbf{a}}^{\prime}\cdot\mathbf{n})^{\prime}$ e usando (2.21), otteniamo \(\int_{0}^{\ell} M_2\left(\stackrel{*}{\mathbf{a}}^{\prime} \cdot \mathbf{n}\right)^{\prime} d s=-\int_{\mathcal{I} \backslash \mathbb{P}} M_2^{\prime} \stackrel{*}{\mathbf{a}}^{\prime} \cdot \mathbf{n} d s-\sum_{s_{i} \in \mathbb{P}} \left[\!\left[ M_2 \right]\!\right]\left(s_{i}\right) \stackrel{*}{\alpha_2}\left(s_{i}\right)+M_2(\ell) \stackrel{*}{\alpha_2}(\ell)\) dove $\mathbb{P}={s_{1},\ldots,s_{n}}$. Il termine di bordo in $s=0$ si annulla perché $\stackrel{}{\alpha_2}(0)=0$. Poniamo \(\mathbf{R}(s):=N(s) \mathbf{t}(s)-\frac{d M_2}{d s}(s) \mathbf{n}(s), \quad \forall s \in \mathcal{I} \backslash \mathbb{P}\) ossia definiamo la forza tagliante mediante \(T_1(s):=-\frac{d M_2}{d s}(s)\) L’integrale nella relazione variazionale diventa allora \(\int_{0}^{\ell}\left(N \stackrel{*}{\mathbf{a}}^{\prime} \cdot \mathbf{t}+M_2\left(\stackrel{*}{\mathbf{a}}^{\prime} \cdot \mathbf{n}\right)^{\prime}\right) d s=\int_{\mathcal{I} \backslash \mathbb{P}} \mathbf{R} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}^{\prime} d s-\sum_{s_{i} \in \mathbb{P}} \left[\!\left[ M_2 \right]\!\right]\left(s_{i}\right) \stackrel{*}{\alpha_2}\left(s_{i}\right)+M_2(\ell) \stackrel{*}{\alpha_2}(\ell)\) Integrando per parti anche $\mathbf{R}\cdot\stackrel{}{\mathbf{a}}^{\prime}$ otteniamo \(\int_{\mathcal{I} \backslash \mathbb{P}} \mathbf{R} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}^{\prime} d s=-\int_{\mathcal{I} \backslash \mathbb{P}} \mathbf{R}^{\prime} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}} d s-\sum_{s_{i} \in \mathbb{P}} \left[\!\left[ \mathbf{R} \right]\!\right]\left(s_{i}\right) \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}\left(s_{i}\right)+\mathbf{R}(\ell) \stackrel{*}{\mathbf{a}}(\ell)\) Il termine di bordo in $s=0$ si annulla poiché $\stackrel{}{\mathbf{a}}(0)=\mathbf{0}$. Sostituendo nella relazione variazionale segue \(\begin{aligned} 0= & \int_{\mathcal{I} \backslash \mathbb{P}}\left(\mathbf{R}^{\prime}+\mathbf{q}\right) \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}} d s+\sum_{i=1}^{n}\left(\left[\!\left[ \mathbf{R} \right]\!\right]\left(s_{i}\right)+\mathcal{F}_{i}\right) \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}\left(s_{i}\right)+\sum_{i=1}^{n}\left(\left[\!\left[ M_2 \right]\!\right]\left(s_{i}\right)+\mathcal{M}_{i}\right) \stackrel{*}{\alpha_2}\left(s_{i}\right) \tag{5.35}\\ & +\left(\mathcal{F}_{\ell}-\mathbf{R}(\ell)\right) \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}(\ell)+\left(\mathcal{M}_{\ell}-M_2(\ell)\right) \stackrel{*}{\alpha_2}(\ell), \quad \forall \stackrel{*}{\mathbf{a}} \circ \mathrm{s} \in \mathcal{V}_{\mathrm{ad}} \end{aligned}\) Per ricavare da (5.35) le equazioni locali, le condizioni di salto e le condizioni all’estremo $s=\ell$, usiamo il lemma fondamentale del calcolo delle variazioni dell’Appendice B. Assumiamo, per semplicità, che $\mathbf{R}^{\prime}$ e $\mathbf{q}$ siano continue in ciascun intervallo di $\mathcal{I}\setminus\mathbb{P}$ e ordiniamo i punti di applicazione degli sforzi concentrati come \(0=s_{0}<s_{1}<\cdots<s_{n}<s_{n+1}=\ell\) Procediamo in tre passi. i. Fissati $i\in{0,\ldots,n}$ e $j\in{1,2}$, scegliamo $\stackrel{}{\mathbf{a}}(s)=\varphi(s)\mathbf{e}{j}$ con $\varphi\in\mathcal{D}(s_i,s{i+1})$. La (5.35) diventa \(\int_{s_{i}}^{s_{i+1}}\left(R_{j}^{\prime}(s)+f_{j}(s)\right) \varphi(s) d s=0, \quad \forall \varphi \in \mathcal{D}\left(s_{i}, s_{i+1}\right)\) Il lemma fondamentale implica $R_{j}^{\prime}+f_j=0$ in $(s_i,s_{i+1})$. Poiché ciò vale per ogni $i$ e $j$, \(\mathbf{R}^{\prime}+\mathbf{q}=0 \quad \text {in} \quad \mathcal{I} \backslash \mathbb{P}\) La risultante interna soddisfa dunque l’equazione locale di equilibrio. ii. Sostituendo questa proprietà nella (5.35) otteniamo \(\begin{aligned} 0= & \sum_{i=1}^{n}\left(\left[\!\left[ \mathbf{R} \right]\!\right]\left(s_{i}\right)+\mathcal{F}_{i}\right) \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}\left(s_{i}\right)+\sum_{i=1}^{n}\left(\left[\!\left[ M_2 \right]\!\right]\left(s_{i}\right)+\mathcal{M}_{i}\right) \stackrel{*}{\alpha_2}\left(s_{i}\right) \tag{5.36}\\ & +\left(\mathcal{F}_{\ell}-\mathbf{R}(\ell)\right) \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}(\ell)+\left(\mathcal{M}_{\ell}-M_2(\ell)\right) \stackrel{*}{\alpha_2}(\ell), \quad \forall \stackrel{*}{\mathbf{a}} \circ \mathrm{s} \in \mathcal{V}_{\mathrm{ad}} \end{aligned}\) iii. I valori $\stackrel{}{\mathbf{a}}(s_i)\in\mathbb{R}^{2}$ e $\stackrel{}{\alpha_2}(s_i)\in\mathbb{R}$ possono essere scelti indipendentemente per $i\in{1,\ldots,n+1}$. Pertanto \(\left[\!\left[ \mathbf{R} \right]\!\right]\left(s_{i}\right)+\mathcal{F}_{i}=\mathbf{0}, \quad \left[\!\left[ M_2 \right]\!\right]\left(s_{i}\right)+\mathcal{M}_{i}=0 \quad \forall i \in\{1, \cdots, n\}\) e \(\mathbf{R}(\ell)=\mathcal{F}_{\ell}, \quad M_2(\ell)=\mathcal{M}_{\ell}\) cioè le condizioni di salto nei punti di applicazione degli sforzi concentrati e le condizioni all’estremo $s=\ell$. Abbiamo mostrato che una configurazione cinematicamente ammissibile che rende stazionaria l’energia potenziale è una configurazione di equilibrio: gli sforzi interni soddisfano le equazioni locali, le condizioni di salto e le condizioni all’estremo libero. Nella dimostrazione inversa è stato necessario definire la forza tagliante mediante la derivata del momento flettente, perché essa non compare nella formulazione variazionale iniziale né nella legge costitutiva.
