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6.2 Il principio fondamentale della dinamica e le equazioni del moto

Convenzioni di notazione

← 6.1 Cinematica dei mezzi curvilinei · Indice · 6.3 Dinamica delle barre elastiche in trazione-compressione →

Orientamento

La sezione enuncia il principio fondamentale della dinamica, ne ricava le equazioni locali e chiarisce i dati necessari per formulare un problema evolutivo.

Contenuti

  • 6.2.1 Il principio fondamentale della dinamica
    • Formulazione
    • Applicazione
  • 6.2.2 Le equazioni locali del moto
    • Descrizione lagrangiana
    • Descrizione euleriana
      • Equilibrio delle forze
      • Equilibrio dei momenti
  • 6.2.3 Formulazione di un problema di dinamica

    Nota editoriale sulle formule. Alcune etichette testuali interne alle formule risultano corrotte nella fonte digitale. Sono conservate senza ricostruzioni congetturali.

Per ricavare le equazioni del moto seguiamo lo stesso procedimento usato nel capitolo 2 per le equazioni di equilibrio, sostituendo il principio fondamentale della statica con quello della dinamica. La definizione degli sforzi interni e la classificazione delle forze esterne restano invariate. Occorre aggiungere la quantità di moto e il momento della quantità di moto, così da isolare con chiarezza i termini nuovi rispetto alla statica.

6.2.1 Il principio fondamentale della dinamica

Formulazione

Richiamiamo dapprima il principio per un corpo rigido, quindi lo estendiamo a un mezzo curvilineo.

Principio fondamentale della dinamica per un corpo rigido. In ogni istante, rispetto a un sistema di riferimento galileiano o non galileiano:

  1. la risultante delle forze esterne, comprese le forze d’inerzia di trascinamento e di Coriolis nel caso non galileiano, è uguale alla derivata della quantità di moto;
  2. il momento risultante delle forze esterne rispetto a un punto fisso del riferimento è uguale alla derivata del momento della quantità di moto rispetto allo stesso punto. Estendiamo il principio a un mezzo curvilineo deformabile richiedendo, come in statica, che valga per ogni sottoparte materiale, cioè per ogni insieme che contiene gli stessi punti materiali durante l’intervallo di tempo considerato. Principio 6.2 (Principio fondamentale della dinamica per un mezzo curvilineo). In ogni istante e per ogni sottoparte materiale del mezzo:
  3. la risultante delle forze esterne sulla sottoparte è uguale alla derivata della sua quantità di moto;
  4. il momento risultante delle forze esterne rispetto a un punto fisso del riferimento è uguale alla derivata del momento della quantità di moto della sottoparte. Come in statica, le forze esterne agenti su una sottoparte comprendono le azioni applicate dall’esterno ai suoi punti materiali e le azioni interne, dirette o reciproche, sulle sezioni di taglio. Definiamo ora la quantità di moto e il momento della quantità di moto di una sottoparte materiale. Definizione 6.3 (Quantità di moto e momento della quantità di moto). Sia $(x_3,t)\mapsto\mathbf{x}(x_3,t)$ il moto lagrangiano di un mezzo curvilineo e sia $x_3\mapsto\varrho_{\mathrm{R}}(x_3)$ la densità lineare nella configurazione di riferimento $x_3\mapsto\mathbf{x}_{\mathrm{R}}(x_3)$.
  5. La quantità di moto della sottoparte $\mathcal{J}{\mathrm{R}}\subset\mathcal{I}{\mathrm{R}}$ all’istante $t$ è \(\mathbf{P}\left(\mathcal{J}_{R}, t\right):=\int_{\mathcal{J}_{R}} \varrho_{R}(x_3) \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}(x_3, t) d x_3\)
  6. Il momento della quantità di moto della sottoparte $\mathcal{J}{\mathrm{R}}$ rispetto al punto fisso $\mathbf{x}{0}$ è \(\mathrm{L}_{\mathbf{x}_{0}}\left(\mathcal{J}_{R}, t\right):=\int_{\mathcal{J}_{R}} \varrho_{R}(x_3)\left(\mathbf{x}(x_3, t)-\mathbf{x}_{0}\right) \mathbin{\wedge_2} \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}(x_3, t) d x_3\) Nella descrizione lagrangiana ogni sottoinsieme fisso $\mathcal{J}_{\mathrm{R}}$ individua una sottoparte materiale. Le definizioni considerano soltanto la velocità traslazionale $\mathbf{v}=\dot{\mathbf{x}}$ e trascurano l’inerzia rotazionale associata a $\dot{\alpha_2}$. Questa ipotesi avrà conseguenze dirette sulle equazioni del moto. Per applicare il principio basta precisare le sottoparti considerate. Come in statica, assumiamo:
  7. se $\mathcal{I}{\mathrm{R}}=(0,\ell{\mathrm{R}})$ è aperto, ogni intervallo $(x_3,x_3^{\prime})$ con $0\leq x_3<x_3^{\prime}\leq\ell_{\mathrm{R}}$;
  8. se $\mathcal{I}{\mathrm{R}}=[0,\ell{\mathrm{R}})$ rappresenta una curva chiusa, oltre agli intervalli precedenti anche gli insiemi $[0,x_3)\cup(x_3^{\prime},\ell_{\mathrm{R}})$ che attraversano il punto convenzionale $x_3=0$. Per ogni sottoparte $\mathcal{J}_{\mathrm{R}}$ il principio impone, a ogni istante, le due relazioni seguenti: \(\left\{\begin{array}{l} \mathbf{0}=-\frac{d}{d t} \mathbf{P}\left(\mathcal{J}_{\mathrm{R}}, t\right)+\text {disperato da un'altra parte} \mathcal{J}_{\mathrm{R}} \text {Adesso.} t \\ 0=-\frac{d}{d t} \mathrm{~L}_{\mathbf{x}_{0}}\left(\mathcal{J}_{\mathrm{R}}, \mathrm{t}\right)+\text {tempo} \mathbf{x}_{0} \text {In caso di superamento dei Costi} \mathcal{J}_{\mathrm{R}} \text {Adesso.} t. \end{array}\right.\)

