Appendice B: Alcune nozioni di calcolo delle variazioni

← Appendice A: Alcuni richiami di meccanica · Indice · Appendice C: Schede di sintesi →

Orientamento

L’appendice richiama le nozioni di funzionale, derivata direzionale, minimo, equazione di Eulero–Lagrange e moltiplicatore di Lagrange impiegate nel capitolo 5.

Nota editoriale sulle formule. Alcune etichette testuali interne alle formule risultano corrotte nella fonte digitale. Sono conservate senza ricostruzioni congetturali. Contenuti

B.1 Funzionali e loro derivate
B.1.1 Il concetto di funzionale
B.1.2 Derivate direzionali di un funzionale
B.2 Minimizzazione di un funzionale
B.2.1 Proprietà generali
B.2.2 Un problema tipico
B.3 Moltiplicatori di Lagrange

B.1 Funzionali e loro derivate

B.1.1 Il concetto di funzionale

Un funzionale associa un numero reale a una funzione. Nel seguito la funzione descrive, per esempio, la configurazione $x_3\mapsto\mathbf{x}(x_3)$, l’angolo tangenziale $x_3\mapsto\vartheta(x_3)$, lo spostamento tangenziale $x_3\mapsto a_3(x_3)$ o la deflessione $x_3\mapsto a_1(x_3)$ di un mezzo curvilineo. Il valore del funzionale rappresenta in genere un’energia elastica o potenziale. Il dominio $\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}$ può essere uno spazio vettoriale, uno spazio affine o una varietà differenziabile; le condizioni che lo definiscono assicurano che il funzionale abbia valore finito.

Esempio B.1 (Elastica di Eulero). Per un’elastica inestensibile soggetta a una forza di compressione, l’energia potenziale è $\mathcal{P}(\vartheta)=\int_{0}^{\ell_{R}}\left(\frac{1}{2} \operatorname{El} \vartheta^{\prime}(x_3)^{2}+\mathcal{F} \cos \vartheta(x_3)\right) d x_3$ Il dominio $\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}$ comprende le funzioni $x_3\mapsto\vartheta(x_3)$ che soddisfano la condizione di incastro $\vartheta(0)=0$ e hanno energia finita. Una scelta naturale è il sottospazio di $H^1(0,\ell_R)$ costituito dalle funzioni che verificano tale condizione. Esempio B.2 (Filo pesante estensibile). Per un filo estensibile, fissato in $\mathbf{x}_0$, soggetto al proprio peso e a una forza all’estremità, l’energia potenziale è $\mathcal{P}(\mathbf{x})=\int_{0}^{\ell_{R}}\left(\frac{1}{2} \mathrm{EA}\left(\left\|\mathbf{x}^{\prime}(x_3)\right\|-1\right)^{2}+\rho_{\mathrm{m}} \mathrm{~A} g x_{2}(x_3)\right) d x_3-\mathcal{F} \cdot \mathbf{x}\left(\ell_{R}\right)$ Il dominio è l’insieme delle funzioni $\mathbf{x}:(0,\ell_R)\to\mathbb{R}^2$ con componenti in $H^1(0,\ell_R)$ che soddisfano $\mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_0$:

$\mathcal{C}_{a d}=\left\{\mathbf{x}=\left(x_{1}, x_{2}\right) \in H^{1}\left(0, \ell_{R}\right)^{2}: \mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_{0}\right\}$ Questo insieme è affine; lo spazio vettoriale associato è $\mathcal{V}_{a d}=\left\{\stackrel{*}{\mathbf{x}}=\left(\stackrel{*}{x}_{1}, \stackrel{*}{x}_{2}\right) \in H^{1}\left(0, \ell_{R}\right)^{2}: \stackrel{*}{\mathbf{x}}(0)=\mathbf{0}\right\}$