5. Interpretazione delle reazioni in $x_3=0$
Nel PPV generale si considerano tutte le velocità virtuali e tutte le forze esterne, comprese le reazioni in $x_3=0$. Nel problema ai limiti, invece, l’incastro è assegnato e le reazioni sono incognite. Le velocità virtuali ammissibili annullano traslazione e rotazione all’estremo vincolato; perciò le reazioni non compaiono né nell’energia potenziale né nella sua prima variazione. Possiamo tuttavia recuperarle come moltiplicatori di Lagrange. La relazione variazionale (5.34) si scrive \(\mathrm{L}_{0}(\stackrel{*}{\mathbf{a}})=0, \quad \forall \stackrel{*}{\mathbf{a}} \text {Regolare:} \quad \stackrel{*}{\mathbf{a}}(0)=\mathbf{0}, \quad \stackrel{*}{\alpha_2}(0)=\stackrel{*}{\mathbf{a}}^{\prime}(0) \cdot \mathbf{n}_{0}=0\) dove \(\mathrm{L}_{0}(\stackrel{*}{\mathbf{a}}):=\mathrm{P}_{\mathrm{def}}[N, M_2](\stackrel{*}{\mathbf{a}})-\mathrm{P}_{\mathrm{ext}}(\stackrel{*}{\mathbf{a}})\) La forma lineare $\mathrm{L}{0}$ è la differenza tra la potenza degli sforzi interni e quella delle forze esterne assegnate. Anche $\mathrm{L}{1}$, $\mathrm{L}{2}$ e $\mathrm{L}{3}$, definite da \(\mathrm{L}_{1}(\stackrel{*}{\mathbf{a}}):=\stackrel{*}{a_{1}}(0), \quad \mathrm{L}_{2}(\stackrel{*}{\mathbf{a}}):=\stackrel{*}{a_{2}}(0), \quad \mathrm{L}_{3}(\stackrel{*}{\mathbf{a}}):=\stackrel{*}{\alpha_2}(0)\) La (5.34) afferma che $\mathrm{L}{0}$ si annulla ogni volta che si annullano $\mathrm{L}{1}$, $\mathrm{L}{2}$ e $\mathrm{L}{3}$: \(\mathrm{L}_{1}(\stackrel{*}{\mathbf{a}})=\mathrm{L}_{2}(\stackrel{*}{\mathbf{a}})=\mathrm{L}_{3}(\stackrel{*}{\mathbf{a}})=0 \quad \Longrightarrow \quad \mathrm{~L}_{0}(\stackrel{*}{\mathbf{a}})=0.\) Per il teorema dei moltiplicatori di Lagrange, richiamato nella Proposizione B.2, ciò equivale a richiedere che $\mathrm{L}{0}$ sia una combinazione lineare di $\mathrm{L}{1}$, $\mathrm{L}{2}$ e $\mathrm{L}{3}$: \(\exists\left(\lambda_{1}, \lambda_{2}, \lambda_{3}\right) \in \mathbb{R}^{3} \quad: \quad \mathrm{L}_{0}=\lambda_{1} \mathrm{~L}_{1}+\lambda_{2} \mathrm{~L}_{2}+\lambda_{3} \mathrm{~L}_{3}.\) I numeri $\lambda_i$ sono i moltiplicatori di Lagrange associati ai vincoli $\mathrm{L}{i}(\stackrel{*}{\mathbf{a}})=0$. L’uguaglianza fra forme lineari significa \(\mathrm{L}_{0}(\stackrel{*}{\mathbf{a}})-\sum_{i=1}^{3} \lambda_{i} \mathrm{~L}_{i}(\stackrel{*}{\mathbf{a}})=0 \quad \forall \stackrel{*}{\mathbf{a}} \text {regolare regolare}\) Otteniamo quindi una relazione variazionale valida per ogni velocità virtuale regolare: \(\begin{aligned} 0= & -\int_{0}^{\ell}(N \stackrel{*}{\varepsilon}+M_2 \stackrel{*}{\kappa_2}) d s+\left(\lambda_{1} \mathbf{e}_{1}+\lambda_{2} \mathbf{e}_{2}\right) \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}(0)+\lambda_{3} \stackrel{*}{\alpha_2}(0) \\ & +\int_{0}^{\ell} \mathbf{q} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}} d s+\sum_{i=1}^{n}\left(\mathcal{F}_{i} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}\left(s_{i}\right)+\mathcal{M}_{i} \stackrel{*}{\alpha_2}\left(s_{i}\right)\right)+\mathcal{F}_{\ell} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}(\ell)+\mathcal{M}_{\ell} \stackrel{*}{\alpha_2}(\ell), \quad \forall \stackrel{*}{\mathbf{a}} \text {Regolare.} \end{aligned}\) Confrontando questa relazione con il PPV completo, riconosciamo $\lambda{1}\mathbf{e}{1}+\lambda{2}\mathbf{e}{2}$ come la reazione $\mathcal{F}{0}$ e $\lambda_{3}$ come il momento di reazione $\mathcal{M}_{0}$ all’estremo vincolato.
