Sito personale Indice della dispensa

3.4 Comportamento anelastico

Convenzioni di notazione

← 3.3 Comportamento elastico · Indice · 4.1 Il problema ai limiti →

Orientamento

La sezione sviluppa 3.4.1 modelli reologici, 3.4.2 viscoelasticità.

Contenuti

  • 3.4.1 Modelli reologici
  • Gli elementi di base
  • Assemblaggi elementari con massa
  • Assemblaggi elementari senza massa
  • 3.4.2 Viscoelasticità

3.4.1 Modelli reologici

Gli elementi di base

Le leggi costitutive usuali possono essere rappresentate mediante modelli reologici formati da collegamenti in serie o in parallelo di molle, cursori, ammortizzatori e masse. Ciascun elemento si muove lungo un asse assegnato; la sua posizione e la forza applicata sono quindi descritte da grandezze scalari.

  1. Massa. Se una forza $\sigma$ agisce su una massa puntiforme $m$, la posizione $\varepsilon$ evolve secondo il principio fondamentale della dinamica: \(m \ddot{\varepsilon}=\sigma,\) dove $\ddot{\varepsilon}$ è l’accelerazione della massa.
  2. Molla. Un’estremità è fissa e l’altra può muoversi. Indichiamo con $\varepsilon$ lo spostamento dell’estremità mobile rispetto alla posizione naturale, nella quale la molla è scarica. Se la molla è elastica lineare e ha rigidezza $E$, la forza $\sigma$ è \(\sigma=\mathrm{E} \varepsilon.\) Possiamo considerare anche leggi non lineari, $\sigma=\varphi(\varepsilon)$, e introdurre la rottura imponendo che essa avvenga quando la forza raggiunge una soglia $\sigma_c$ o, equivalentemente, quando l’allungamento raggiunge $\varepsilon_c$.

    Nota. 1. Le masse descrivono gli effetti d’inerzia. Trascurarle equivale ad assumere un’evoluzione quasistatica; questa semplificazione può modificare qualitativamente la risposta. Figura Figura 3.16 - Modello reologico della molla.

  3. Cursore ad attrito. Il cursore si muove rispetto al supporto soltanto quando la forza raggiunge la soglia di attrito $\sigma_c$. Indichiamo con $\varepsilon$ lo spostamento rispetto a una posizione di riferimento e con $\sigma$ la forza esercitata dal cursore sul supporto. La legge di attrito è \(|\sigma| \leq \sigma_{c}, \quad \sigma= \begin{cases}+\sigma_{c} & \text {S} \dot{\varepsilon}>0 \\ -\sigma_{c} & \text {S} \dot{\varepsilon}<0\end{cases}\) che può anche essere condensato \(|\sigma| \leq \sigma_{c}, \quad \sigma \dot{\varepsilon}=\sigma_{c}|\dot{\varepsilon}|,\) $\dot{\varepsilon}$ è la velocità del cursore. La soglia $\sigma_c$ è una caratteristica del contatto. Figura Figura 3.17 - Modello reologico del cursore ad attrito. Il modello può essere esteso introducendo soglie diverse nei due versi di scorrimento oppure soglie che evolvono nel tempo.
  4. Ammortizzatore viscoso. Una forza applicata all’ammortizzatore non ne modifica istantaneamente la posizione, ma ne determina la velocità. Se $\varepsilon$ è lo spostamento rispetto a una posizione di riferimento, la legge forza-velocità è \(\sigma=\mu \dot{\varepsilon}\) dove $\mu$ è il coefficiente di viscosità, determinato sperimentalmente. Possiamo considerare anche leggi non lineari o con viscosità variabile. Figura Figura 3.18 - Modello reologico dell’ammortizzatore. Combinando questi elementi costruiamo modelli che riproducono qualitativamente diversi comportamenti materiali. Le regole di collegamento sono:
  5. negli assemblaggi in serie si sommano gli spostamenti relativi, mentre la forza è la stessa in tutti gli elementi;
  6. negli assemblaggi in parallelo gli spostamenti sono uguali, mentre le forze si sommano.

Assemblaggi elementari con massa

  1. Sistema molla-massa. Colleghiamo in serie una molla e una massa, fissiamo l’estremità libera della molla e applichiamo alla massa una forza $\sigma(t)$. L’equazione del moto è \(m \ddot{\varepsilon}+E \varepsilon=\sigma,\) poiché sulla massa agiscono la forza applicata $\sigma$ e la forza di richiamo $-E\varepsilon$. Se $\sigma$ è costante, la massa oscilla attorno alla posizione di equilibrio $\varepsilon_{\text{Eq}}=\sigma/E$ con pulsazione $\alpha_2=\sqrt{E/m}$.
  2. Sistema ammortizzatore-massa. Colleghiamo una massa all’estremità mobile di un ammortizzatore e applichiamo la forza $\sigma(t)$. L’ammortizzatore esercita sulla massa la forza $-\mu\dot{\varepsilon}$; pertanto \(m \ddot{\varepsilon}+\mu \dot{\varepsilon}=\sigma.\)

    Esercizio 3.2. Determinare la risposta del sistema ammortizzatore-massa, inizialmente in quiete, quando all’istante $0$ viene applicata e poi mantenuta una forza costante $\sigma_0$.