Esempio B.3 (Filo inestensibile). Per il filo inestensibile l’energia potenziale è $\mathcal{P}(\mathbf{x})=\int_{0}^{\ell_{R}} \rho_{\mathrm{m}} \mathrm{~A} g x_{2}(x_3) d x_3-\mathcal{F} \cdot \mathbf{x}\left(\ell_{R}\right)$ Il dominio deve ora includere il vincolo di inestensibilità: $\mathcal{C}_{a d}=\left\{\mathbf{x}:\left(0, \ell_{R}\right) \rightarrow \mathbb{R}^{2}: \mathcal{P}(\mathbf{x})<+\infty, \quad \mathbf{x}(0)=\mathbf{x}_{0}, \quad\left\|\mathbf{x}^{\prime}(x_3)\right\|=1 \quad \forall x_3 \in\left(0, \ell_{R}\right)\right\}$ L’insieme $\mathcal{C}{\mathrm{ad}}$ non è affine. Lo trattiamo come una varietà differenziabile e definiamo in ogni $\mathbf{x}\in\mathcal{C}{\mathrm{ad}}$ lo spazio tangente $\mathcal{V}_{a d}(\mathbf{x}):=\left\{\stackrel{*}{\mathbf{x}}:\left(0, \ell_{R}\right) \rightarrow \mathbb{R}^{2}: \quad \text {"regolar",} \quad \stackrel{*}{\mathbf{x}}(0)=0, \quad \mathbf{x}^{\prime}(x_3) \cdot \stackrel{*}{\mathbf{x}}^{\prime}(x_3)=0 \quad \forall x_3 \in\left(0, \ell_{R}\right)\right\}$