Proposizione 5.10. Nella formulazione variazionale (5.34), la reazione $\mathcal{F}{0}$ e il momento di reazione $\mathcal{M}{0}$ in $x_3=0$ sono i moltiplicatori di Lagrange associati, rispettivamente, ai vincoli $\stackrel{}{\mathbf{a}}(0)=\mathbf{0}$ e $\stackrel{}{\alpha_2}(0)=0$.
Dimostrazione. La relazione variazionale è inizialmente imposta sul sottospazio definito dai vincoli $\stackrel{}{\mathbf{a}}(0)=\mathbf{0}$ e $\stackrel{}{\alpha_2}(0)=0$. Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange dell’Appendice B consente di estenderla allo spazio delle velocità virtuali totali aggiungendo una forma lineare nei valori vincolati. I coefficienti di questa forma sono una forza e un momento; confrontando l’identità estesa con il PPV completo essi coincidono con $\mathcal{F}_0$ e $\mathcal{M}_0$. $\square$
Esercizio 5.4. Ripetere il procedimento e stabilire il teorema dell’energia potenziale nei casi seguenti:
- il mezzo è incernierato in $x_3=0$ nel punto $\mathbf{x}{0}$ e l’estremo $x_3=\ell{\mathrm{R}}$ è appoggiato sulla retta $x_{2}=kx_{1}+a$;
- il mezzo è chiuso.
5.4.2 Barre elastiche estensibili senza flessione
1. Problema ai limiti e ipotesi
Consideriamo un mezzo curvilineo le cui configurazioni siano rettilinee lungo una direzione fissa $\mathbf{t}$. La configurazione corrente è descritta dallo spostamento assiale $x_3\mapsto a_3(x_3)$: \(\mathbf{x}(x_3)=(x_3+a_3(x_3)) \mathbf{t}, \quad x_3 \in \mathcal{I}_{\mathrm{R}}=\left(0, \ell_{\mathrm{R}}\right)\) L’ascissa curvilinea nella configurazione corrente è \(s=\mathrm{s}(x_3)=x_3+a_3(x_3)\) e la deformazione estensionale è \(\varepsilon(x_3)=a_3^{\prime}(x_3)>-1.\) L’unico sforzo interno non nullo è quello normale: $\mathbf{R}(x_3)=N(x_3)\mathbf{t}$ e $M_2(x_3)=0$. La legge costitutiva è $N=\mathrm{N}{\mathrm{ex}}(\varepsilon)=\mathrm{W}{\mathrm{ex}}^{\prime}(\varepsilon)$. Consideriamo il problema nel quale la barra
- è fissata in $x_3=0$, quindi $a_3(0)=0$;
- è soggetta a forze distribuite conservative, la cui densità rispetto all’ascissa materiale è \(\mathbf{q}_{\mathrm{R}}(x_3)=-\varrho_{\mathrm{R}}(x_3) \Phi^{\prime}(x_3+a_3(x_3)) \mathbf{t}\) dove il potenziale $x\mapsto\Phi(x)$ è regolare per $x\in(0,+\infty)$;
- è soggetta alle forze concentrate morte $\mathcal{F}{i}\mathbf{t}$ nei punti materiali $x{3,i}$, $1\leq i\leq n$;
- è soggetta alla forza morta $\mathcal{F}{\ell}\mathbf{t}$ all’estremo $x_3=\ell{\mathrm{R}}$. Il problema ai limiti consiste nel determinare $x_3\mapsto(a_3(x_3),N(x_3))$ tale che \(\left\{\begin{array}{l} N^{\prime}(x_3)-\varrho_{\mathrm{R}}(x_3) \Phi^{\prime}(x_3+a_3(x_3))=0 \quad \text {in} \quad\left(0, \ell_{\mathrm{R}}\right) \backslash \mathbb{P}_{\mathrm{R}} \tag{5.37}\\ \left[\!\left[ N \right]\!\right]\left(x_{3,i}\right)+\mathcal{F}_{i}=0 \quad \text {Su} \quad \mathbb{P}_{\mathrm{R}} \\ N(x_3)=\mathrm{W}_{\mathrm{ex}}^{\prime}\left(a_3^{\prime}(x_3)\right) \quad \text {in} \quad\left(0, \ell_{\mathrm{R}}\right) \\ a_3(0)=0, \quad N\left(\ell_{\mathrm{R}}\right)=\mathcal{F}_{\ell}, \end{array}\right.\) dove $\mathbb{P}{\mathrm{R}}={x{3,1},\ldots,x_{3,n}}$.
2. Energia potenziale e campi cinematicamente ammissibili
L’energia potenziale totale è la somma dell’energia elastica estensionale e dell’energia potenziale delle forze conservative. Poiché la configurazione è determinata da $a_3$, entrambe sono funzionali di $a_3$: \(\mathcal{P}_{\mathrm{tot}}(a_3)=\mathcal{P}_{\text {E' un'altra cosa.}}(a_3)+\mathcal{P}_{\text {ex}}(a_3)\) con \(\mathcal{P}_{\text {E' un'altra cosa.}}(a_3)=\int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \mathrm{~W}_{\text {ex}}\left(a_3^{\prime}(x_3)\right) d x_3, \quad \mathcal{P}_{\text {ex}}(a_3)=\int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \varrho_{\mathrm{R}}(x_3) \Phi(x_3+a_3(x_3)) d x_3-\sum_{i=1}^{n} \mathcal{F}_{i} a_3\left(x_{3,i}\right)-\mathcal{F}_{\ell} a_3\left(\ell_{\mathrm{R}}\right)\) La costante additiva del potenziale dei carichi morti è scelta in modo che esso si annulli nella configurazione di riferimento. I campi di spostamento cinematicamente ammissibili hanno energia finita e soddisfano il vincolo in $x_3=0$: \(\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}=\left\{x_3 \mapsto a_3(x_3): \mathcal{P}_{\mathrm{tot}}(a_3)<+\infty, \quad a_3(0)=0\right\}\) In linea di principio occorre imporre anche la non degenerazione $a_3^{\prime}>-1$. In alternativa, si può incorporarla nel potenziale assumendo $\lim_{\varepsilon\to-1}\mathrm{W}{\mathrm{ex}}(\varepsilon)=+\infty$. Nel primo caso verificheremo a posteriori che le soluzioni soddisfino la condizione. La regolarità richiesta dipende dalla crescita del potenziale elastico. Esempio 5.2. Se il comportamento è linearmente elastico, $\mathrm{W}{\mathrm{ex}}(a_3^{\prime})=\frac{1}{2}\mathrm{EA}a_3^{\prime 2}$. Affinché l’energia sia finita, $a_3$ e $a_3^{\prime}$ devono essere quadrato integrabili, ossia $a_3\in H^{1}(0,\ell_{\mathrm{R}})$. Osservazione. Questo problema è un caso particolare di quello precedente. Ripetiamo i passaggi essenziali perché qui la struttura variazionale risulta particolarmente trasparente. Se trascuriamo la condizione di non degenerazione, $\mathcal{C}{\mathrm{ad}}$ è uno spazio vettoriale e $\mathcal{V}{\mathrm{ad}}=\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}$.
