2.3 Condizioni di equilibrio di un mezzo continuo curvilineo

Convenzioni di notazione

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Orientamento

La sezione introduce e sviluppa il tema: 2.3 condizioni di equilibrio di un mezzo continuo curvilineo.

Stabiliamo il legame tra gli sforzi interni e quelli esterni quando il mezzo è in equilibrio rispetto a un riferimento in una configurazione assegnata. A questo scopo ci basiamo sul Principio Fondamentale della Statica. Richiamiamolo nel caso di un solido rigido ${ }^{2}$. Equilibrio di un solido rigido. Un solido rigido è detto in equilibrio rispetto a un riferimento, galileiano o meno, in una posizione assegnata se e solo se gli sforzi esterni che agiscono su di esso nella posizione considerata, comprese le forze d’inerzia di trascinamento nel caso di un riferimento non galileiano, hanno risultante delle forze nulla e momento risultante nullo rispetto a un punto.

Nota. 1. In tutto il seguito, salvo esplicita indicazione contraria, equilibrio in un riferimento significa assenza di moto in quel riferimento; sono quindi escluse le situazioni in cui l’oggetto è in traslazione uniforme. Questa restrizione è importante nel caso di un riferimento non galileiano, perché i punti di un solido rigido in traslazione uniforme in tale riferimento sono soggetti alla forza di Coriolis. Questa forza si annulla se il solido è immobile nel riferimento; rimangono allora, come forze inerziali, soltanto le forze d’inerzia di trascinamento, che dipendono dalla posizione del solido. Applichiamo questo principio adattandolo ai mezzi continui curvilinei deformabili. Il passaggio richiede attenzione. Per un insieme di $n$ solidi rigidi, l’equilibrio dell’insieme richiede che ciascun solido, studiato separatamente ma tenendo conto dell’azione degli altri su di esso, sia in equilibrio. Viceversa, se ogni solido rigido è in equilibrio, lo è anche l’insieme. Per generalizzare questa condizione a un mezzo deformabile, dobbiamo quindi richiedere che ogni parte del mezzo continuo sia essa stessa in equilibrio. Adottiamo la definizione seguente. Definizione 2.2 (Equilibrio di un mezzo continuo curvilineo). Un mezzo continuo curvilineo è detto in equilibrio rispetto a un riferimento, galileiano o meno, in una configurazione assegnata se e solo se sono verificate le due condizioni seguenti:

1. gli sforzi esterni che agiscono su di esso nella posizione considerata, comprese le forze d’inerzia di trascinamento nel caso di un riferimento non galileiano, hanno risultante delle forze nulla e momento risultante nullo rispetto a un punto;
2. per ogni parte estratta dal mezzo curvilineo, gli sforzi esterni cui essa è soggetta dopo l’estrazione hanno, nella configurazione considerata, risultante delle forze nulla e momento risultante nullo rispetto a un punto. In seguito all’estrazione, questi sforzi esterni consistono: (i) negli sforzi esterni cui la parte era soggetta quando era inclusa nel mezzo continuo; (ii) negli sforzi interni al mezzo curvilineo, diretti o reciproci a seconda del punto, nei punti in cui viene effettuato il taglio. La prima condizione può essere vista come un caso particolare della seconda, considerando l’intero mezzo come un particolare sottoinsieme di sé stesso. È tuttavia preferibile trattarla separatamente, perché non coinvolge gli sforzi interni. Per applicare la seconda condizione dobbiamo precisare che cosa intendiamo per parte del mezzo curvilineo. Per non appesantire la presentazione con dettagli tecnici secondari, ci limitiamo a verificare l’equilibrio delle seguenti parti di $\mathcal{I}$:
3. nel caso di una curva aperta, con $\mathcal{I}=(0,\ell)$, gli intervalli della forma $(s,s^{\prime})$ con $0\leq s<s^{\prime}\leq\ell$;
4. nel caso di una curva chiusa, con $\mathcal{I}=[0,\ell)$, dobbiamo aggiangere ard un intorno della falsa messa in scena'$s=0$. Consideriamo quindi gli intervalli della forma $(s,s^{\prime})$ con $0\leq s<s^{\prime}\leq\ell$ e le unioni di intervalli della forma $[0,s)\cup(s^{\prime},\ell)$ con $0<s\leq s^{\prime}<\ell$. Le condizioni di equilibrio da rispettare sono dunque più numerose per il mezzo deformabile. A prima vista, la difficoltà principale nel verificarne l'equilibrio consiste nel considerare tutte le sue parti. In virtù delle ipotesi sugli sforzi interni, è però sufficiente verificare l'equilibrio di famigliegeneratrici’’ di parti per verificarlo per tutte, come mostriamo qui di seguito.

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