B.1.2 Derivate direzionali di un funzionale

La derivata direzionale estende al caso funzionale la derivata di una funzione di più variabili. Definizione B.1 (Derivata direzionale su uno spazio affine). Siano $\mathcal{P}:\mathcal{C}{\mathrm{ad}}\to\mathbb{R}$ un funzionale definito sullo spazio affine $\mathcal{C}{\mathrm{ad}}$, $\mathcal{V}{\mathrm{ad}}$ lo spazio vettoriale associato, $\mathbf{x}\in\mathcal{C}{\mathrm{ad}}$ e $\stackrel{}{\mathbf{x}}\in\mathcal{V}_{\mathrm{ad}}$. Se la derivata rispetto a $h$ in $h=0$ di $\mathcal{P}(\mathbf{x}+h\stackrel{}{\mathbf{x}})$ esiste e dipende linearmente e continuamente da $\stackrel{}{\mathbf{x}}$, definiamo la derivata direzionale di $\mathcal{P}$ in $\mathbf{x}$ mediante $\stackrel{*}{\mathbf{x}} \mapsto \mathcal{P}^{\prime}(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\mathbf{x}}):=\left.\frac{d}{d h}(\mathcal{P}(\mathbf{x}+h \stackrel{*}{\mathbf{x}}))\right|_{h=0}$ Il numero $\mathcal{P}’(\mathbf{x})(\stackrel{}{\mathbf{x}})$ è la derivata di $\mathcal{P}$ in $\mathbf{x}$ nella direzione $\stackrel{}{\mathbf{x}}$. Iterando la definizione otteniamo derivate di ordine superiore. In particolare, la derivata seconda è la forma quadratica $\mathcal{P}^{\prime \prime}(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\mathbf{x}})=\left.\frac{d^{2}}{d h^{2}}(\mathcal{P}(\mathbf{x}+h \stackrel{*}{\mathbf{x}}))\right|_{h=0}=\left.\frac{d}{d h}\left(\mathcal{P}^{\prime}(\mathbf{x}+h \stackrel{*}{\mathbf{x}})(\stackrel{*}{\mathbf{x}})\right)\right|_{h=0}$ Se $\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}$ è una varietà differenziabile, scegliamo una curva $h\mapsto\mathbf{x}_h\in\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}$ che attraversa $\mathbf{x}$ per $h=0$ e la cui derivata appartiene allo spazio tangente $\mathcal{V}_{\mathrm{ad}}(\mathbf{x})$: $\left.\mathbf{x}_{h}(x_3)\right|_{h=0}=\mathbf{x}(x_3), \quad \stackrel{*}{\mathbf{x}}(x_3)=\left.\frac{d\left(\mathbf{x}_{h}(x_3)\right)}{d h}\right|_{h=0}$ Calcoliamo quindi la derivata di $\mathcal{P}(\mathbf{x}_h)$ rispetto a $h$ in $h=0$. Definizione B.2 (Derivata direzionale su una varietà). Siano $\mathcal{P}:\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}\to\mathbb{R}$ un funzionale definito sulla varietà differenziabile $\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}$, $\mathbf{x}\in\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}$ e $h\mapsto\mathbf{x}_h$ una curva in $\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}$ che attraversa $\mathbf{x}$ per $h=0$, con velocità $\stackrel{}{\mathbf{x}}\in\mathcal{V}{\mathrm{ad}}(\mathbf{x})$. Se la derivata di $\mathcal{P}(\mathbf{x}_h)$ esiste e dipende linearmente e continuamente da $\stackrel{*}{\mathbf{x}}$, definiamo $\stackrel{*}{\mathbf{x}} \mapsto \mathcal{P}^{\prime}(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\mathbf{x}}):=\left.\frac{d}{d h}\left(\mathcal{P}\left(\mathbf{x}_{h}\right)\right)\right|_{h=0}$ Il valore $\mathcal{P}’(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\mathbf{x}})$ è la derivata di $\mathcal{P}$ in $\mathbf{x}$ nella direzione tangente $\stackrel{*}{\mathbf{x}}$. Esempio B.4. Per l’elastica di Eulero, le derivate prima e seconda dell’energia potenziale sono $\left\{\begin{array}{l} \mathcal{P}^{\prime}(\vartheta)(\stackrel{*}{\alpha_2})=\int_{0}^{\ell_{R}}\left(\operatorname{El} \vartheta^{\prime}(x_3) \stackrel{*}{\alpha_2}(x_3)-\mathcal{F} \sin \vartheta(x_3) \stackrel{*}{\alpha_2}(x_3)\right) d x_3 \\ \mathcal{P}^{\prime \prime}(\vartheta)(\stackrel{*}{\alpha_2})=\int_{0}^{\ell_{R}}\left(\operatorname{El}_{\stackrel{*}{\alpha_2}}(x_3)^{2}-\mathcal{F} \cos \vartheta(x_3) \stackrel{*}{\alpha_2}(x_3)^{2}\right) d x_3 \end{array}\right.$ Per il filo pesante estensibile, la derivata prima è $\mathcal{P}^{\prime}(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\mathbf{x}})=\int_{0}^{\ell_{R}}\left(\mathrm{EA}\left(\left\|\mathbf{x}^{\prime}(x_3)\right\|-1\right) \frac{\mathbf{x}^{\prime}(x_3)}{\left\|\mathbf{x}^{\prime}(x_3)\right\|} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{x}}^{\prime}(x_3)+\rho_{\mathrm{m}} \mathrm{~A} g \stackrel{*}{x}_{2}(x_3)\right) d x_3-\mathcal{F} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{x}}\left(\ell_{R}\right)$ Per il filo inestensibile, la derivata direzionale è definita soltanto sulle direzioni dello spazio tangente $\mathcal{V}{\mathrm{ad}}(\mathbf{x})$: $\mathcal{P}^{\prime}(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\mathbf{x}})=\int_{0}^{\ell_{R}} \rho_{\mathrm{m}} \mathrm{~A} g \stackrel{*}{x_{2}}(x_3) d x_3-\mathcal{F} \cdot \stackrel{*}{\mathbf{x}}\left(\ell_{R}\right)$ Nota. In meccanica una curva in $\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}$ rappresenta un movimento virtuale e $\stackrel{*}{\mathbf{x}}$ è il corrispondente campo di velocità virtuale.