3. Prima variazione dell’energia
Consideriamo un movimento virtuale cinematicamente ammissibile attorno a $a_3\in\mathcal{C}{\mathrm{ad}}$. Poiché $\mathcal{C}{\mathrm{ad}}$ è uno spazio vettoriale, possiamo scegliere \(\mathbf{u}_{h} \circ \mathrm{s}(x_3)=\mathbf{u}(x_3)+h \stackrel{*}{a_3} \circ \mathrm{s}(x_3) \quad \text {— sì,} \quad \stackrel{*}{a_3} \circ \mathrm{s} \in \mathcal{C}_{\mathrm{ad}}\) La deformazione estensionale associata è $(a_{3,h}\circ\mathrm{s})^{\prime}$ e soddisfa \(\left(\mathbf{u}_{h} \circ \mathrm{s}\right)^{\prime}(x_3)=\frac{d \mathbf{u}_{h}}{d s}(s) \mathrm{s}^{\prime}(x_3) \quad \text {— sì,} \quad s=\mathrm{s}(x_3)\) Derivando rispetto a $h$ in $h=0$ otteniamo la velocità di deformazione estensionale rispetto alla configurazione di riferimento: \(\left.\frac{d}{d h}\left(\left(a_{3,h} \circ \mathrm{~s}\right)^{\prime}(x_3)\right)\right|_{h=0}=\frac{d \stackrel{*}{a_3}}{d s}(s) \mathrm{s}^{\prime}(x_3)\) La prima variazione dell’energia elastica è quindi \(\mathcal{P}_{\mathrm{ela}}^{\prime}(a_3)(\stackrel{*}{a_3} \circ \mathrm{~s}):=\left.\frac{d}{d h}\left(\mathcal{P}_{\mathrm{ela}}\left(a_{3,h} \circ \mathrm{~s}\right)\right)\right|_{h=0}=\int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \mathrm{~W}_{\mathrm{ex}}^{\prime}\left(a_3^{\prime}(x_3)\right) \frac{d \stackrel{*}{a_3}}{d s}(\mathrm{~s}(x_3)) \mathrm{s}^{\prime}(x_3) d x_3=\int_{0}^{\ell} N \circ \mathrm{s}^{-1}(s) \frac{d \stackrel{*}{a_3}}{d s}(s) d s\) Qui $N\circ\mathrm{s}^{-1}$ è lo sforzo normale nella descrizione euleriana associato alla configurazione $a_3$. Nell’ultimo membro riconosciamo la potenza virtuale dello sforzo normale: \(\mathcal{P}_{\mathrm{ela}}^{\prime}(a_3)(\stackrel{*}{a_3} \circ \mathrm{~s})=\mathrm{P}_{\mathrm{def}}[N](\stackrel{*}{a_3})\) La variazione dell’energia potenziale dei carichi si calcola analogamente: \(\begin{aligned} \mathcal{P}_{\text {ex}}^{\prime}(a_3)(\stackrel{*}{a_3} \circ \mathrm{~s}) &:=\left.\frac{d}{d h}\left(\mathcal{P}_{\text {ex}}\left(a_{3,h} \circ \mathrm{~s}\right)\right)\right|_{h=0} \\ & =\int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \varrho_{\mathrm{R}}(x_3) \Phi^{\prime}(x_3+a_3(x_3)) \stackrel{*}{a_3} \circ \mathrm{~s}(x_3) d x_3-\sum_{i=1}^{n} \mathcal{F}_{i} \stackrel{*}{a_3}\left(s_{i}\right)-\mathcal{F}_{\ell} \stackrel{*}{a_3}(\ell) \\ & =-\int_{0}^{\ell} q_{t}(s) \stackrel{*}{a_3}(s) d s-\sum_{i=1}^{n} \mathcal{F}_{i} \stackrel{*}{a_3}\left(s_{i}\right)-\mathcal{F}_{\ell} \stackrel{*}{a_3}(\ell) \end{aligned}\) Qui $q_{t}$ è la componente tangenziale della densità di forza per unità di lunghezza corrente. Il secondo membro è l’opposto della potenza virtuale delle forze esterne; il termine della reazione in $x_3=0$ si annulla poiché $\stackrel{*}{a_3}(0)=0$. Pertanto \(\mathcal{P}_{\text {ex}}^{\prime}(a_3)(\stackrel{*}{a_3} \circ \mathrm{~s})=-\mathrm{P}_{\text {ex}}(\stackrel{*}{a_3})\)
4. Teorema dell’energia potenziale
Se $(a_3,N)$ risolve il problema ai limiti, il PPV applicato alle velocità virtuali cinematicamente ammissibili dà \(\mathrm{P}_{\text {Sfide}}[N](\stackrel{*}{a_3})-\mathrm{P}_{\text {ex}}(\stackrel{*}{a_3})=0, \quad \forall \stackrel{*}{a_3} \circ \mathrm{s} \in \mathcal{C}_{\text {Ad esempio,}}\) Usando le identità precedenti segue \(a_3 \in \mathcal{C}_{\mathrm{ad}}, \quad \mathcal{P}_{\mathrm{tot}}^{\prime}(a_3)(\stackrel{*}{a_3} \circ \mathrm{~s})=0 \quad \forall \stackrel{*}{a_3} \circ \mathrm{s} \in \mathcal{C}_{\mathrm{ad}} \tag{5.38}\) Dunque $a_3$ rende stazionaria l’energia potenziale. L’implicazione inversa \(a_3 \text {Assaggi}(5.38) \quad \Longrightarrow \quad\left(a_3, N:=\mathrm{W}_{\mathrm{ex}}^{\prime}\left(a_3^{\prime}\right)\right) \text {è il problema del problemama ai limiti}\) si dimostra come nel caso generale, mediante il lemma fondamentale del calcolo delle variazioni. Proposizione 5.11. Il teorema dell’energia potenziale vale anche per le barre elastiche estensibili prive di flessione.