  3. Sistema cursore-massa. Colleghiamo una massa a un cursore, inizialmente in quiete nella posizione di riferimento, e applichiamo dall’istante iniziale una forza $\sigma(t)$. Il moto è descritto dal sistema seguente: \(m \ddot{\varepsilon}=\sigma-\sigma, \quad|\sigma| \leq \sigma_{c}, \quad \sigma \dot{\varepsilon}=\sigma_{c}|\dot{\varepsilon}|\) completato con i dati iniziali $\varepsilon(0)=0, \dot{\varepsilon}(0)=0$.

    Esercizio 3.3. Determinare la risposta del sistema cursore-massa, inizialmente in quiete, quando all’istante $0$ viene applicata e poi mantenuta una forza costante $\sigma_0>0$. Distinguere i casi $\sigma_0<\sigma_c$, $\sigma_0=\sigma_c$ e $\sigma_0>\sigma_c$.

Assemblaggi elementari senza massa

  1. Molla e ammortizzatore in serie. Fissiamo un’estremità della molla, colleghiamo l’ammortizzatore all’altra estremità e applichiamo la forza $\sigma$. Se $\varepsilon^e$ è l’allungamento della molla e $\varepsilon^v$ lo spostamento relativo dell’ammortizzatore, lo spostamento totale è $\varepsilon=\varepsilon^e+\varepsilon^v$. Le leggi dei due elementi sono \(\sigma=E \varepsilon^{e}, \quad \dot{\varepsilon}^{v}=\sigma / \mu\) Derivando la prima relazione ed eliminando $\dot{\varepsilon}^{v}$ mediante la seconda, otteniamo $\dot{\sigma}+E\sigma/\mu=E\dot{\varepsilon}$, ossia \(\dot{\sigma}+\frac{\sigma}{\tau}=E \dot{\varepsilon} \quad \text {(Modello Maxwell)}\) dove $\tau=\mu/E>0$ è il tempo caratteristico. Questa legge a due parametri definisce il modello di Maxwell.
  2. Molla e ammortizzatore in parallelo. Lo spostamento $\varepsilon$ è comune ai due elementi, mentre la forza totale è $\sigma=\sigma_1+\sigma_2$. Dalle leggi $\sigma_1=E\varepsilon$ e $\sigma_2=\mu\dot{\varepsilon}$ otteniamo \(\sigma=E(\varepsilon+\tau \dot{\varepsilon}) \quad \text {(Modello Kelvin-Voigt)}\) dove $\tau=\mu/E>0$ è il tempo caratteristico. Questa legge a due parametri definisce il modello di Kelvin-Voigt.
  3. Modello di Zener. Colleghiamo in serie una molla e un assemblaggio in parallelo formato da una seconda molla e da un ammortizzatore. L’indice 1 si riferisce alla prima molla e l’indice 2 all’assemblaggio in parallelo. Allora \(\varepsilon=\varepsilon_{1}+\varepsilon_{2}, \quad \sigma=E_{1} \varepsilon_{1}, \quad \sigma=E_{2} \varepsilon_{2}+\mu \dot{\varepsilon}_{2}\) Eliminando $\varepsilon_{2}$ otteniamo $\sigma=E_{2}(\varepsilon-\varepsilon_{1})+\mu(\dot{\varepsilon}-\dot{\varepsilon}{1})$. Eliminiamo poi $\varepsilon{1}$ mediante $\sigma=E_{1}\varepsilon_{1}$: \(\sigma=E_{2} \varepsilon-\frac{E_{2}}{E_{1}} \sigma+\mu \dot{\varepsilon}-\frac{\mu}{E_{1}} \dot{\sigma}\) Questa relazione può finalmente essere scritta \(\sigma+\tau \dot{\sigma}=E^{\infty} \varepsilon+\tau E^{0} \dot{\varepsilon} \quad \text {(modello di energia)}\) Compaiono la rigidezza istantanea $E^{0}$, la rigidezza ritardata $E^{\infty}$ e il tempo caratteristico $\tau$, collegati a $E_{1}$, $E_{2}$ e $\mu$ da \(E^{0}=E_{1}, \quad E^{\infty}=\frac{E_{1} E_{2}}{E_{1}+E_{2}}, \quad \tau=\frac{\mu}{E_{1}+E_{2}}\) Poiché $E_{1}$, $E_{2}$ e $\mu$ sono positivi, il tempo caratteristico è positivo e la rigidezza ritardata è minore di quella istantanea: \(E^{0}>E^{\infty}>0, \quad \tau>0.\) Questo modello a tre parametri è chiamato modello viscoelastico Zener. Figura Figura 3.19 - Modelli viscoelastici di Maxwell, Kelvin-Voigt e Zener.
  4. Gli assemblaggi di molle e cursori, collegati in serie o in parallelo, consentono di rappresentare comportamenti elastoplastici o, più in generale, isteretici indipendenti dalla velocità.

