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6.1 Cinematica dei mezzi curvilinei

Convenzioni di notazione

← 5.5 Stabilità degli stati di equilibrio dei sistemi conservativi · Indice · 6.2 Il principio fondamentale della dinamica e le equazioni del moto →

Orientamento

La sezione richiama le descrizioni lagrangiana ed euleriana del moto e introduce la cinematica delle onde di discontinuità.

Contenuti

  • 6.1.1 Richiami
    • Descrizione lagrangiana del moto
  • 6.1.2 Descrizione euleriana del movimento
  • 6.1.3 Onde d’urto e onde di accelerazione
    • Descrizione lagrangiana
    • Descrizione euleriana
    • Confronto fra le due descrizioni

      Nota editoriale sulle formule. Le formule sono conservate dalla fonte digitale; eventuali etichette testuali anomale non sono ricostruite per congettura.

Salvo indicazione contraria, scegliamo come origine dei tempi l’istante iniziale del moto, $t=0$.

6.1.1 Richiami

I concetti fondamentali della cinematica dei mezzi curvilinei sono stati introdotti nel capitolo 1. Ne richiamiamo qui gli elementi essenziali e li completiamo con la cinematica delle onde di discontinuità, che svolge un ruolo centrale nella dinamica.

Descrizione lagrangiana del movimento

Nella descrizione lagrangiana seguiamo i punti materiali durante il moto. Ogni punto è identificato dalla sua ascissa curvilinea $x_3$ nella configurazione di riferimento $x_3\mapsto\mathbf{x}_{\mathrm{R}}(x_3)$. Il moto è descritto dall’applicazione \((x_3, t) \mapsto \mathbf{x}(x_3, t), \quad(x_3, t) \in \mathcal{I}_{\mathrm{R}} \times[0, \infty)\) dove $\mathbf{x}(x_3,t)$ è la posizione all’istante $t$ del punto materiale di coordinata $x_3$. Le principali grandezze cinematiche si ottengono per derivazione e sono raccolte nella Tabella 6.1. | | | | | — | — | — | | Grandezza | Simbolo | Relazione | | Velocità | $\mathbf{v}$ | $\mathbf{v}=\dot{\mathbf{x}}=\dot{\mathbf{a}}$ | | Accelerazione | $\boldsymbol{\gamma}$ | $\boldsymbol{\gamma}=\dot{\mathbf{v}}=\ddot{\mathbf{x}}=\ddot{\mathbf{a}}$ | | Velocità dell’ascissa curvilinea | $\dot{\mathrm{s}}$ | $\dot{\mathrm{s}}^{\prime}=\mathbf{v}^{\prime}\cdot\mathbf{t}$ | | Velocità di deformazione estensionale | $\dot{\varepsilon}$ | $\dot{\varepsilon}=\dot{\mathrm{s}}^{\prime}=\mathbf{v}^{\prime}\cdot\mathbf{t}$ | | Velocità angolare | $\dot{\alpha_2}$ | $\dot{\alpha_2}|\mathbf{x}^{\prime}|=\mathbf{v}^{\prime}\cdot\mathbf{n}$ | Tabella 6.1 — Principali grandezze cinematiche nella descrizione lagrangiana. L’apice indica la derivata rispetto a $x_3$, il punto la derivata rispetto a $t$.

6.1.2 Descrizione euleriana del movimento

Nella descrizione euleriana, a ogni istante la configurazione è una curva parametrizzata mediante la sua ascissa curvilinea: \((s, t) \mapsto \mathbf{x}(s, t), \quad t>0, \quad s \in \mathcal{I}(t)\) L’intervallo $\mathcal{I}(t)$ è in generale dipendente dal tempo, perché la lunghezza corrente $\ell(t)$ è incognita. Inoltre, lo stesso valore geometrico di $s$ può corrispondere a punti materiali diversi in istanti diversi. Per ricostruire il moto dei punti materiali occorre assegnare anche la velocità euleriana dell’ascissa curvilinea \((s, t) \mapsto v(s, t)\) che misura la velocità con cui il punto materiale attraversa la coordinata $s$. L’ascissa corrente $\mathrm{s}(x_3,t)$ del punto materiale $x_3$ si ottiene integrando \(\frac{\partial \mathrm{s}}{\partial t}(x_3, t)=v(\mathrm{s}(x_3, t), t), \quad \mathrm{s}(x_3, 0)=x_3\) avendo assunto coincidenti la configurazione iniziale e quella di riferimento. Il campo $v$ definisce la derivata materiale \(\frac{D}{D t}:=\frac{\partial}{\partial t}+v \frac{\partial}{\partial s} \quad \text {(sostanza materiale)} \tag{6.1}\) che misura la variazione nel tempo di una grandezza seguendo il punto materiale. Le principali relazioni euleriane sono raccolte nella Tabella 6.2.