Nota sulla trascrizione. Le due espressioni delle variazioni dell’elastica in B.1.2 contengono corruzioni preesistenti: nella prima manca una derivata del campo di variazione; nella seconda il fattore elastico e la sua derivata sono confluiti in un pedice. Le stesse corruzioni compaiono nella fonte LaTeX francese, righe 11628–11629. La rinomina dei simboli non corregge queste formule: occorre risalire alla scansione del testo prima dell’uso.

B.2 Minimizzazione di un funzionale

B.2.1 Proprietà generali

Il problema fondamentale consiste nel determinare un minimo del funzionale sul suo dominio: $\text {Trova} \quad \mathbf{x} \in \mathcal{C}_{\mathrm{ad}} \quad \text{ tale che } \quad \mathcal{P}(\mathbf{x}) \leq \mathcal{P}(\tilde{\mathbf{x}}) \quad \forall \tilde{\mathbf{x}} \in \mathcal{C}_{\mathrm{ad}}$ Se $\mathcal{C}{\mathrm{ad}}$ è affine e $\mathcal{P}$ è differenziabile, ogni minimizzatore è un punto stazionario. $\text{Se} \quad \mathbf{x} \in \mathcal{C}_{\mathrm{ad}} \quad \text {e} \quad \mathcal{P}(\mathbf{x}) \leq \mathcal{P}(\tilde{\mathbf{x}}) \quad \forall \tilde{\mathbf{x}} \in \mathcal{C}_{\mathrm{ad}} \quad \text{allora} \quad \mathcal{P}^{\prime}(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\mathbf{x}})=0, \quad \forall \stackrel{*}{\mathbf{x}} \in \mathcal{V}_{\mathrm{ad}}$ Infatti, per $\tilde{\mathbf{x}}=\mathbf{x}+h\stackrel{*}{\mathbf{x}}$, con $h>0$ e $\stackrel{*}{\mathbf{x}}\in\mathcal{V}{\mathrm{ad}}$, la proprietà di minimo implica $\mathcal{P}(\mathbf{x}+h \stackrel{*}{\mathbf{x}})-\mathcal{P}(\mathbf{x}) \geq 0$ Dividendo per $h$ e passando al limite per $h\to0^+$ otteniamo $\mathcal{P}^{\prime}(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\mathbf{x}}) \geq 0$ Poiché $\mathcal{V}_{\mathrm{ad}}$ è uno spazio vettoriale, possiamo sostituire $\stackrel{}{\mathbf{x}}$ con $-\stackrel{}{\mathbf{x}}$ e dedurre l’uguaglianza. Il viceversa richiede ipotesi ulteriori; vale, in particolare, per un funzionale convesso.

Proposizione B.1 (Funzionali convessi). Sia $\mathcal{P}:\mathcal{C}{\mathrm{ad}}\to\mathbb{R}$ convesso e differenziabile sullo spazio affine $\mathcal{C}{\mathrm{ad}}$. Un punto $\mathbf{x}\in\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}$ è un minimizzatore se e solo se è stazionario.

Dimostrazione. Se $\mathbf{x}$ è un minimizzatore, il ragionamento precedente applicato alle direzioni $\stackrel{}{\mathbf{x}}$ e $-\stackrel{}{\mathbf{x}}$ dà $\mathcal{P}’(\mathbf{x})(\stackrel{*}{\mathbf{x}})=0$. Viceversa, per ogni $\widetilde{\mathbf{x}}\in\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}$, la convessità e la differenziabilità implicano $\mathcal{P}(\widetilde{\mathbf{x}})\geq \mathcal{P}(\mathbf{x})+\mathcal{P}'(\mathbf{x})(\widetilde{\mathbf{x}}-\mathbf{x}).$ Se $\mathbf{x}$ è stazionario, l’ultimo termine è nullo; dunque $\mathcal{P}(\widetilde{\mathbf{x}})\geq\mathcal{P}(\mathbf{x})$ e $\mathbf{x}$ è un minimizzatore. $\square$

Senza convessità, o quando $\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}$ è soltanto una varietà differenziabile, un punto stazionario può essere un massimo oppure un minimo locale.