Dimostrazione. La prima variazione dell’energia elastica è $\int N\stackrel{*}{\varepsilon}\,ds$, mentre quella dei carichi conservativi è $-\mathrm{P}_{\mathrm{ext}}$. La stazionarietà equivale dunque al PPV. Integrando per parti e scegliendo funzioni di prova prima a supporto compatto e poi arbitrarie all’estremo libero, ricaviamo l’equazione assiale, le condizioni di salto e le condizioni naturali al bordo; l’implicazione diretta segue dagli stessi passaggi in ordine inverso. $\square$
5.4.3 Caso dei fili elastici estensibili
Consideriamo ora un filo elastico estensibile soggetto a carichi conservativi e stabiliamo la corrispondente versione del teorema dell’energia potenziale.
1. Problema ai limiti e ipotesi
Sia dato un filo elastico, non necessariamente omogeneo, con ascissa materiale $x_3\in(0,\ell_{\mathrm{R}})$ e densità lineare naturale $\varrho_{\mathrm{R}}(x_3)$. Il comportamento è descritto dal potenziale elastico $\varepsilon\mapsto\mathrm{W}{\mathrm{ex}}(\varepsilon)$, eventualmente dipendente anche da $x_3$. Le forze distribuite derivano dal potenziale di massa $\mathbf{y}\mapsto\Phi(\mathbf{y})$: \(\mathbf{q}_{\mathrm{R}}(x_3)=-\varrho_{\mathrm{R}}(x_3) \nabla \Phi(\mathbf{x}(x_3))\) Agiscono inoltre le forze concentrate morte $\mathcal{F}{i}$ nei punti materiali $x_{3,i}\in\mathbb{P}{\mathrm{R}}$. L’estremo $x_3=0$ è fissato nel punto $\mathbf{x}{0}$, mentre all’estremo $x_3=\ell_{\mathrm{R}}$ è applicata la forza $\mathcal{F}_{\ell}$. Il problema consiste nel determinare la configurazione di equilibrio $x_3\mapsto\mathbf{x}(x_3)$ e lo sforzo normale $x_3\mapsto N(x_3)$ tali che \(\begin{array}{clll} \text {Equazioni di equilibrio} &: & \left\{\begin{array}{lll} \frac{d(N \mathbf{t})}{d x_3}(x_3)-\varrho_{\mathrm{R}}(x_3) \nabla \Phi(\mathbf{x}(x_3))=\mathbf{0} & \text {in} & \mathcal{I}_{\mathrm{R}} \backslash \mathbb{P}_{\mathrm{R}} \\ \left[\!\left[ N \mathbf{t} \right]\!\right]\left(x_{3,i}\right)+\mathcal{F}_{i}=\mathbf{0} & \text {Su} & \mathbb{P}_{\mathrm{R}} \end{array}\right. \\ \text {condizioni di limite} &: & \mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_{0} \quad N\left(\ell_{\mathrm{R}}\right) \mathbf{t}\left(\ell_{\mathrm{R}}\right)=\mathcal{F}_{\ell} & \\ \text {report di portamento} &: & N(x_3)=\mathrm{W}_{\mathrm{ex}}^{\prime}(\varepsilon(x_3)) & \end{array}\) Rispetto al problema del mezzo estensibile e flessibile, sono assenti i momenti esterni e il vincolo di orientamento: il filo non trasmette momento. L’assenza di rigidezza flessionale riduce inoltre la regolarità delle configurazioni ammissibili. Ripetiamo quindi il procedimento, evidenziando le differenze.
2. Configurazioni cinematicamente ammissibili ed energia potenziale
Per una configurazione $x_3\mapsto\tilde{\mathbf{x}}(x_3)$ l’energia potenziale totale è la somma dell’energia elastica e dell’energia potenziale dei carichi conservativi: \((\text {Totale}) \quad \mathcal{P}_{\mathrm{tot}}(\tilde{\mathbf{x}})=\mathcal{P}_{\text {E' un'altra cosa.}}(\tilde{\mathbf{x}})+\mathcal{P}_{\text {ex}}(\tilde{\mathbf{x}})\) con \(\text {(energia elastica)} \quad \mathcal{P}_{\text {E' un'altra cosa.}}(\tilde{\mathbf{x}})=\int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \mathrm{~W}_{\text {ex}}(\tilde{\varepsilon}(x_3)) d x_3\) e dove \(\mathcal{P}_{\mathrm{ext}}(\tilde{\mathbf{x}})=\int_{0}^{\ell_{\mathrm{R}}} \varrho_{\mathrm{R}}(x_3) \Phi(\tilde{\mathbf{x}}(x_3)) d x_3-\sum_{i=1}^{n} \mathcal{F}_{i} \cdot \tilde{\mathbf{x}}\left(x_{3,i}\right)-\mathcal{F}_{\ell} \cdot \tilde{\mathbf{x}}\left(\ell_{\mathrm{R}}\right)\) Qui $\tilde{\varepsilon}=|\tilde{\mathbf{x}}^{\prime}(x_3)|-1$ è la deformazione estensionale. Non compare alcun contributo flessionale. Le configurazioni cinematicamente ammissibili sono \(\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}=\left\{x_3 \mapsto \tilde{\mathbf{x}}(x_3): \mathcal{P}_{\mathrm{tot}}(\tilde{\mathbf{x}})<+\infty, \quad \tilde{\mathbf{x}}(0)=\mathbf{x}_{0}\right\}\) Sono dunque le configurazioni di energia finita che soddisfano il vincolo in $x_3=0$. Poiché manca la rigidezza flessionale, la regolarità richiesta è minore. Lo mostra l’esempio seguente.