Osservazione. Se il mezzo è inestensibile, $s=x_3$, le descrizioni lagrangiana ed euleriana coincidono e $v=0$. | | | | | — | — | — | | Grandezza | Simbolo | Relazione | | Velocità | $\mathbf{v}$ | $\mathbf{v}=D\mathbf{x}/Dt$ | | Accelerazione | $\boldsymbol{\gamma}$ | $\boldsymbol{\gamma}=D\mathbf{v}/Dt$ | | Velocità dell’ascissa curvilinea | $v$ | $v=Ds/Dt$ | | Velocità di deformazione estensionale | $\partial v/\partial s$ | $\partial v/\partial s=(\partial\mathbf{v}/\partial s)\cdot\mathbf{t}$ | | Velocità angolare | $D\vartheta/Dt$ | $D\vartheta/Dt=(\partial\mathbf{v}/\partial s)\cdot\mathbf{n}$ | Tabella 6.2 — Principali grandezze cinematiche nella descrizione euleriana. Tutti i campi dipendono da $(s,t)$.

6.1.3 Onde d’urto e onde di accelerazione

La velocità e l’accelerazione dei punti materiali non sono sempre funzioni regolari dello spazio e del tempo. Quando una discontinuità si propaga nel mezzo, parliamo di onda di discontinuità. Se è discontinua la velocità, l’onda è detta onda d’urto; se la velocità è continua ma l’accelerazione è discontinua, parliamo di onda di accelerazione. In entrambi i casi la posizione, e quindi lo spostamento, resta continua.