    Applicazione

    L’applicazione del principio richiede di calcolare le derivate temporali della quantità di moto e del momento della quantità di moto. Se l’integrando è regolare nel tempo e $\mathcal{J}{\mathrm{R}}$ è fisso, basta derivare sotto il segno di integrale. In presenza di onde d’urto occorre invece tenere conto delle discontinuità mobili. Ipotesi 6.4 (Cinematica delle onde d’urto). Il mezzo è attraversato da un numero finito di onde d’urto. Nella descrizione lagrangiana la $i$-esima onda è data da $t\mapsto x{3,o}^{i}(t)\in\mathcal{I}{\mathrm{R}}$, funzione continua e derivabile a tratti; $\dot{x}{3,o}^{i}(t)$ è la sua velocità lagrangiana. Supponiamo che le onde non si intersechino e che siano numerate in modo che \(x_{3,o}^{1}(t)<x_{3,o}^{2}(t)<\cdots<x_{3,o}^{n}(t), \quad \forall t.\) Figura Figura 6.2 — Due onde d’urto nella descrizione lagrangiana: a sinistra rispettano l’Ipotesi 6.4; a destra si intersecano e non la rispettano. Completiamo l’Ipotesi 6.4 richiedendo che, a ogni istante:

  9. la velocità possa essere discontinua sull’onda, ma ammetta limiti laterali; Osservazione. L’ipotesi che le onde non si intersechano è restrittiva. Quando due onde si incontrano occorre adattare il procedimento e imporre le eventuali condizioni aggiuntive richieste dal principio dinamico. I limiti laterali definiscono il salto \(\mathbf{v}^{ \pm}\left(x_{3,o}^{i}(t), t\right):=\lim _{h \downarrow 0} \dot{\mathbf{x}}\left(x_{3,o}^{i}(t) \pm h, t\right), \quad \left[\!\left[ \mathbf{v} \right]\!\right]\left(x_{3,o}^{i}(t), t\right)=\mathbf{v}^{+}\left(x_{3,o}^{i}(t), t\right)-\mathbf{v}^{-}\left(x_{3,o}^{i}(t), t\right)\) Se due onde si intersecano, nel punto di intersezione possono comparire più di due limiti; la Figura 6.2 ne mostra quattro.
  10. l’accelerazione $\boldsymbol{\gamma}(x_3,t)=\ddot{\mathbf{x}}(x_3,t)$ sia definita fuori dalle onde d’urto e dalle onde di accelerazione e ammetta limiti laterali attraverso ciascuna di esse. Con queste ipotesi calcoliamo le derivate mediante una formula di trasporto per integrandi regolari a tratti. Formula di trasporto. Siano $s_{0}<s_{1}$, $t_{0}<t_{1}$, sia $t\mapsto s_o(t)$ derivabile a tratti e sia $\phi(s,t)$ continuamente differenziabile salvo che lungo la curva ${(s_o(t),t):t\in(t_{0},t_{1})}$, dove ammette limiti laterali $\phi^{-}$ e $\phi^{+}$. Allora \(\frac{d}{d t} \int_{s_{0}}^{s_{1}} \phi(s, t) d s=\int_{s_{0}}^{s_o(t)} \frac{\partial \phi}{\partial t}(s, t) d s-\left[\!\left[ \phi \right]\!\right](s_o(t), t) \dot{s}_o(t)+\int_{s_o(t)}^{s_{1}} \frac{\partial \phi}{\partial t}(s, t) d s \tag{6.4}\) per ogni $t\in(t_{0},t_{1})$, dove $[![\phi]!]