Esempio 5.3 (Regolarità per il filo soggetto al peso proprio). Nel problema della sezione 4.3.3, con potenziale elastico quadratico, gravità uniforme e carico morto all’estremo, l’energia potenziale è \(\mathcal{P}_{\mathrm{ela}}(\tilde{\mathbf{x}})=\int_{0}^{\ell_{R}}\left(\frac{1}{2} \mathrm{EA}\left(\left\|\tilde{\mathbf{x}}^{\prime}(x_3)\right\|-1\right)^{2}+\varrho_{R} g \tilde{x}_{2}(x_3)\right) d x_3+\mathcal{F} \cdot \tilde{\mathbf{x}}\left(\ell_{R}\right)\) Fra le configurazioni che soddisfano il vincolo in $x_3=0$, hanno energia finita quelle per cui $\tilde{x}{2}$ è integrabile e $\tilde{x}{1}^{\prime},\tilde{x}{2}^{\prime}$ sono quadrato integrabili. La configurazione $x_3\mapsto\tilde{\mathbf{x}}(x_3)$ è continua su $[0,\ell{\mathrm{R}}]$, ma la tangente può avere salti perché manca la rigidezza flessionale. L’insieme $\mathcal{C}{\mathrm{ad}}$ è affine, ed è uno spazio vettoriale se $\mathbf{x}{0}=\mathbf{0}$. Il suo spazio vettoriale associato è \(\mathcal{V}_{\mathrm{ad}}=\left\{\tilde{\mathbf{a}}: \mathcal{P}_{\mathrm{tot}}(\tilde{\mathbf{a}})<+\infty, \quad \tilde{\mathbf{a}}(0)=\mathbf{0}\right\}\)
3. Prima variazione dell’energia potenziale
Sia $x_3\mapsto\mathbf{x}(x_3)$ una configurazione cinematicamente ammissibile, non necessariamente di equilibrio. Poiché $\mathcal{C}{\mathrm{ad}}$ è affine, consideriamo il movimento virtuale \(\mathbf{x}_{h} \circ \mathrm{s}(x_3)=\mathbf{x}(x_3)+h \stackrel{*}{\mathbf{a}} \circ \mathrm{s}(x_3) \quad \text {— sì,} \quad \stackrel{*}{\mathbf{a}} \circ \mathrm{s} \in \mathcal{V}_{\mathrm{ad}}\) Indichiamo con $\varepsilon{h}^{\mathrm{R}}$ la deformazione estensionale della configurazione virtuale rispetto all’ascissa materiale $x_3$. Come prima, \(\varepsilon_{h}^{\mathrm{R}}(x_3):=\left\|\left(\mathbf{x}_{h} \circ \mathrm{s}\right)^{\prime}(x_3)\right\|-1=\left\|\frac{d \mathbf{x}_{h}}{d s}(s)\right\| \frac{d \mathrm{s}}{d x_3}(x_3)-1=\left(1+\varepsilon_{h}(s)\right) \frac{d \mathrm{s}}{d x_3}(x_3)-1,\) dove $s=\mathrm{s}(x_3)$ è l’ascissa curvilinea della configurazione $x_3\mapsto\mathbf{x}(x_3)$. Il calcolo della prima variazione coincide con quello del caso generale, senza i termini relativi a momenti e rotazioni: \(\mathcal{P}_{\mathrm{tot}}^{\prime}(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\mathbf{a}} \circ \mathrm{s})=\mathrm{P}_{\text {Sfide}}[N, 0](\stackrel{*}{\mathbf{a}})-\mathrm{P}_{\text {ex}}(\stackrel{*}{\mathbf{a}}), \quad \forall \mathbf{x} \in \mathcal{C}_{\text {Ad esempio,}}, \quad \forall \stackrel{*}{\mathbf{a}} \circ \mathrm{s} \in \mathcal{V}_{\text {Ad esempio,}} \tag{5.39}\) con \(\mathrm{P}_{\mathrm{def}}[N, 0](\stackrel{*}{\mathbf{a}})=\int_{0}^{\ell} N(s) \stackrel{*}{\varepsilon}(s) d s, \quad \mathrm{P}_{\mathrm{ext}}(\stackrel{*}{\mathbf{a}})=\int_{0}^{\ell} \mathbf{q}(s) \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}(s) d s+\sum_{i=1}^{n} \mathcal{F}_{i} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}\left(s_{i}\right)+\mathcal{F}_{\ell} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}(\ell)\) Qui $s_i=\mathrm{s}(x_{3,i})$ e $\ell=\mathrm{s}(\ell_{\mathrm{R}})$. Le velocità virtuali ammissibili sono meno regolari che nel caso dotato di rigidezza flessionale; tuttavia sono ancora sufficientemente regolari perché la forza interna compaia soltanto attraverso lo sforzo normale.