B.2.2 Un problema tipico

Consideriamo il funzionale $\mathcal{P}(\vartheta):=\int_{x_{3,0}}^{x_{3,1}} \mathcal{L}\left(x_3, \vartheta(x_3), \vartheta^{\prime}(x_3)\right) d x_3$ sullo spazio affine $\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}=\left\{\vartheta:\left(x_{3,0}, x_{3,1}\right) \rightarrow \mathbb{R}: \text {"regolar",} \vartheta\left(x_{3,0}\right)=\vartheta_{0}\right\}$ L’integrando $\mathcal{L}$, detto lagrangiana, è una funzione regolare dei suoi tre argomenti $(x_3,\vartheta,\vartheta’)$. Il problema è $\min _{\vartheta \in \mathcal{C}_{\mathrm{ad}}} \int_{x_{3,0}}^{x_{3,1}} \mathcal{L}\left(x_3, \vartheta(x_3), \vartheta^{\prime}(x_3)\right) d x_3$ Cerchiamo anzitutto i punti stazionari, poi determiniamo quali fra essi siano minimizzatori: $\mathcal{P}^{\prime}(\vartheta)(\stackrel{*}{\alpha_2})=0, \quad \forall \stackrel{*}{\alpha_2} \in \mathcal{V}_{\mathrm{ad}}=\left\{\stackrel{*}{\alpha_2}:\left(x_{3,0}, x_{3,1}\right) \rightarrow \mathbb{R}: \text {- No, no.} \stackrel{*}{\alpha_2}\left(x_{3,0}\right)=0\right\}$ Derivando il funzionale otteniamo l’equazione variazionale $0=\int_{x_{3,0}}^{x_{3,1}}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \vartheta}\left(x_3, \vartheta(x_3), \vartheta^{\prime}(x_3)\right) \stackrel{*}{\alpha_2}(x_3)+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \vartheta^{\prime}}\left(x_3, \vartheta(x_3), \vartheta^{\prime}(x_3)\right) \stackrel{*}{\alpha_2}^{\prime}(x_3)\right) d x_3, \quad \forall \stackrel{*}{\alpha_2} \in \mathcal{V}_{\mathrm{ad}}$ Supponendo $\vartheta$ e $\mathcal{L}$ sufficientemente regolari, integriamo per parti il secondo termine e usiamo $\stackrel{}{\alpha_2}(x_{3,0})=0$: $0=\int_{x_{3,0}}^{x_{3,1}}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \vartheta}\left(x_3, \vartheta(x_3), \vartheta^{\prime}(x_3)\right)-\frac{d}{d x_3}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \vartheta^{\prime}}\left(x_3, \vartheta(x_3), \vartheta^{\prime}(x_3)\right)\right)\right) \stackrel{}{\alpha_2}(x_3) d x_3+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \vartheta^{\prime}}\left(x_{3,1}, \vartheta\left(x_{3,1}\right), \vartheta^{\prime}\left(x_{3,1}\right)\right) \stackrel{*}{\alpha_2}\left(x_{3,1}\right)$. Per passare dalla formulazione variazionale a quella locale usiamo il lemma fondamentale del calcolo delle variazioni.

Lemma B.1 (Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni). Sia $f$ continua in $(a,b)$ e sia $\mathcal{D}(a,b)$ lo spazio delle funzioni infinitamente differenziabili a supporto compatto in $(a,b)$. Allora $\int_{a}^{b} f(x) \varphi(x) d x=0, \quad \forall \varphi \in \mathcal{D}(a, b) \quad \Longleftrightarrow \quad f(x)=0, \quad \forall x \in(a, b)$ Applichiamo il lemma in due passaggi.