    Esercizio 3.4. Confrontare le risposte dei modelli di Maxwell, Kelvin-Voigt e Zener nelle prove seguenti:

  5. prova a velocità di deformazione $\dot{\varepsilon}$ costante;
  6. prova di rilassamento a deformazione $\varepsilon$ costante;
  7. prova di creep a sforzo $\sigma$ costante.

3.4.2 Viscoelasticità

Per modellare il comportamento viscoelastico di un mezzo curvilineo adottiamo il modello di Zener, che descrive una risposta elastica istantanea e una risposta ritardata. Introduciamo come variabile interna $\varepsilon^{v}$, l’allungamento della molla in parallelo con l’ammortizzatore; l’allungamento della molla isolata è $\varepsilon^{e}$. La legge di Zener si scrive \(\sigma=\mathrm{E}^{0} \varepsilon^{e}, \quad \varepsilon=\varepsilon^{e}+\varepsilon^{v}, \quad \tau \dot{\varepsilon}^{v}=\left(1-\frac{\mathrm{E}^{\infty}}{\mathrm{E}^{0}}\right) \varepsilon-\varepsilon^{v}.\) Le variabili di stato sono la deformazione totale $\varepsilon$ e la deformazione viscosa $\varepsilon^{v}$; la deformazione elastica $\varepsilon^{e}$ e lo sforzo $\sigma$ seguono dalle relazioni precedenti. La legge di evoluzione determina $\dot{\varepsilon}^{v}$ in funzione dello stato. La variabile interna $\varepsilon^{v}(t)$, o equivalentemente $\varepsilon^{e}(t)$, conserva l’informazione necessaria sulla storia di deformazione. Definiamo il potenziale elastico come la somma delle energie delle due molle: \(\mathrm{w}_{\mathrm{ex}}\left(\varepsilon, \varepsilon^{v}\right)=\frac{1}{2} \mathrm{E}^{0}\left(\varepsilon-\varepsilon^{v}\right)^{2}+\frac{1}{2} \frac{\mathrm{E}^{0} \mathrm{E}^{\infty}}{\mathrm{E}^{0}-\mathrm{E}^{\infty}} \varepsilon^{v 2}\) Lo sforzo $\sigma$ è la derivata del potenziale rispetto a $\varepsilon$: \(\sigma=\frac{\partial \mathrm{w}_{\mathrm{ex}}}{\partial \varepsilon}\left(\varepsilon, \varepsilon^{v}\right)\) Definiamo la grandezza duale della deformazione viscosa mediante \(\sigma^{v}:=-\frac{\partial \mathrm{w}_{\mathrm{ex}}}{\partial \varepsilon^{v}}\left(\varepsilon^{e}, \varepsilon^{v}\right)=\mathrm{E}^{0}\left(\varepsilon-\frac{\mathrm{E}^{0}}{\mathrm{E}^{0}-\mathrm{E}^{\infty}} \varepsilon^{v}\right)\) Questa grandezza coincide con lo sforzo nell’ammortizzatore e determina la potenza dissipata $\mathcal{D}(t)=\sigma^{v}(t)\dot{\varepsilon}^{v}(t)$. La potenza di deformazione si decompone nella derivata dell’energia elastica e nella potenza dissipata: \(\dot{W}(t):=\sigma(t) \dot{\varepsilon}(t)=\frac{d}{d t}\left(\mathrm{w}_{\mathrm{ex}}\left(\varepsilon(t), \varepsilon^{v}(t)\right)+\mathcal{D}(t)\right.\) Per un mezzo curvilineo con sezione omogenea adottiamo il potenziale \(\mathrm{W}_{\mathrm{e}}\left(\varepsilon, \varepsilon^{v}, \kappa_2\right)=\frac{1}{2} \mathrm{E}^{0} \mathrm{~A}\left(\varepsilon-\varepsilon^{v}\right)^{2}+\frac{1}{2} \frac{\mathrm{E}^{0} \mathrm{E}^{\infty}}{\mathrm{E}^{0}-\mathrm{E}^{\infty}} \mathrm{A} \varepsilon^{v 2}+\frac{1}{2} \mathrm{E}^{0} \mathrm{I} \kappa_2^{2}\) di cui si deducono le relazioni costitutive \(N=\mathrm{E}^{0} \mathrm{~A}\left(\varepsilon-\varepsilon^{v}\right), \quad M_2=\mathrm{E}^{0} \mathrm{I} \kappa_2\) La legge dell’evoluzione della deformazione viscosa può sempre essere scritta \(\tau \dot{\varepsilon}^{v}=\left(1-\frac{\mathrm{E}^{\infty}}{\mathrm{E}^{0}}\right) \varepsilon-\varepsilon^{v}\) In questo modello la relazione momento-curvatura rimane elastica. Possiamo includere la viscosità flessionale introducendo ulteriori variabili interne.

Nota. 15. Possiamo scegliere come variabili di stato anche la coppia $(\varepsilon^{e},\varepsilon^{v})$.

← 3.3 Comportamento elastico · Indice · 4.1 Il problema ai limiti →