4. Proprietà energetiche degli stati di equilibrio
Proposizione 5.12 (Teorema dell’energia potenziale per fili elastici soggetti a carichi conservativi). La configurazione $x_3\mapsto\mathbf{x}(x_3)$ e lo sforzo normale $x_3\mapsto N(x_3)$ risolvono il problema ai limiti, con la legge costitutiva elastica assegnata, se e solo se la configurazione è cinematicamente ammissibile e rende stazionaria l’energia potenziale rispetto a ogni velocità virtuale cinematicamente ammissibile: \(x_3 \mapsto \mathbf{x}(x_3) \in \mathcal{C}_{a d}, \quad \mathcal{P}_{\mathrm{tot}}^{\prime}(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\mathbf{a}} \circ \mathrm{s})=0, \quad \forall \stackrel{*}{\mathbf{a}} \circ \mathrm{s} \in \mathcal{V}_{a d}, \quad N(x_3)=\mathrm{W}_{\text {ex}}^{\prime}(\varepsilon(x_3)). \quad.\)
Dimostrazione. L’implicazione diretta segue dalle Proposizioni 5.7 e 5.8 e dal PPV. Soltanto l’implicazione inversa richiede un adattamento. Sia $\mathbf{x}$ una configurazione cinematicamente ammissibile che rende stazionaria l’energia potenziale, e poniamo $(N,M_2)=(\mathrm{W}_{\mathrm{ex}}^{\prime}(\varepsilon),0)$. Allora \(\mathrm{P}_{\mathrm{def}}[N, 0](\stackrel{*}{\mathbf{a}})=\mathrm{P}_{\mathrm{ext}}(\stackrel{*}{\mathbf{a}}), \quad \forall \stackrel{*}{\mathbf{a}} \circ \mathrm{s} \in \mathcal{V}_{\mathrm{ad}} \tag{5.40}\) Adottiamo la descrizione euleriana, con tutti i campi dipendenti da $s=\mathrm{s}(x_3)\in(0,\ell)$ e l’apice indicante la derivata rispetto a $s$. Poniamo \(T_1(s):=0, \quad \quad \mathbf{R}(s):=N(s) \mathbf{t}(s) \text {. }\) Espandendo (5.40) otteniamo \(0=-\int_{0}^{\ell} N \stackrel{*}{\varepsilon} d s+\int_{0}^{\ell} \mathbf{q} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}} d s+\sum_{i=1}^{n} \mathcal{F}_{i} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}\left(s_{i}\right)+\mathcal{F}_{\ell} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}(\ell) \tag{5.41}\) Poiché $\stackrel{}{\varepsilon}=\stackrel{}{\mathbf{a}}^{\prime}\cdot\mathbf{t}$, segue \(0=-\int_{0}^{\ell} \mathbf{R} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}^{\prime} d s+\int_{0}^{\ell} \mathbf{q} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}} d s+\sum_{i=1}^{n} \mathcal{F}_{i} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}\left(s_{i}\right)+\mathcal{F}_{\ell} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}(\ell)\) La relazione vale per ogni $\stackrel{}{\mathbf{a}}$ continua e derivabile a tratti, con $\stackrel{}{\mathbf{a}}(0)=\mathbf{0}$. Integrando per parti $\mathbf{R}\cdot\stackrel{*}{\mathbf{a}}^{\prime}$ mediante (2.21), otteniamo \(\int_{0}^{\ell} \mathbf{R} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}^{\prime} d s=-\int_{\mathcal{I} \backslash \mathbb{P}} \mathbf{R}^{\prime} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}} d s-\sum_{s_{i} \in \mathbb{P}} \left[\!\left[ \mathbf{R} \right]\!\right]\left(s_{i}\right) \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}\left(s_{i}\right)+\mathbf{R}(\ell) \stackrel{*}{\mathbf{a}}(\ell)\) Il termine di bordo in $s=0$ si annulla per il vincolo cinematico. Sostituendo nella relazione variazionale segue \(0=\int_{\mathcal{I} \backslash \mathbb{P}}\left(\mathbf{R}^{\prime}+\mathbf{q}\right) \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}} d s+\sum_{i=1}^{n}\left(\left[\!\left[ \mathbf{R} \right]\!\right]\left(s_{i}\right)+\mathcal{F}_{i}\right) \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}\left(s_{i}\right)+\left(\mathcal{F}_{\ell}-\mathbf{R}(\ell)\right) \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}(\ell), \quad \forall \stackrel{*}{\mathbf{a}} \circ \mathrm{s} \in \mathcal{V}_{\mathrm{ad}} \tag{5.42}\) Il resto della dimostrazione coincide con il caso precedente: variando il campo di velocità virtuale e usando il lemma fondamentale del calcolo delle variazioni ricaviamo le equazioni locali, le condizioni di salto e la condizione all’estremo $s=\ell$. Il teorema dell’energia potenziale vale dunque anche per i fili. Rispetto a un mezzo dotato di rigidezza flessionale, sono ammissibili più configurazioni e più velocità virtuali, e la tangente può essere discontinua.
Esercizio 5.5. Stabilire il teorema dell’energia potenziale per un filo elastico omogeneo soggetto alla gravità $-g\mathbf{e}{2}$ e appoggiato all’estremo sulla parabola $x{2}=-x_{1}^{2}/R$, con $R>0$. Definire in particolare $\mathcal{P}{\mathrm{Tot.}}(\mathbf{x})$, l’insieme $\mathcal{C}{\mathrm{ad}}$, che non è affine, e lo spazio tangente $\mathcal{V}_{\mathrm{ad}}(\mathbf{x})$.
5.4.4 Mezzi inestensibili
Il teorema dell’energia potenziale vale anche per i mezzi inestensibili, purché l’inestensibilità sia inclusa nell’ammissibilità cinematica. L’implicazione inversa è più delicata e usa un moltiplicatore di Lagrange associato al vincolo di inestensibilità. Presentiamo il caso di un filo inestensibile; il procedimento per un mezzo inestensibile e flessibile è analogo. Sia $s\in\mathcal{I}=(0,\ell)$.
1. Problema ai limiti
Cerchiamo la configurazione di equilibrio $s\mapsto\mathbf{x}(s)$ e lo sforzo normale $s\mapsto N(s)$ tali che \(\begin{array}{cll} \text {Equazioni di equilibrio} &:\left\{\begin{array}{lll} \frac{d(N \mathbf{t})}{d s}(s)-\varrho_{\mathrm{R}}(s) \nabla \Phi(\mathbf{x}(s))=\mathbf{0} & \text {in} & \mathcal{I} \backslash \mathbb{P} \\ \left[\!\left[ N \mathbf{t} \right]\!\right]\left(s_{i}\right)+\mathcal{F}_{i}=\mathbf{0} & \text {Su} & \mathbb{P} \end{array}\right. \\ \text {condizioni di limite} &: & \mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_{0} \quad N(\ell) \mathbf{t}(\ell)=\mathcal{F}_{\ell} \\ \text {condizione di intensificabilità} &: & \varepsilon(s):=\left\|\mathbf{x}^{\prime}(s)\right\|-1=0 \quad \text {in} \quad \mathcal{I}, \end{array}\) dove $\mathbb{P}={s_{1},\ldots,s_{n}}$.
2. Energia potenziale e configurazioni ammissibili
L’energia elastica è nulla; l’energia potenziale totale coincide con quella dei carichi conservativi: \(\mathcal{P}_{\text {E' un'altra cosa.}}(\tilde{\mathbf{x}})=0, \quad \mathcal{P}_{\mathrm{tot}}(\tilde{\mathbf{x}})=\int_{0}^{\ell} \varrho_{\mathrm{R}}(s) \Phi(\tilde{\mathbf{x}}(s)) d s-\sum_{i=1}^{n} \mathcal{F}_{i} \cdot \tilde{\mathbf{x}}\left(s_{i}\right)-\mathcal{F}_{\ell} \cdot \tilde{\mathbf{x}}(\ell)\) Le configurazioni cinematicamente ammissibili sono \(\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}=\left\{s \mapsto \tilde{\mathbf{x}}(s): \mathcal{P}_{\mathrm{tot}}(\tilde{\mathbf{x}})<+\infty, \quad \tilde{\mathbf{x}}(0)=\mathbf{x}_{0}, \quad\left\|\tilde{\mathbf{x}}^{\prime}(s)\right\|=1 \quad \forall s \in(0, \ell)\right\}\) L’insieme incorpora il vincolo di inestensibilità. Non è affine, ma costituisce una varietà differenziabile; la regolarità deve rendere significativo sia il potenziale sia i vincoli. Nel seguito consideriamo configurazioni continue e derivabili a tratti.