Descrizione lagrangiana

Definizione 6.1. Nella descrizione lagrangiana un’onda di discontinuità è individuata dalla funzione $t\mapsto x_{3,o}(t)$, che indica il punto materiale attraversato dall’onda all’istante $t$. Supponiamo tale funzione continua e derivabile a tratti. La quantità $\dot{x}{3,o}(t)$ è la velocità di propagazione rispetto alla materia, ossia la distanza di riferimento percorsa dall’onda per unità di tempo. Supponiamo \(0<\dot{x}_{3,o}(t)<\infty.\) Sia $G$ una grandezza lagrangiana discontinua attraverso l’onda. Definiamo i valori a sinistra e a destra, orientati nel verso crescente dell’ascissa materiale, mediante \(\mathrm{G}^{ \pm}\left(x_{3,o}(t), t\right):=\lim _{h \downarrow 0} \mathrm{G}\left(x_{3,o}(t) \pm h, t\right).\) Poiché l’onda si propaga, gli stessi valori possono essere interpretati come i limiti temporali prima e dopo il passaggio dell’onda sul punto materiale: \(\mathrm{G}^{ \pm}\left(x_{3,o}(t), t\right)=\lim _{h \downarrow 0} \mathrm{G}\left(x_{3,o}(t), t \mp h\right)\) Definiamo il salto $[![G]!]$ e il valore medio $\langle G\rangle$ attraverso l’onda. Assegnata la traiettoria $x{3,o}(t)$, essi sono funzioni del solo tempo: \(\left[\!\left[ \mathrm{G} \right]\!\right](t):=\mathrm{G}^{+}\left(x_{3,o}(t), t\right)-\mathrm{G}^{-}\left(x_{3,o}(t), t\right), \quad\langle\mathrm{G}\rangle(t):=\frac{1}{2}\left(\mathrm{G}^{+}\left(x_{3,o}(t), t\right)+\mathrm{G}^{-}\left(x_{3,o}(t), t\right)\right).\) La derivata temporale del salto e del valore medio si esprime mediante i salti e i valori medi delle derivate spaziali e temporali. Proposizione 6.1 (Compatibilità cinematica nella descrizione lagrangiana). Sia $G$ una grandezza discontinua lungo l’onda $t\mapsto x_{3,o}(t)$ e supponiamo esistenti i limiti laterali di $G$, $G^{\prime}$ e $\dot G$. Allora \(\frac{d}{d t} \left[\!\left[ \mathrm{G} \right]\!\right]=\dot{x}_{3,o} \left[\!\left[ \mathrm{G}^{\prime} \right]\!\right]+\left[\!\left[ \dot{\mathrm{G}} \right]\!\right], \quad \frac{d}{d t}\langle\mathrm{G}\rangle=\dot{x}_{3,o}\left\langle\mathrm{G}^{\prime}\right\rangle+\langle\dot{\mathrm{G}}\rangle \tag{6.2}\) Dimostrazione. Commutando la derivazione temporale con il limite laterale e applicando la regola della catena, otteniamo \(\begin{aligned} \frac{d}{d t} \mathrm{G}^{ \pm}\left(x_{3,o}(t), t\right) &:=\frac{d}{d t} \lim _{h \downarrow 0} \mathrm{G}\left(x_{3,o}(t) \pm h, t\right)=\lim _{h \downarrow 0} \frac{d}{d t} \mathrm{G}\left(x_{3,o}(t) \pm h, t\right) \\ & =\lim _{h \downarrow 0} \mathrm{G}^{\prime}\left(x_{3,o}(t) \pm h, t\right) \dot{x}_{3,o}(t)+\lim _{h \downarrow 0} \dot{\mathrm{G}}\left(x_{3,o}(t) \pm h, t\right) \\ & =\mathrm{G}^{\prime \pm}\left(x_{3,o}(t), t\right) \dot{x}_{3,o}(t)+\dot{\mathrm{G}}^{ \pm}\left(x_{3,o}(t), t\right) \end{aligned}\) Prendendo la differenza o la media delle due relazioni si ottiene la tesi. Le condizioni di compatibilità permettono di collegare i salti delle derivate della posizione in corrispondenza di onde d’urto e onde di accelerazione. Proposizione 6.2 (Compatibilità per onde d’urto e onde di accelerazione). Attraverso un’onda d’urto la posizione $\mathbf{x}$ è continua; pertanto i salti di $\dot{\mathbf{x}}$ e $\mathbf{x}^{\prime}$ soddisfano \(\left[\!\left[ \dot{\mathbf{x}} \right]\!\right]+\dot{x}_{3,o} \left[\!\left[ \mathbf{x}^{\prime} \right]\!\right]=\mathbf{0}\) Se inoltre la tangente $\mathbf{t}$ è continua, il salto di velocità è tangenziale e si lega al salto della deformazione estensionale mediante \(\left[\!\left[ \mathbf{v} \right]\!\right]+\dot{x}_{3,o} \left[\!\left[ \varepsilon \right]\!\right] \mathbf{t}=\mathbf{0}\) Attraverso un’onda di accelerazione $\mathbf{x}$, $\dot{\mathbf{x}}$ e $\mathbf{x}^{\prime}$ sono continui. I salti delle derivate seconde soddisfano \(\left[\!\left[ \dot{\mathbf{x}}^{\prime} \right]\!\right]+\dot{x}_{3,o} \left[\!\left[ \mathbf{x}^{\prime \prime} \right]\!\right]=\mathbf{0}, \quad \left[\!\left[ \ddot{\mathbf{x}} \right]\!\right]-\dot{x}_{3,o}^{2} \left[\!\left[ \mathbf{x}^{\prime \prime} \right]\!\right]=\mathbf{0}.\) Se inoltre tangente $\mathbf{t}$ e curvatura $C$ sono continue, anche $\varepsilon$ è continua; il salto di accelerazione è tangenziale e soddisfa \(\left[\!\left[ \gamma \right]\!\right]=\dot{x}_{3,o}^{2} \left[\!\left[ \varepsilon^{\prime} \right]\!\right] \mathbf{t}\) Dimostrazione. Per un’onda d’urto, la prima relazione segue dalla (6.2) applicata a $\mathbf{x}$ e da $[![\mathbf{x}]!]=\mathbf{0}$. Usando $\mathbf{v}=\dot{\mathbf{x}}$ e $\mathbf{x}^{\prime}=(1+\varepsilon)\mathbf{t}$, la continuità di $\mathbf{t}$ fornisce la seconda relazione. Per un’onda di accelerazione, poiché $[![\mathbf{x}]!]=[![\dot{\mathbf{x}}]!]=[![\mathbf{x}^{\prime}]!]=\mathbf{0}$, la (6.2) dà \(\left[\!\left[ \dot{\mathbf{x}}^{\prime} \right]\!\right]+\dot{x}_{3,o} \left[\!\left[ \mathbf{x}^{\prime \prime} \right]\!\right]=\mathbf{0}, \quad \left[\!\left[ \ddot{\mathbf{x}} \right]\!\right]+\dot{x}_{3,o} \left[\!\left[ \dot{\mathbf{x}}^{\prime} \right]\!\right]=\mathbf{0}\) Sostituendo la prima relazione nella seconda ricaviamo $[![\ddot{\mathbf{x}}]!]-\dot{x}_{3,o}^{2}[![\mathbf{x}^{\prime\prime}]!]=\mathbf{0}$. Inoltre, da $\mathbf{x}^{\prime}=(1+\varepsilon)\mathbf{t}$ e $\mathbf{t}^{\prime}=(1+\varepsilon)C\mathbf{n}$ segue \(\mathbf{x}^{\prime \prime}=\varepsilon^{\prime} \mathbf{t}+(1+\varepsilon)^{2} C\mathbf{n}\) La continuità di $\mathbf{t}$ e $\mathbf{x}^{\prime}$ implica $[![\varepsilon]!]=0$; se anche $C$ è continua, allora $[![\mathbf{x}^{\prime\prime}]!]=[![\varepsilon^{\prime}]!]\mathbf{t}$. Segue la formula per il salto dell’accelerazione.