Scegliamo $\stackrel{}{\alpha_2}\in\mathcal{D}(x_{3,0},x_{3,1})$. Poiché $\stackrel{}{\alpha_2}(x_{3,1})=0$, il termine al bordo scompare e il lemma fornisce l’equazione di Eulero–Lagrange: $-\frac{d}{d x_3}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \vartheta^{\prime}}\left(x_3, \vartheta(x_3), \vartheta^{\prime}(x_3)\right)\right)+\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \vartheta}\left(x_3, \vartheta(x_3), \vartheta^{\prime}(x_3)\right)=0 \quad \forall x_3 \in\left(x_{3,0}, x_{3,1}\right) \tag{B.1}$

Sostituendo l’equazione di Eulero–Lagrange nella relazione variazionale rimane $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \vartheta^{\prime}}\left(x_{3,1}, \vartheta\left(x_{3,1}\right), \vartheta^{\prime}\left(x_{3,1}\right)\right) \stackrel{*}{\alpha_2}\left(x_{3,1}\right)=0, \quad \forall \stackrel{*}{\alpha_2} \in \mathcal{V}_{\mathrm{ad}}$ Poiché $\stackrel{*}{\alpha_2}(x_{3,1})$ è arbitrario, otteniamo la condizione naturale al bordo: $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \vartheta^{\prime}}\left(x_{3,1}, \vartheta\left(x_{3,1}\right), \vartheta^{\prime}\left(x_{3,1}\right)\right)=0 \tag{B.2}$ Nota. La versione del lemma dipende dalla regolarità assegnata a $f$ e alle funzioni di prova. I minimizzatori vanno dunque cercati fra le funzioni di $\mathcal{C}_{\mathrm{ad}}$ che soddisfano l’equazione di Eulero–Lagrange (B.1) e la condizione naturale (B.2). La convessità di $\mathcal{L}$, e quindi di $\mathcal{P}$, consente in alcuni casi di riconoscere direttamente i minimizzatori; negli altri casi occorre esaminare separatamente le soluzioni. Quando la lagrangiana non dipende esplicitamente da uno dei suoi argomenti, l’equazione del secondo ordine ammette un primo integrale.

Se $\mathcal{L}$ non dipende da $\vartheta$, l’equazione di Eulero–Lagrange si riduce a $0=\frac{d}{d x_3}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \vartheta^{\prime}}\left(x_3, \vartheta^{\prime}(x_3)\right)\right), \quad \forall x_3 \in\left(x_{3,0}, x_{3,1}\right)$ La condizione naturale implica $\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \vartheta^{\prime}}\left(x_3, \vartheta^{\prime}(x_3)\right)=\mathrm{costante}=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \vartheta^{\prime}}\left(x_{3,1}, \vartheta^{\prime}\left(x_{3,1}\right)\right)=0$ Questa relazione determina implicitamente $\vartheta’(x_3)$. Se $\vartheta(x_{3,1})$ è assegnato, la costante d’integrazione non è fissata dalla condizione naturale e deve essere determinata mediante il dato al bordo.