=\phi^{+}-\phi^{-}$ è il salto attraverso la curva. Applicando la formula alla quantità di moto otteniamo \(\frac{d}{d t} \mathbf{P}\left(\mathcal{J}_{\mathrm{R}}, t\right)=\int_{\mathcal{J}_{\mathrm{R}} \backslash\left(\mathbb{S}_{\mathrm{R}}(t) \cap \mathcal{J}_{\mathrm{R}}\right)} \varrho_{\mathrm{R}}(x_3) \boldsymbol{\gamma}(x_3, t) d x_3-\sum_{\mathbb{S}_{\mathrm{R}}(t) \cap \mathcal{J}_{\mathrm{R}}} \left[\!\left[ \varrho_{\mathrm{R}} \mathbf{v} \right]\!\right]\left(x_{3,o}^{i}(t), t\right) \dot{x}_{3,o}^{i}(t) \tag{6.5}\) dove $\mathbb{S}_{\mathrm{R}}(t)$ è l’insieme dei punti materiali attraversati dalle onde d’urto all’istante $t$: \(\mathbb{S}_{\mathrm{R}}(t)=\left\{\mathbb{S}_{o}^{1}(t), \cdots, \mathbb{S}_{o}^{n}(t)\right\}\) La dimostrazione formale della formula di trasporto è immediata:
    • si divide l’integrale nei due intervalli separati da $s_o(t)$; \(\int_{s_{0}}^{s_{1}} \phi(s, t) d s=\int_{s_{0}}^{s_o(t)} \phi(s, t) d s+\int_{s_o(t)}^{s_{1}} \phi(s, t) d s\)
    • si deriva ciascun integrale tenendo conto dell’estremo mobile; \(\frac{d}{d t} \int_{s_{0}}^{s_o(t)} \phi(s, t) d s=\int_{s_{0}}^{s_o(t)} \frac{\partial \phi}{\partial t}(s, t) d s+\dot{s}_o(t) \phi^{-}(s_o(t), t)\)
    • si raccolgono i termini e si ottiene (6.4). Questi passaggi richiedono la regolarità enunciata sopra. Applicando la stessa formula al momento della quantità di moto e osservando che, dove l’accelerazione è definita, \(\frac{\partial}{\partial t}\left(\left(\mathbf{x}(x_3, t)-\mathbf{x}_{0}\right) \mathbin{\wedge_2} \dot{\mathbf{x}}(x_3, t)\right)=\left(\mathbf{x}(x_3, t)-\mathbf{x}_{0}\right) \mathbin{\wedge_2} \gamma(x_3, t)\) otteniamo \(\frac{d}{d t} \mathrm{~L}_{\mathbf{x}_{0}}\left(\mathcal{J}_{\mathrm{R}}, \mathrm{t}\right)=\int_{\mathcal{J}_{\mathrm{R}} \backslash\left(\mathbb{S}_{\mathrm{R}}(\mathrm{t}) \cap \mathcal{J}_{\mathrm{R}}\right)} \varrho_{\mathrm{R}}(x_3)\left(\mathbf{x}(x_3, \mathrm{t})-\mathbf{x}_{0}\right) \mathbin{\wedge_2} \gamma(x_3, \mathrm{t}) d x_3-\sum_{\mathbb{S}_{\mathrm{R}}(\mathrm{t}) \cap \mathcal{J}_{\mathrm{R}}}\left(\mathbf{x}\left(x_{3,o}^{i}(\mathrm{t}), \mathrm{t}\right)-\mathbf{x}_{0}\right) \mathbin{\wedge_2} \left[\!\left[ \varrho_{\mathrm{R}} \mathbf{v} \right]\!\right]\left(x_{3,o}^{i}(\mathrm{t}), \mathrm{t}\right) \dot{x}_{3,o}^{i}(\mathrm{t}), \tag{6.6}\) Abbiamo usato la continuità di $\mathbf{x}(x_3,t)$. La densità di riferimento $\varrho_{\mathrm{R}}$ resta dentro il simbolo di salto nelle (6.5) e (6.6), perché può essere discontinua in un mezzo eterogeneo e l’onda può attraversare un’interfaccia. Confrontando (6.5) e (6.6) con le risultanti delle azioni esterne, riconosciamo $-\varrho_{\mathrm{R}}\boldsymbol{\gamma}$ come una forza distribuita e $[![\varrho_{\mathrm{R}}\mathbf{v}]!]\dot{x}_{3,o}^{i}$ come una forza concentrata nel punto attraversato dall’onda. Possiamo quindi ottenere le equazioni del moto ripetendo il procedimento statico e aggiungendo queste azioni d’inerzia.