3. Velocità virtuali ammissibili
Per un movimento virtuale attorno a $s\mapsto\mathbf{x}(s)$, la velocità di deformazione estensionale è $\stackrel{}{\varepsilon}=\stackrel{}{\mathbf{a}}^{\prime}\cdot\mathbf{t}$. L’inestensibilità impone quindi $\stackrel{}{\mathbf{a}}^{\prime}\cdot\mathbf{t}=0$. Lo spazio delle velocità virtuali cinematicamente ammissibili è \(\mathcal{V}_{\mathrm{ad}}(\mathbf{x})=\left\{s \mapsto \stackrel{*}{\mathbf{a}}(s): \text {"regolar",} \quad \stackrel{*}{\mathbf{a}}(0)=\mathbf{0}, \quad \stackrel{*}{\mathbf{a}^{\prime}(s) \cdot \mathbf{t}(s)=0 \quad \forall s \in(0, \ell)}\right\}.\) Esso è lo spazio tangente a $\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}$ nel punto $\mathbf{x}$. Per $\mathbf{x}\in\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}$ e $\stackrel{}{\mathbf{a}}\in\mathcal{V}_{\mathrm{ad}}(\mathbf{x})$, la prima variazione dell’energia è \(\mathcal{P}_{\mathrm{tot}}^{\prime}(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\mathbf{a}})=-\mathrm{P}_{\text {ex}}(\stackrel{*}{\mathbf{a}})=-\int_{0}^{\ell} \mathbf{q}(s) \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}(s) d s-\sum_{i=1}^{n} \mathcal{F}_{i} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}\left(s_{i}\right)-\mathcal{F}_{\ell} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{a}}(\ell)\)
4. Teorema dell’energia potenziale
Sia $s\mapsto\mathbf{x}(s)$ una configurazione di equilibrio cinematicamente ammissibile. Poiché $\mathcal{V}{\mathrm{ad}}(\mathbf{x})\subset\mathcal{V}{\mathrm{Tot.}}(\mathbf{x})$, il PPV si applica; inoltre la potenza degli sforzi interni è nulla per le velocità che soddisfano il vincolo di inestensibilità. Pertanto \(\mathcal{P}_{\mathrm{tot}}^{\prime}(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\mathbf{a}})=0, \quad \forall \stackrel{*}{\mathbf{a}} \in \mathcal{V}_{\text {Ad esempio,}}(\mathbf{x})\) La configurazione di equilibrio rende dunque stazionaria l’energia potenziale. Per l’implicazione inversa, sia $s\mapsto\mathbf{x}(s)\in\mathcal{C}{\mathrm{ad}}$ tale che \(\mathrm{P}_{\mathrm{ext}}(\stackrel{*}{\mathbf{a}})=0, \quad \forall \stackrel{*}{\mathbf{a}} \in \mathcal{V}_{\mathrm{ad}}(\mathbf{x}).\) Dobbiamo mostrare che $\mathbf{x}$ è una configurazione di equilibrio. Lo sforzo normale non compare nella potenza interna, che si annulla sulle velocità compatibili con l’inestensibilità. Lo recuperiamo come moltiplicatore di Lagrange del vincolo puntuale $\stackrel{*}{\mathbf{a}}^{\prime}(s)\cdot\mathbf{t}(s)=0$. Introducendo un moltiplicatore $\lambda(s)$ per ogni $s\in(0,\ell)$ e applicando formalmente la Proposizione B.2, otteniamo \(\mathrm{P}_{\mathrm{ext}}(\stackrel{*}{\mathbf{a}})=\int_{0}^{\ell} \lambda(s) \stackrel{*}{\mathbf{a}^{\prime}}(s) \cdot \mathbf{t}(s) d s, \quad \forall \stackrel{*}{\mathbf{a}} \text {Regolare:} \stackrel{*}{\mathbf{a}}(0)=\mathbf{0}\) Espandendo $\mathrm{P}{\mathrm{ext}}$ e confrontando con (5.41), identifichiamo $\lambda(s)$ con lo sforzo normale $N(s)$. Il resto della dimostrazione coincide con quello del filo estensibile. Proposizione 5.13 (Teorema dell’energia potenziale per fili inestensibili soggetti a carichi conservativi). Una configurazione $s\mapsto\mathbf{x}(s)$ risolve il problema statico ai limiti se e solo se è cinematicamente ammissibile e rende stazionaria l’energia potenziale: \(s \mapsto \mathbf{x}(s) \in \mathcal{C}_{a d}, \quad \mathcal{P}_{\mathrm{tot}}^{\prime}(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\mathbf{a}})=0, \quad \forall \stackrel{*}{\mathbf{a}} \in \mathcal{V}_{a d}(\mathbf{x})\) In ogni punto del filo, lo sforzo normale $N(s)$ è il moltiplicatore di Lagrange associato al vincolo di inestensibilità.
Dimostrazione. L’implicazione diretta segue dal PPV, poiché le velocità ammissibili soddisfano $\stackrel{}{\mathbf{a}}’\cdot\mathbf{t}=0$. Viceversa, la stazionarietà annulla la potenza esterna su questo sottospazio. Il teorema dei moltiplicatori di Lagrange, applicato al vincolo puntuale di inestensibilità, produce un campo scalare $\lambda(s)$ tale che $\mathrm{P}_{\mathrm{ext}}=\int\lambda\,\stackrel{}{\mathbf{a}}’\cdot\mathbf{t}\,ds$. Il confronto con il PPV identifica $\lambda=N$; l’integrazione per parti già svolta per il filo estensibile restituisce le equazioni locali e le condizioni al bordo. $\square$
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