Se $\mathcal{L}$ non dipende da $x_3$, moltiplichiamo l’equazione di Eulero–Lagrange per $\vartheta’(x_3)$ e otteniamo $\begin{aligned} 0 & =\frac{d}{d x_3}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \vartheta^{\prime}}\left(\vartheta(x_3), \vartheta^{\prime}(x_3)\right)\right) \vartheta^{\prime}(x_3)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \vartheta}\left(\vartheta(x_3), \vartheta^{\prime}(x_3)\right) \vartheta^{\prime}(x_3) \\ & =\frac{d}{d x_3}\left(\vartheta^{\prime}(x_3) \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \vartheta^{\prime}}\left(\vartheta(x_3), \vartheta^{\prime}(x_3)\right)\right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \vartheta^{\prime}}\left(\vartheta(x_3), \vartheta^{\prime}(x_3)\right) \vartheta^{\prime \prime}(x_3)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \vartheta}\left(\vartheta(x_3), \vartheta^{\prime}(x_3)\right) \vartheta^{\prime}(x_3) \\ & =\frac{d}{d x_3}\left(\vartheta^{\prime}(x_3) \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \vartheta^{\prime}}\left(\vartheta(x_3), \vartheta^{\prime}(x_3)\right)\right)-\frac{d}{d x_3}\left(\mathcal{L}\left(\vartheta(x_3), \vartheta^{\prime}(x_3)\right)\right) \end{aligned}$ La quantità $\vartheta’\,\partial\mathcal{L}/\partial\vartheta’-\mathcal{L}$ è quindi costante e fornisce un’equazione differenziale del primo ordine: $\vartheta^{\prime}(x_3) \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \vartheta^{\prime}}\left(\vartheta(x_3), \vartheta^{\prime}(x_3)\right)-\mathcal{L}\left(\vartheta(x_3), \vartheta^{\prime}(x_3)\right)=\mathrm{costante} \quad \text {(prima parte)}$ La costante si determina mediante le condizioni al bordo. Il procedimento si estende a funzioni vettoriali e a lagrangiane che dipendono da derivate di ordine superiore. Se l’incognita ha $n$ componenti otteniamo un sistema di $n$ equazioni; se l’integrando dipende da derivate fino all’ordine $n$, l’equazione di Eulero–Lagrange ha ordine $2n$. La minimizzazione con vincoli conduce ai moltiplicatori di Lagrange.
B.3 Moltiplicatori di Lagrange

Proposizione B.2 (Teorema dei moltiplicatori di Lagrange). Sia $\mathcal{V}$ uno spazio vettoriale e siano $L_0,L_1,\ldots,L_n$ forme lineari su $\mathcal{V}$. Se $\mathrm{L}_{0}(\mathbf{v})=0, \quad \forall \mathbf{v} \in \mathcal{V} \text{ tale che } \mathrm{L}_{1}(\mathbf{v})=\cdots=\mathrm{L}_{\mathbf{n}}(\mathbf{v})=\mathbf{0}$ allora esistono numeri reali $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ tali che $\mathrm{L}_{0}(\mathbf{v})=\sum_{i=1}^{n} \lambda_{i} \mathrm{~L}_{i}(\mathbf{v}), \quad \forall \mathbf{v} \in \mathcal{V}$ Dimostrazione. Introduciamo l’applicazione lineare $L:\mathcal{V}\to\mathbb{R}^{n}$ definita da $L(\mathbf{v})=(L_1(\mathbf{v}),\ldots,L_n(\mathbf{v}))$. L’ipotesi afferma che $\ker L\subseteq\ker L_0$; pertanto $L_0$ è costante sulle classi di equivalenza determinate da $L$ e induce una forma lineare su $\operatorname{Im}L$. Estendiamo questa forma lineare a $\mathbb{R}^{n}$ e rappresentiamola mediante $\lambda=(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)$. Si ottiene allora $L_0(\mathbf{v})=\lambda\cdot L(\mathbf{v})=\sum_{i=1}^{n}\lambda_iL_i(\mathbf{v})$ per ogni $\mathbf{v}\in\mathcal{V}$. $\square$

I numeri $\lambda_i$ sono i moltiplicatori di Lagrange associati ai vincoli $L_i(\mathbf{v})=0$. Il teorema permette di sostituire i vincoli con termini contenenti moltiplicatori incogniti. La sezione 5.4.1 ne mostra l’impiego; sotto opportune ipotesi, lo stesso principio si estende a famiglie infinite di vincoli, come nella sezione 5.4.4.

← Appendice A: Alcuni richiami di meccanica · Indice · Appendice C: Schede di sintesi →