      6.2.2 Le equazioni locali del moto

      Rappresentazione lagrangiana

      Poiché le derivate della quantità di moto e del momento della quantità di moto hanno la stessa struttura di risultanti distribuite e concentrate, si applica il procedimento del capitolo 2. Ricordiamo le azioni esterne ammesse. Il mezzo è soggetto a

  11. densità lineare di forza $\mathbf{q}_{\mathrm{R}}(x_3,t)$ per unità di lunghezza di riferimento;
  12. densità lineare di coppia $m_{\mathrm{R}}(x_3,t)$ per unità di lunghezza di riferimento;
  13. forza e momento agli estremi, dipendenti dal tempo;
  14. un numero finito di forze e coppie concentrate, applicate nei punti materiali dell’insieme $\mathbb{P}{\mathrm{R}}$. Proposizione 6.3 (Equazioni locali del moto nella descrizione lagrangiana). Il principio fondamentale della dinamica vale se e solo se il moto $(x_3,t)\mapsto\mathbf{x}(x_3,t)$ e gli sforzi interni $(x_3,t)\mapsto(\mathbf{R}(x_3,t),M_2(x_3,t))$ soddisfano, a ogni istante, le relazioni seguenti. Equilibrio delle forze: \(\left\{ \begin{array}{l} \mathbf{R}^{\prime}(x_3, t)+\mathbf{q}_{R}(x_3, t)-\varrho_{R}(x_3) \ddot{\mathbf{x}}(x_3, t)=\mathbf{0} \quad \text{in } \mathcal{I}_{R} \setminus (\mathbb{P}_{R} \cup \mathbb{S}_{R}(t)), \\ \left[\!\left[ \mathbf{R} \right]\!\right](x_3, t)+\mathcal{F}_{x_3}(t)+\dot{x}_{3,o}(t) \left[\!\left[ \varrho_{R} \dot{\mathbf{x}} \right]\!\right](x_3, t)=\mathbf{0} \quad \text{su } \mathbb{P}_{R} \cup \mathbb{S}_{R}(t). \end{array} \right.\) Equilibrio dei momenti: \(\left\{ \begin{array}{l} M_2^{\prime}(x_3)+\left\|\mathbf{x}^{\prime}(x_3, t)\right\| T_1(x_3, t)+m_{R}(x_3, t)=0 \quad \text{in } \mathcal{I}_{R} \setminus (\mathbb{P}_{R} \cup \mathbb{S}_{R}(t)), \\ \left[\!\left[ M_2 \right]\!\right](x_3, t)+\mathcal{M}_{x_3}(t)=0 \quad \text{su } \mathbb{P}_{R} \cup \mathbb{S}_{R}(t). \end{array} \right.\) Condizioni agli estremi: \(\begin{cases} \mathbf{R}(0, t)=-\mathcal{F}_{0}(t), & M_2(0, t)=-\mathcal{M}_{0}(t), \\ \mathbf{R}(\ell_{R}, t)=\mathcal{F}_{\ell}(t), & M_2(\ell_{R}, t)=\mathcal{M}_{\ell}(t). \end{cases}\) Qui $\mathbb{P}{\mathrm{R}}$ è l’insieme fisso dei punti di applicazione degli sforzi concentrati, $\mathbb{S}{\mathrm{R}}(t)$ è l’insieme dei punti attraversati dalle onde d’urto e $\dot{x}{3,o}(t)$ è la velocità dell’onda che attraversa il punto considerato.