Descrizione euleriana

Nella descrizione euleriana l’onda è individuata dalla funzione $t\mapsto s_o(t)$, che fornisce l’ascissa curvilinea corrente attraversata all’istante $t$. La derivata $\dot{s}o(t)$ è la velocità di propagazione rispetto allo spazio, ossia la distanza corrente percorsa dall’onda per unità di tempo. Le condizioni di compatibilità per grandezze euleriane discontinue si ricavano come nel caso lagrangiano. Esercizio 6.1. Dimostrare, per una grandezza euleriana $G$, le relazioni \(\frac{d}{d t} \left[\!\left[ \mathrm{G} \right]\!\right]=\dot{\mathrm{s}}_{o} \left[\!\left[ \frac{\partial \mathrm{G}}{\partial s} \right]\!\right]+\left[\!\left[ \frac{\partial \mathrm{G}}{\partial t} \right]\!\right], \quad \frac{d}{d t}\langle\mathrm{G}\rangle=\dot{\mathrm{s}}_{o}\left\langle\frac{\partial \mathrm{G}}{\partial s}\right\rangle+\left\langle\frac{\partial \mathrm{G}}{\partial t}\right\rangle.\) Dedurre inoltre che, se la tangente è continua, il salto di velocità attraverso un’onda d’urto è tangenziale e vale $[![\mathbf{v}]!]=\dot{s}{o}[![v]!]\mathbf{t}$.

Confronto fra le due descrizioni

Le descrizioni lagrangiana ed euleriana sono collegate dall’applicazione $(x_3,t)\mapsto\mathrm{s}(x_3,t)$, che associa all’ascissa materiale l’ascissa curvilinea corrente: \(\mathrm{s}_{o}(t)=\mathrm{s}\left(x_{3,o}(t), t\right).\) Derivando rispetto al tempo otteniamo la relazione fra le due velocità di propagazione: \(\dot{\mathrm{s}}_{o}(t)=\dot{x}_{3,o}(t)\left(\frac{\partial \mathrm{s}}{\partial x_3}\right)^{ \pm}\left(x_{3,o}(t), t\right)+\left(\frac{\partial \mathrm{s}}{\partial t}\right)^{ \pm}\left(x_{3,o}(t), t\right), \tag{6.3}\) Nella relazione compaiono la deformazione estensionale e la velocità euleriana dell’ascissa, che possono essere discontinue attraverso un’onda d’urto. Figura Figura 6.1 — Cinematica di un’onda di discontinuità nelle descrizioni lagrangiana (a sinistra) ed euleriana (a destra).

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