Dimostrazione. Applichiamo il principio fondamentale della dinamica a un arco materiale arbitrario. La derivata della quantità di moto, calcolata su intervalli attraversati da discontinuità mobili, produce nel continuo il termine $\varrho_R\ddot{\mathbf{x}}$ e, sulle onde, il flusso $\dot{x}_{3,o}[![\varrho_R\dot{\mathbf{x}}]!]$. Poiché l’arco è arbitrario, il bilancio integrale fornisce l’equazione delle forze, le condizioni di salto e le condizioni agli estremi. Il bilancio del momento, con inerzia rotazionale trascurata, fornisce analogamente l’equazione per $M_2$ e il suo salto. Viceversa, integrando queste relazioni su ogni arco e sommando i contributi di salto si ricostruisce il principio fondamentale della dinamica. $\square$

Esplicitiamo la condizione di salto delle forze nei tre casi possibili.

  1. Se $x_{3,i}\in\mathbb{P}_{\mathrm{R}}$ non è attraversato da un’onda d’urto, vale la condizione statica \(\left[\!\left[ \mathbf{R} \right]\!\right]\left(x_{3,i}, t\right)+\mathcal{F}_{x_{3,i}}(t)=\mathbf{0}\)
  2. Se $x_3=x_{3,o}^j(t)$ è attraversato dalla $j$-esima onda ma non vi agisce una forza concentrata, \(\left[\!\left[ \mathbf{R} \right]\!\right]\left(x_{3,o}^{j}(t), t\right)+\dot{x}_{3,o}^{j}(t) \left[\!\left[ \varrho_{\mathrm{R}} \dot{\mathbf{x}} \right]\!\right]\left(x_{3,o}^{j}(t), t\right)=\mathbf{0}\)
  3. Se $x_{3,i}\in\mathbb{P}_{\mathrm{R}}$ è attraversato dalla $j$-esima onda, \(\left[\!\left[ \mathbf{R} \right]\!\right]\left(x_{3,i}, t\right)+\mathcal{F}_{x_{3,i}}(t)+\dot{x}_{3,o}^{j}(t) \left[\!\left[ \varrho_{\mathrm{R}} \dot{\mathbf{x}} \right]\!\right]\left(x_{3,i}, t\right)=\mathbf{0} \quad \text{con} \quad x_{3,i}=x_{3,o}^{j}(t)\) Rispetto alla statica cambiano soltanto le equazioni delle forze, nelle quali compaiono i termini d’inerzia. Le equazioni dei momenti restano invariate perché nella Definizione 6.3 abbiamo trascurato l’inerzia rotazionale. Se la includessimo, comparirebbero termini d’inerzia anche nell’equilibrio dei momenti.

    Rappresentazione euleriana

    Per passare alla descrizione euleriana introduciamo le densità per unità di lunghezza corrente. La conservazione della massa impone \(\varrho_{\mathrm{R}}(x_3)=\varrho(s, t) \frac{\partial s}{\partial x_3}(x_3, t)\) Qui $\varrho$ è la densità lineare euleriana. La condizione di salto attraverso un’onda d’urto richiede attenzione: la discontinuità della deformazione comporta, per conservazione della massa, una discontinuità di $\varrho$. Dalla (6.3), facendo comparire la velocità euleriana $v$, segue \(\dot{s}_{o}(t)-v^{ \pm}\left(s_{o}(t), t\right)=\dot{x}_{3,o}(t)\left(\frac{\partial s}{\partial x_3}\right)^{ \pm}\left(x_{3,o}(t), t\right)\) Moltiplicando per $\varrho^{\pm}\mathbf{v}^{\pm}$ e usando la conservazione della massa otteniamo \(\left(\dot{s}_{o}(t)-v^{ \pm}\left(s_{o}(t), t\right)\right) \varrho^{ \pm}\left(s_{o}(t), t\right) \mathbf{v}^{ \pm}\left(s_{o}(t), t\right) = \dot{x}_{3,o}(t) \varrho_{\mathrm{R}}^{ \pm}\left(x_{3,o}(t)\right)\left(\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial t}\right)^{ \pm}\left(x_{3,o}(t), t\right)\) La densità $\varrho_{\mathrm{R}}$ può essere discontinua se l’onda coincide con un’interfaccia. La condizione di salto delle forze si scrive quindi \(\left[\!\left[ \mathbf{R} \right]\!\right]\left(s_{o}(t), t\right)+\mathcal{F}_{s_{o}(t)}+\left[\!\left[ (\dot{s}_{o}-v) \varrho \mathbf{v} \right]\!\right]\left(s_{o}(t), t\right)=\mathbf{0}\) Le equazioni locali euleriane, escluse le condizioni agli estremi, sono le seguenti.

    Equilibrio euleriano delle forze

    \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial \mathbf{R}}{\partial s}(s, t)+\mathbf{q}(s, t)-\varrho(s, t) \boldsymbol{\gamma}(s, t)=\mathbf{0} \quad \text{in } \mathcal{I} \setminus (\mathbb{P}(t) \cup \mathbb{S}(t)) \\ \left[\!\left[ \mathbf{R} \right]\!\right](s, t)+\mathcal{F}_{s}(t)+\left[\!\left[ (\dot{s}_{o}-v) \varrho \mathbf{v} \right]\!\right](s, t)=\mathbf{0} \quad \text{su } \mathbb{P}(t) \cup \mathbb{S}(t) \end{array} \right.\)

    Equilibrio euleriano dei momenti

    \(\left\{ \begin{array}{l} \frac{\partial M_2}{\partial s}(s, t)+T_1(s, t)+m(s, t)=0 \quad \text{in } \mathcal{I} \setminus \mathbb{P}(t) \\ \left[\!\left[ M_2 \right]\!\right](s, t)+\mathcal{M}_{s}(t)=0 \quad \text{su } \mathbb{P}(t) \end{array} \right.\) Qui $\mathbb{P}(t)$ è l’insieme delle ascisse correnti dei punti di applicazione degli sforzi concentrati e $\mathbb{S}(t)$ quello dei punti attraversati dalle onde d’urto.

    6.2.3 Formulazione di un problema di dinamica

    Un problema dinamico completo unisce alle equazioni del moto i vincoli agli estremi, le condizioni iniziali e le leggi costitutive. Consideriamo la descrizione lagrangiana.

  4. Incognite. Determiniamo i campi $(x_3,t)\mapsto(\mathbf{x}(x_3,t),\mathbf{R}(x_3,t),M_2(x_3,t))$ che descrivono posizione e sforzi interni per $(x_3,t)\in\mathcal{I}_{\mathrm{R}}\times(0,+\infty)$. La regolarità spaziale dipende dal modello: un’asta elastica è più regolare di un filo. Nel tempo dobbiamo ammettere onde d’urto, ma $\mathbf{x}$ resta almeno continua.
  5. Relazioni geometriche e cinematiche. Sono quelle della statica, integrate dalle relazioni cinematiche e dalle condizioni di compatibilità sulle onde.
  6. Equazioni del moto. Sostituiscono le equazioni statiche e contengono i termini d’inerzia. Le azioni esterne possono dipendere dal tempo.
  7. Legge costitutiva. Le relazioni costitutive coincidono con quelle statiche.
  8. Condizioni agli estremi. Possono dipendere dal tempo.
  9. Condizioni iniziali. Poiché le equazioni del moto contengono la derivata seconda temporale della posizione, occorre assegnare posizione e velocità iniziali: \(\mathbf{x}(x_3, 0)=\mathbf{x}^{0}(x_3), \forall x_3 \in \mathcal{I}_{\mathrm{R}}, \quad \dot{\mathbf{x}}(x_3, 0)=\mathbf{v}^{0}(x_3), \forall x_3 \in \mathcal{I}_{\mathrm{R}} \quad \text{(posizione e velocità iniziale).}\) Un problema dinamico è quindi un problema ai limiti con dati iniziali. Rispetto alla statica occorre risolvere un sistema di equazioni alle derivate parziali. Nei paragrafi successivi studieremo barre, fili inestensibili e aste elastiche sotto diversi carichi, mettendo in evidenza proprietà dinamiche generali e confrontandole, quando possibile, con le corrispondenti evoluzioni quasi statiche.

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